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數學思想-轉化與化歸
專題綜述
轉化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時，采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而使問題得到解決的一種數學方法，一般是將復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題，轉化化歸問題的實質是揭示聯系，實現轉化，用框圖可以直觀地表示如下：
專題探究
探究1：特殊與一般的轉化
(2021湖南省聯考) 已知函數
則 其中
【思維引導】
本題考查函數的性質,利用性質求項函數值之和，思維的難點是根據解析式，找出 (常數)的特征，類比等差數列的前項和公式的推導方法，利用倒序相加法，將函數值求解問題轉化為數列求和問題即可得到結論.
【規范解析】
，；
令，
則，
則兩式相加可得
，
即．
【探究總結】
(1)一般與特殊之間的轉化法是在解題的過程中將某些一般問題進行特殊化處理或是將某些特殊問題進行一般化處理的方法．常用的特例有特殊數值、特殊數列、特殊函數、特殊圖形、特殊角、特殊位置等．
(2)對于選擇題，當題設在普通條件下都成立時，用特殊值進行探求，可快捷地得到答案．
(3)對于填空題，當填空題的結論唯一或題設條件提供的信息暗示答案是一個定值時，可以把題中變化的量用特殊值代替，即可得到答案．
(2021山東省聊城市模擬) “蒙日圓”涉及幾何學中的一個著名定理，該定理的內容為：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為原橢圓的蒙日圓．若橢圓：的離心率為，則橢圓的蒙日圓方程為( )
A. B. C. D.
探究2：函數、方程、不等式之間的轉化
(2021四川省瀘州市模擬) 已知為自然對數的底數，若對任意的，總存，使得成立，則實數的取值范圍是
A. B. C. D.
【思維引導】
本題主要考查函數恒成立問題,根據條件將方程變形，然后構造函數，將方程的存在問題和恒成立問題轉化為函數問題(分別求出兩個函數的值域，結合值域之間的關系進行求解)，利用函數的導數研究函數的單調性和極值求出函數的值域也是解決本題的關鍵．
【規范解析】
，，
設，，
，在單調遞增，
，，，
，令，解得，
當時，，函數單調遞增，
當時，，函數單調遞減，
，，
總存在，使得成立，
，，，
故選：．
【探究總結】
1．函數與方程、不等式聯系密切，解決方程、不等式的問題需要函數幫助．
2．解決函數的問題需要方程、不等式的幫助，因此借助于函數與方程、不等式進行轉化與化歸可以將問題化繁為簡，一般可將不等式關系轉化為最值(值域)問題，將方程的求解問題轉化為函數的零點問題、兩個函數圖象的交點問題．
(2021湖北省黃岡市模擬)已知關于的方程恰好有個不相等的實數根，則實數的取值范圍為
A. B. C. D.
探究3：正難則反的轉化
(2021安徽省合肥市模擬)已知函數在區間上不單調，則實數的取值范圍為 ．
【思維引導】
本題考查利用導數研究原函數的單調性，題干給出的不單調直接求不方便，可以從它的對立面去考慮.若函數在區間上單調遞增，則在上恒成立；若函數在區間上單調遞減，則在上恒成立，分別利用分離變量法求解可得的范圍，再求補集即可.
【規范解析】
．
若函數在區間上單調遞增，則在上恒成立，
所以恒成立，得①，因為，所以，由①可知，．
若函數在區間上單調遞減，則在上恒成立，
所以，得②，結合可知，．
綜上，若函數在區間上單調，則實數的取值范圍為或．
所以若函數在區間上不單調，則實數的取值范圍為．
故答案為．
【探究總結】
否定性命題，常要利用正反的相互轉化，先從正面求解，再取正面答案的補集即可.一般地，題目若出現多種成立的情形，則不成立的情形相對較少，從反面考慮較簡單.因此，間接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命題情形的問題中.
