資源簡介

數(shù)學文化-解析幾何
專題綜述
數(shù)學文化不僅是數(shù)學知識，還包含數(shù)學理念、數(shù)學思想，以及數(shù)學史和所有解決數(shù)學問題的思路和方法，數(shù)學文化伴隨著人類文明的發(fā)展，承載了數(shù)學發(fā)展漫長的積累過程。
新課標把"體現(xiàn)數(shù)學文化價值"作為高中數(shù)學課程的十項理念之一,強調(diào)數(shù)學文化是貫穿整個高中數(shù)學課程的重要內(nèi)容。高考試題會通過創(chuàng)設新的情境、改變設問方式,選取適合的知識內(nèi)容等多種方法滲透數(shù)學文化，一般以選填題的形式出現(xiàn)。解析幾何中的數(shù)學文化試題,主要針對阿波羅尼斯圓、幾何原本、圓錐曲線論、割圓術等著名數(shù)學文化為背景，考查圓錐曲線的性質(zhì)及幾何意義。
專題探究
探究1：以數(shù)學名著為背景
數(shù)學史和數(shù)學名著是數(shù)學文化的重要組成部分，以數(shù)學史和數(shù)學名著作為試題的情境材料，可以培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣，讓學生感受書寫家探究、解決數(shù)學問題的過程。
(2021江蘇省高考全真模擬卷1.多選)古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn):“平面內(nèi)到兩個定點，的距離之比為定值的點的軌跡是圓”后來,人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓,簡稱阿氏圓．在平面直角坐標系中,,,點滿足,設點的軌跡為,下列結(jié)論正確的是
A.的方程為
B.
C.當，，三點不共線時，射線是的平分線 D.在上存在點，使得
【閱讀突破】
文字語言 符號語言
深刻理解阿波羅尼斯圓
會用余弦定理證明角平分線
熟練掌握常規(guī)軌跡問題的求法
以著名的阿波羅尼斯圓為背景，提供給學生提升數(shù)學邏輯思維、解題策略等數(shù)學核心素養(yǎng)的機會，在觀察中提取信息，分析問題。
【解析呈現(xiàn)】
設點，則，
化簡整理得，即，故A錯誤；
當時，，故B正確；
對于選項，,要證為角平分線，
只需證明，即證，
化簡整理即證，設，則，
，
則證，故C正確；
對于選項，設，
由可得，
整理得，而點在圓上，
故滿足，
聯(lián)立解得，無實數(shù)解，于是D錯誤．
故答案為：．
(2022重慶市縉云教育聯(lián)盟)瑞士著名數(shù)學家歐拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”在平面直角坐標系中作，，點，點，且其“歐拉線”與圓
相切，則下列結(jié)論正確的是
A. 圓上點到直線的最小距離為
B. 圓上點到直線的最大距離為
C. 若點在圓上，則的最小值是
D. 圓與圓有公共點，則的取值范圍是
探究2：以現(xiàn)代科技或數(shù)學時事為背景
以現(xiàn)代科技或數(shù)學時事為背景的數(shù)學文化考題特別關注科普知識，注重傳統(tǒng)文化在現(xiàn)實中的創(chuàng)造性和創(chuàng)新性發(fā)展，體現(xiàn)中國傳統(tǒng)科技文化對人類發(fā)展和社會進步的貢獻，踐行社會主義核心價值觀。
(2021海南省天一大聯(lián)考三模.多選)如圖所示，“嫦娥五號”月球探測器飛行到月球附近時，首先在以月球球心為圓心的圓形軌道Ⅰ上繞月飛行，然后在點處變軌進入以為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ上繞月飛行，最后在點處變軌進入以為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行，設圓形軌道Ⅰ的半徑為，圓形軌道Ⅲ的半徑為，則
A. 橢圓軌道Ⅱ上任意兩點距離最大為
B. 橢圓軌道Ⅱ的焦距為
C. 若不變，則越大，橢圓軌道Ⅱ的短軸越短
D. 若不變，則越小橢圓軌道Ⅱ的離心率越大
【閱讀突破】
文字語言 符號語言
月球探測器在軌道Ⅱ和軌道Ⅲ上的運行軌跡 設Ⅱ為，則
分析題干關鍵信息，構建橢圓模型
本題以“探索衛(wèi)星軌道”為載體，蘊文化與現(xiàn)代科學技術中，抽象出共一條對稱軸、一個焦點和一個頂點的兩個橢圓的幾何性質(zhì)，注意到題干涉及到長半軸長和半焦距，從焦距入手，是解題關鍵。全面考查了學生的閱讀理解能力，數(shù)據(jù)分析能力.
