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數學文化-數列
專題綜述
數學文化不僅是數學知識，還包含數學理念、數學思想，以及數學史和所有解決數學問題的思路和方法，數學文化伴隨著人類文明的發展，承載了數學發展漫長的積累過程。
新課標把"體現數學文化價值"作為高中數學課程的十項理念之一,強調數學文化是貫穿整個高中數學課程的重要內容。高考試題會通過創設新的情境、改變設問方式,選取適合的知識內容等多種方法滲透數學文化，一般以選填題的形式出現。數列中的數學文化題一般以我國古代數學名著中的等差數列和等比數列為背景，考查等差數列和等比數列的概念、通項公式和前n項和公式。
專題探究
探究1：以等差數列為背景
以數學文化為背景的等差數列題型的求解關鍵：
1.會脫去數學文化背景，讀懂題意；
2.構建模型，即由題意構建等差數列模型；
3.解模，即把文字語言轉化為求等差數列的相關問題，如求指定項、公差或項數、通項公式或前n項和等。
(2021吉林省長春市東北師大附中一模)《九章算術》是我國古代的數學名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上兩人所得與下三人等．問各得幾何？”其意思是：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五錢，甲、乙兩人所得之和與丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數列．問五人各得多少錢？”“錢”是古代的一種重量單位這個問題中戊所得為
A. 錢 B. 錢 C. 錢 D. 錢
【閱讀突破】
文字語言 符號語言
甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數列 設五人分得的錢分別為，，，，
甲、乙兩人所得之和與丙、丁、戊三人所得之和相等
甲、乙、丙、丁、戊五人分五錢
以古代名著《九章算術》為背景，考查學生的閱讀理解能力，理解用漢字描述的數學定義、定理，考查以數學知識和背景為基礎和依托的文字語言、符號語言和圖形語言的理解能力
【解析呈現】
解：由題意，可設甲、乙、丙、丁、戊五人分得的錢分別為，，，，．
則，，，，成等差數列，設公差為．
，,
整理上面兩個算式，得：，解得．
．
故選：．
(2021山東省泰安市模擬)《九章算術》是我國古代的數學巨著，書中有如下問題：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百錢欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪裹、上造、公士爵位依次變低個人共出錢，按照爵位從高到低每人所出錢數成等差數列，這個人各出多少錢？”在這個問題中，若大夫出錢，則上造出的錢數為
A. B. C. D.
探究2：以等比數列為背景
以數學文化為背景的等比數列模型題的求解關鍵：
1.會透過數學文化的“表象”看“本質”；
2.構建數學模型，即盯準題眼，構建等比數列的模型；
3.解模，即把文字語言轉化為求等比數列的相關問題，如指定項、公比或項數、通項公式或前n項和公式等。
(2021重慶八中模擬) 十九世紀下半葉集合論的創立奠定了現代數學的基礎．著名的“康托三分集”是數學理性思維的構造產物，具有典型的分形特征其操作過程如下：將閉區間均分為三段，去掉中間的區間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個區，分別均分為三段，并各自去掉中間的區間段，記為第二次操作；如此這樣，每次在上一次操作的基礎上，將剩下的各個區間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區間段．操作過程不斷地進行下去，以至無窮，剩下的區間集合即是“康托三分集”若使去掉的各區間長度之和不小于，則需要操作的次數的最小值為
參考數據：，
A. B. C. D.
【閱讀突破】
文字語言 符號語言
理解“康托三分集”的操作過程 第次操作，去掉的線段長度為
分析如何提煉題干的關鍵信息，構建等比數列模型
本題以“康托三分集”為載體，通過構建等比數列模型，借助等比數列求和公式求解。考查了閱讀理解能力、邏輯思維能力、數學建模等能力。
【解析呈現】
解：第一次操作去掉的區間長度為；
第二次操作去掉兩個長度為的區間，長度和為；
第三次操作去掉四個長度為的區間，長度和為；
，
第次操作去掉個長度為的區間，長度和為，
于是進行了次操作后，所有去掉的區間長度之和為
，
由題意知：，解得：，又為整數，的最小值為，
故選C.
