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解題方法-構造函數法
專題綜述
構造函數法是在求解某些數學問題時，根據問題的條件或目標，構想組合一種新的函數關系，使問題在新函數下轉化并利用函數的有關性質解決原問題是一種行之有效的解題手段。構造函數法解題是一種創造性思維過程，具有較大的靈活性和技巧性。在運用過程中，應有目的、有意識地進行構造，始終“盯住”要解決的目標。
專題探究
探究1：從條件特征入手構造函數
聯系已知條件和結論，構造輔助函數是高中數學中一種常用的方法，解題中若遇到有關不等式、方程及最值之類問題，設法建立起目標函數，并確定變量的限制條件，通過研究函數的單調性、最值等問題，常可使問題變得明了，準確構造出符合題意的函數是解題的關鍵；解這類不等式的關鍵點也是難點就是構造合適的函數，構造函數時往往從兩方面著手：①根據導函數的“形狀”變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據選項的共性歸納構造恰當的函數.
(2021全國理科乙卷.12)設，，，則（ ）
A. B. C. D.
【審題視點】
如何構造函數比較大小？
【思維引導】
本題是一個比大小的題目，和容易比較，、，、的比較不太容易，觀察題干當中的共性結構，會發現1.01,1.02,1.04都跟1有關系，進而可以構造出新的函數。
【規范解析】
，，，
令，，
令，則，，
，
，
，
在上單調遞增，
，
，即，
取，則，即，
同理令，，
再令，則，，
，
，，
在上單調遞減，
，
，即，
同樣的，取，則，
即，．故選：B.
【探究總結】
高考選擇壓軸題通常是需要構造函數去解決，構造函數時要善于觀察，多角度發現它的結構特征.
(2021山西高三模擬)設，,,，
，則（ ）
A． B． C． D．
探究2：利用進行抽象函數構造
導數問題中已知某個含的不等式，可以轉化為函數的單調性，我們可以根據不等式的形式構造適當的函數求解問題．常用構造形式有、，這類形式是對，型導數的推廣及應用，當導函數形式出現的是“”時，優先考慮構造型，當導函數形式出現的是“”時，優先考慮構造型.
幾種導數的常見構造：
1．對于，構造
若遇到，構造
2．對于，構造
3．對于，構造
4．對于，構造
5．對于，構造
6．對于，構造
拓展：1. 對于，構造
2. 對于，構造
3. 對于，構造
4. 對于，構造
(2021山東省臨沂市聯考.多選)已知函數的定義域為，導函數為，
，且，則（ ）
A． B．在處取得極大值
C． D．在單調遞增
【審題視點】
抽象函數因題目中沒有具體的解析式,難度較大，如何構造合適的函數是解題關鍵.
【思維引導】
題設條件出現“”的形式，優先考慮構造，然后利用導數的單調性求解即可.
【規范解析】
∵函數的定義域為，導函數為，
,即滿足,
∵∴,
∴可設為常數,
∴ ，
∵，解得，
∴，
∴，滿足，∴ C正確； ∵,
且僅有∴ B錯誤，A、D正確
故選：ACD
【探究總結】
利用題目的條件,聯想學過的函數類型,構造出相應的函數模型,則可快速解答這類題目。
(2021安徽省合肥市聯考)已知函數是定義在上的奇函數，其導函數為，且對任意實數都有，則不等式的解集為（ ）
A. B. C. D.
探究3：“同構法”構造函數
同構式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達式.同構式需要構造一個母函數，即外函數，用表示，這個母函數需要滿足:①指對跨階，②單調性和最值易求.
常見的同構形函數：（1）與（2）與,
常見的同構變形：（1）（2） （3）
注意：同構后的整體變量范圍.
(2020年全國新課標Ⅰ卷.12)若，則（ ）
A. B. C. D.
【審題視點】
比大小題目可考慮采用作差、作商、利用函數的單調性等方法，選取合適的方法是解題關鍵.
【思維引導】
把等式形式盡可能構造相同形式,再放縮構成相同形式,此時得出單調函數,即可比較大小.
【規范解析】
根據指數及對數的運算性質，
，
∴，
設，則是定義域上的增函數，
則，故選B．
【探究總結】
如果不等式的兩側呈現同構特征，則可將相同的結構構造為一個函數，進而和函數的單調性找到聯系，可比較大小或解不等式。
(2021內蒙古.高三質量普查)已知實數、，滿足，，則關于、下列判斷正確的是（ ）
A. B. C. D.
專題升華
同構思想無處不在，應用范圍：函數，方程，數列，解析幾何等.
在解析幾何中的應用：如果滿足的方程為同構式，則為方程所表示曲線上的兩點.特別的，若滿足的方程是直線方程，則該方程即為直線的方程.
在數列中的應用：可將遞推公式變形為“依序同構”的特征，即關于與的同構式，從而將同構式設為輔助數列便于求解。
【答案詳解】
變式訓練1【答案】
【解析】，而，
令，則，
令，則，
∴時，，單調遞減，而，，
∴當時，，則在單調遞減，則，
∵，∴，即,
綜上可知，
故選.
變式訓練2【答案】
【解析】設，則．
因為，所以，即，
故在上單調遞增．
因為是定義在上的奇函數，所以，所以，不等式，
即，則．
故選：．
變式訓練3【答案】
【解析】
，
令，則單調遞減，且，
所以，可得．于是，所以
又，得，所以．
故選．

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