【解析呈現(xiàn)】
解：由題可知橢圓軌道Ⅰ的半徑為，Ⅱ為橢圓，設為，所以，
Ⅲ為圓形軌道，半徑為，所以，
對于：由題可知橢圓Ⅱ上任意兩點最大距離為，故A不正確；
對于：橢圓Ⅱ的焦距為，得，，故B正確；
對于：由得，，
所以，
若不變，越大，越大，故C不正確；
對于：，
不變，越小，越大，越小，則越大，故D正確．
故選：．
(2021江蘇省徐州市模擬)第屆冬季奧林匹克運動會，將在年月日在中華人民共和國北京市和張家口市聯(lián)合舉行．這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運會，北京成為奧運史上第一個舉辦夏季奧林匹克運動會和冬季奧林匹克運動會的城市．同時中國也成為第一個實現(xiàn)奧運“全滿貫”先后舉辦奧運會、殘奧會、青奧會、冬奧會、冬殘奧會國家．根據(jù)規(guī)劃，國家體育場鳥巢成為北京冬奧會開、閉幕式的場館．國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構鳥瞰圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若由外層橢圓長軸一端點和短軸一端點分別向內(nèi)層橢圓引切線，如圖，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為
A. B. C. D.
專題升華
知識儲備：超級名圓--阿波羅尼斯圓
已知平面上兩定點A、B，則所有滿足（）的點的軌跡是一個以定比內(nèi)分和外分定線段的兩個分點的連線為直徑的圓。
1.到兩定點的距離之和為定值（大于兩定點的距離）的點的軌跡是橢圓
2.到兩定點的距離之差為定值（大于0且小于兩定點的距離）的點的軌跡是雙曲線
3.到兩定點的距離之商為定值（不等于1）的點的軌跡是阿波羅尼斯圓
4.到兩定點的距離之積為定值（大于0）的點的軌跡是卡西尼卵形線
【答案詳解】
變式訓練1【答案】ACD
【解析】由可得外心、重心、垂心均在線段的垂直平分線上，
即的“歐拉線”為線段的垂直平分線．
由點，點可得線段的中點為，
且直線的的斜率，所以線段的垂直平分線的斜率，
因此線段的垂直平分線的方程為，
即的“歐拉線”方程為．
又圓：的圓心為，半徑為，
而的“歐拉線”與圓相切，
所以點到直線的距離為，
因此圓的方程為：，
對于、，圓的圓心到直線的距離，
所以圓上的點到直線的最小距離為，
最大距離為因此A正確，B錯誤；
對于，因為點在圓上，令，即，
所以直線與圓有交點，
因此圓心到直線的距離，
解得，因此的最小值是，所以C正確；
對于，因為圓圓心為，半徑為，
而該圓與圓有公共點，所以，
即，解得，
因此的取值范圍是，所以D正確．
故選ACD．
變式訓練2【答案】B
【解析】 設內(nèi)層橢圓方程為，，
因為內(nèi)外橢圓離心率相同，所以外層橢圓可設成，
設切線方程為，與聯(lián)立得，
，由，則，
設切線方程為，同理可求得，
所以，，
所以因此．
故選B．

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