(2021江蘇省泰州市模擬)年，各國醫療科研機構都在積極研制“新冠”疫苗，現有、兩個獨立的醫療科研機構，它們能研制出疫苗的概率均為，則至少有一家機構能夠研究出“新冠”疫苗的概率為
A. B. C. D.
探究4：形體位置關系的轉化
(2021湖北省新洲市模擬)如圖，在多面體中，，，兩兩垂直，平面平面，平面平面，，，則該多面體的體積為
A. B. C. D.
【思維引導】
本題考查棱柱的體積的求法，這個多面體是不規則幾何體，直接求體積很不方便，可以用分割法進行轉化，取的中點，連接，這樣，多面體的體積可以轉化為求三棱柱與三棱柱的體積之和，利用棱柱的體積公式即可求出.
【規范解析】
（方法一:分割法）如圖：取的中點，連接，，
，，兩兩互相垂直，
平面平面，平面平面，
且，，
則這個多面體的體積可以表示為三棱柱與三棱柱的體積之和，
有條件，，而，且，平面，
故AB平面，即平面，而，為三棱柱的高，
同理可得為三棱柱的高，
．
故答案選：．
（方法二:補形法）因為幾何體有兩對相對面互相平行，
如圖所示，將多面體補成棱長為2的正方體，
顯然所求多面體的體積即該正方體體積的一半．
又正方體的體積V正方體ABHI－DEKG＝23＝8，
故所求幾何體的體積為V多面體ABCDEGH＝×8＝4.
【探究總結】
形體位置關系的轉化是通過切割、補形、等體積轉化等方式轉化為便于觀察、計算的常用幾何體，由于新的幾何體是轉化而來的，一般需要對新幾何體的位置關系、數據情況進行必要分析，準確理解新幾何體的特征．
(2021重慶市模擬)一個球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長叫做球缺的高，球缺的體積公式，其中為球的半徑，為球缺的高若一球與一棱長為的正四面體的各棱均相切，則該球的半徑為 ，該球被此正四面體的一個側面所截得的球缺小于半球的體積為 ．
專題升華
在三角函數和解三角形中，主要的方法有公式的“三用”（順用、逆用、變形用），角度的轉化，函數的轉化，通過正弦定理、余弦定理實現邊角關系的相互轉化.
在解決平面向量與三角函數、解析幾何等知識交匯時，常將平面向量的語言與三角函數、解析幾何語言教學轉化.
在解決數列問題時，通常將一般數列轉化為等差數列或等比數列求解.
在利用導數研究函數問題時，常將函數的單調性、極值（最值）、切線問題，轉化為由其導函數構成的方程、不等式問題求解.
若問題直接求解困難時，可考慮運用反證法或補集法間接地解決問題．
【答案詳解】
變式訓練1【答案】
【解析】因為橢圓：的離心率為，
所以，解得，所以橢圓方程為，
因為橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上
找特殊點分別為，，則兩條切線分別是，，
則兩條直線的交點為，
而在蒙日圓上，
所以，
所以橢圓的蒙日圓方程為 ．
故選B．
變式訓練2【答案】
【解析】，即為，
設，當時，，故，
函數在上單調遞增，在上單調遞減，且，，
當趨于時，趨于
當時，，，
函數單調遞減，此時的取值范圍為
如圖所示畫出函數圖象，
則．故．
故選D．
變式訓練3【答案】
【解析】現有、兩個獨立的醫療科研機構，它們能研制出疫苗的概率均為，
至少有一家機構能夠研究出“新冠”疫苗的對立事件是兩家機構都研究不出這種“新冠”疫苗，
至少有一家機構能夠研究出“新冠”疫苗的概率為：
．
故選：．
變式訓練4【答案】；．
如圖，
取的中點，的中點，連接，則為與正四面體各棱相切的球的直徑，
正四面體的棱長為，，則，
則球的半徑為；
設底面的中心為，則，則到底面的距離為．
，
由等體積法可得：，得．
則球被正四面體的一個側面所截得的球缺的高為，
球缺的體積．
故答案為：；．

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