資源簡介

數學文化-立體幾何
專題綜述
數學文化不僅是數學知識，還包含數學理念、數學思想，以及數學史和所有解決數學問題的思路和方法，數學文化伴隨著人類文明的發展，承載了數學發展漫長的積累過程。
新課標把"體現數學文化價值"作為高中數學課程的十項理念之一,強調數學文化是貫穿整個高中數學課程的重要內容。高考試題會通過創設新的情境、改變設問方式,選取適合的知識內容等多種方法滲透數學文化，一般以選填題的形式出現。立體幾何中的數學文化題一般以我國古代發現的球的體積公式、圓柱的體積公式、圓錐的體積公式、圓臺的體積公式和“牟合方蓋”、“陽馬”、“鱉臑”、“塹堵”等中國古代幾何名詞為背景考查空間幾何體的體積與表面積等。
專題探究
探究1：以古代數學為背景
立體幾何是中國古代數學的一個重要研究內容，從中國古代數學中挖掘素材，考查立體幾何的有關知識，既符合考生的認知水平，又可以引導考生關注中華優秀傳統文化。
(2020東北三省三校二模)我國古代勞動人民在筑城、筑堤、挖溝、挖渠、建倉、建囤等工程中，積累了豐富的經驗，總結出了一套有關體積、容積計算的方法，這些方法以實際問題的形式被收入我國古代數學名著《九章算術》中．《九章算術商功》：“斜解立方，得兩塹堵．斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑．陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也．合兩鱉臑三而一，驗之以綦，其形露矣．”下圖解釋了這段話中由一個長方體，得到“塹堵”、“陽馬”、“鱉臑”的過程．已知塹堵的內切球與各面均相切半徑為，則鱉臑的體積最小值為
A. B. C. D.
【閱讀突破】
文字語言 符號語言
理解得到“塹堵”、 “陽馬”、“鱉臑”的過程
熟練掌握基本不等式求最值的方法
熟練掌握三角形面積公式 ，為內切圓半徑
熟練掌握三棱錐的體積公式
本題取材于《九章算術商功》，通過加工改造，添加解釋和提供直觀圖的方式降低了理解題意的難度，解題從識“圖”再到構“圖”，充分考查了學生的閱讀理解能力，分析問題、解決問題的能力，邏輯思維能力、數學建模等能力。
【解析呈現】
因為塹堵的內切球直徑恰為塹堵的邊長，又半徑為，所以，
易知，截面的內切圓與塹堵內切球最大的圓全等，
設內切圓半徑為，則，
如圖可知，
根據三角形面積公式可得，，
所以 ，
所以，即，
當且僅當時，等號成立，
因此鱉臑的體積，
即鱉臑的體積最小值為．
故選C．
(2021浙江省金華市)在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑中，平面，，且，為的中點，則異面直線與夾角的余弦值為
A. B. C. D.
探究2：以現代科技為背景
眾所周知，近幾年我國在科技發展上進步神速，“天空空間站”、“蛟龍潛航器”等均為例證，但是航天器的飛行、潛航器的下海均離不開數學知識喲。
(2021全國新課標Ⅱ卷.4)北斗三號全球衛星導航系統是我國航天事業的重要成果.在衛星導航系統中，地球靜止同步衛星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為軌道高度是指衛星到地球表面的距離將地球看作是一個球心為，半徑為的球，其上點的緯度是指與赤道平面所成角的度數．地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛星點的緯度最大值為，記衛星信號覆蓋地球表面的表面積為
單位：，則占地球表面積的百分比約為
A. B. C. D.
【閱讀突破】
文字語言 符號語言
理解同步軌道衛星點的緯度
熟練掌握球體體積計算公式
本題以我國航天事業的重要成果北斗三號全球衛星導航系統為試題情境設計立體幾何問題，考查學生的空間想象能力和閱讀理解、數學建模等能力，考查了理性思維、數學應用、數學探索學科素養。
【解析呈現】
如圖所示：
由題意可得，占地球表面積的百分比約為：
．
故選C．
(2021河南省名校聯盟)打印屬于快速成形技術的一種，它是一種以數字模型文件為基礎，運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層堆疊累積的方式來構造物體的技術即“積層造型法”過去常在模具制造、工業設計等領域被用于制造模型，現正用于一些產品的直接制造，特別是一些高價值應用比如髖關節、牙齒或一些飛機零部件等已知利用打印技術制作如圖所示的模型，該模型為在圓錐底內挖去一個正方體后的剩余部分正方體四個頂點在圓錐母線上，四個頂點在圓錐底面上，圓錐底面直徑為，母線與底面所成角的正切值為打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量約為取，精確到
A. B. C. D.
專題升華
幾種常見的古代算術幾何體
陽馬：底面為長方形，兩個三角面與底面垂直的四棱錐體
鱉臑：我國三角錐體的古稱。鱉臑模型就是三棱錐模型。四個面都是直角三角形的三棱錐,具有非常豐富的線線 、線面 、面面垂直關系。
塹堵：古代數學名詞。兩底面為直角三角形的正柱體，亦即長方體的斜截平分體。
牟合方蓋：牟合方蓋是由我國古代數學家劉徽首先發現并采用的一種用于計算球體體積的方法，類似于微元法。由于其采用的模型像一個牟合的方形盒子，故稱為牟合方蓋。
【答案詳解】
變式訓練1【答案】C
【解析】以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，
建立空間直角坐標系，設，
則，，，，，
則，，
設異面直線與夾角為，則．
所以異面直線與夾角的余弦值為．
故選C．
變式訓練2【答案】C
【解析】 如圖，是幾何體的軸截面，
圓錐底面直徑為，半徑為，
母線與底面所成角的正切值為，圓錐的高為，
設正方體的棱長為，則，解得．
該模型的體積
制作該模型所需原料的質量約為．
故選：．

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