(2021江蘇省蘇州市八校聯考)我國古代數學名著《九章算術》中有如下“兩鼠穿墻”問題：有兩只老鼠同時從墻的兩面相對著打洞穿墻大老鼠第一天打進尺，以后每天進度是前一天的倍小老鼠第一天也打進尺，以后每天進度是前一天的一半如果墻的厚度為尺，則兩鼠穿透此墻至少在第
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
探究3：以遞推數列為背景
以數學文化為背景的已知遞推公式的數列模型的求解關鍵是耐心讀題、仔細理解題意，將實際問題轉化為數學模型進行解答，“盯緊”題設條件中的遞推公式，利用此遞推關系式往要求的量轉化。
(2022鄂東南聯考)年月日，中共中央辦公廳、國務院辦公廳印發《關于進一步減輕義務教育階段學生作業負擔和校外培訓負擔的意見》，這個政策就是我們所說的“雙減”政策，“雙減”政策極大緩解了教育的“內卷”現象，而“內卷”作為高強度的競爭使人精疲力竭．數學中的螺旋線可以形象的展示“內卷”這個詞，螺旋線這個名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個固定點開始向外逐圈旋繞而形成的曲線，如下圖所示．如下圖所示陰影部分也是一個美麗的螺旋線型的圖案，它的畫法是這樣的：正方形的邊長為，取正方形各邊的四等分點，作第個正方形，然后再取正方形各邊的四等分點，作第個正方形，依此方法一直繼續下去，就可以得到陰影部分的圖案．設正方形邊長為，后續各正方形邊長依次為；如圖陰影部分，設直角三角形面積為，后續各直角三角形面積依次為下列說法錯誤的是
A. 從正方形開始，連續個正方形的面積之和為
B.
C. 使得不等式成立的的最大值為
D. 數列的前項和
【閱讀突破】
文字語言 符號語言
理解螺旋線型圖案的畫法
根據題設條件表示
數學源于生活，本題最新出臺的“雙減政策”為背景，給出一個螺旋線的畫法,要求學生按照題設條件來解決相關數學問題。此類試題,還突出考查學生的數學閱讀理解能力,數學抽象概括能力和"新概念"的實際應用能力。
【解析呈現】
解：由條件可得得，
是等比數列
又解得
，得是等比數列
又，解得，所以B正確；
，從正方形開始，連續個正方形的面積之和為，A正確；
，，驗證，，時符合，時不符合，C錯誤；
，，D正確，
故選C．
(2021江蘇省蘇州市一模.多選) 意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一列數：，，，，，，其中從第三項起，每個數等于它前面兩個數的和，后來人們把這樣的一列數組成的數列稱為“斐波那契數列”，記為數列的前項和，則下列結論中正確的有
A. B.
C. D.
專題升華
數列中的數學文化問題常以“十二平均律、寶塔點燈、女子織布、兩鼠穿墻，竹九節及分錢、走步”等問題為背景展開，強調“經世濟用”，結合算法算理建立數學模型，將問題轉化為等差或等比數列，利用方程思想進行計算。
有關數列的應用問題,是讓學生能夠在實際情境中,用數學的思想分析數列問題,用數學的語言表達數列問題,用數學的知識得到數學模型,用數學的方法得到結論,驗證數學結論與實際問題的相符程度,最終得到符合實際規律的結果。
【答案詳解】
變式訓練1【答案】
【解析】設首項為，公差為．由題意可得，
，，由聯立可得，
則上造出的錢數為，
故選：．
變式訓練2【答案】B
【解析】大老鼠與小老鼠每天挖墻的進度都形成等比數列：首項都為，公比分別為，．
設兩鼠穿透此墻至少在第天，
由題意可得：，化為：，
令，則，．
兩鼠穿透此墻至少在第天．
故選：．
變式訓練3【答案】
【解析】解：由題設知：數列的前項為：，，，，，，，，
，，故選項A正確，選項B錯誤；
又，，，，，
將以上式子相加可得：，故C選項正確；
斐波那契數列總有，，
，
，，
，
，
，
，
將以上式子相加可得：，故選項D正確，
故選：.

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