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解題方法-取對數法
專題綜述
取對數法策略所具備的優點就是能夠幫助算法之間的轉化,比如可以將乘方轉化為乘法;再將乘法運算進行進一步轉化為加法運算.在實際解題的過程中恰當地使用取對數法策略,可以實現化難為易的目標。
專題探究
探究1：取對數解指數方程
等式兩邊取對數的原則：當等式一邊出現指數的時候，等式兩邊可以同時取對數。等式兩邊同時取對數是為了便于對等式進行推理、運算。
注意：等式兩邊必須都是正數時，才能同時取對數。
常見的四種指數方程的一般解法：
（1）方程的解法（對數運算法則）：
（2）方程的解法（指數運算法則）：
（3）方程的解法（取對數法）：
方程兩邊同時取對數：
（4）方程的解法（換元法）：
令,注意新變量范圍，將原方程化為關于的方程，即可求解。
( 2020江蘇省蘇州市模擬.多選)已知正數，，滿足，下列結論正確的有
A. B. C. D.
【審題視點】
如何利用條件“”得出，，之間的關系？
【思維引導】
本題考查基本不等式，指對互化．
A.由取對數得，然后找到、、的關系，計算與、與的比值即可；
B.根據表示出、、，再根據這三者的等量關系,列出等式化簡；
C.根據，使用基本不等式即可證明；
D.由得，將二者相乘后利用基本不等式證明即可．
【規范解析】
解：由取對數得，
設，則，
，即，
，即，
，故A錯誤；
B.，
，即，故B正確；
C.由基本不等式可知，
當且僅當時等號成立，
根據可知，所以等號取不到，
，即，
故C正確；
D.由可知，
，
即，故D正確．
故選BCD．
【探究總結】
取對數運算可將乘法運算或除法降格為加法或減法運算，也可以將根式、冪函數、指數函數轉化為乘除運算，一般在采取這一策略之后會讓解題不好走變得更加簡單方便。
(2021河北省邢臺市模擬)已知，若，
，則
A. B. C. D.
探究2：取對數構造數列
遞推關系式如的通項公式求法：
①若，則等式兩邊取常用對數或自然對數，化為，
得到首項為，公比為的等比數列，所以.
②若，則等式兩邊取以為對數，化為，然后采用構造法構造新的等比數列求解。
(2021年河北省保定市二模)已知數列，，．
求；求．
【審題視點】
本題中的遞推關系式為乘方的形式，優先考慮取對數構造新的數列。
【思維引導】
第一問由條件“”，等式兩邊同時取自然對數，得到，
變形即可求得；第二問用錯位相減法求和.
【規范解析】
解：，，
則，即，
也就是，即，．
設，
則，
，
可得：，．
【探究總結】
求解該題的關鍵一步是運用兩邊取對數構造數列,通過兩邊取對數可把乘方運算轉化為乘法運算,這種運算法則的改變或能簡化運算,或能改變運算式子的結構,從而有利于尋找解題思路,因此兩邊取對數成為處理乘方運算時常用的一種方法。
( 2021廣西名校高考一模)已知數列，，則
A. B. C. D.
探究3：取對數解復雜不等式
不等式的證明方法有許多，有時在證明不等式時，用取對數法可以使要證明的不等式轉化為另一個易證明的等價不等式，從而達到所要證明不等式的目的。
解不等式兩邊取對數需滿足的條件：
（1）首先等式兩邊都得大于零，
（2）如果對數底數小于1,則不等號方向變化，
（3）如果對數的底數大于1,則不等號方向不變。
( 2021江蘇省南京市期末)已知函數有兩個零點，，且．
1求的取值范圍；
2設函數的極值點為，證明：．
【審題視點】
求導后零點無法具體解出，如何處理？隱零點的范圍控制到什么程度，代換后的式子比較復雜，該如何放縮？
【思維引導】
第一問求導研究函數的單調性，但是復雜，需構造函數再次求導判斷的單調性，因為的零點無法具體解出,所以虛設零點，借助的圖像的性質得不等式,
第二問利用放縮法和基本不等式進行證明。
【規范解析】
1解：因為函數，
故定義域為，，
令，
則對恒成立，
故在上單調遞增，
易知函數與函數在上有一個交點，
設交點的橫坐標為，
則在上單調遞減，在上單調遞增，
即函數的極小值點為，
因為，當時，，
所以要使函數有兩個零點，
則，即，
即，所以，
又由可得代入可得，，
即，兩邊同時取自然對數可得，
即，聯立可得，解得，
所以的取值范圍為；
2證明：由題意可得，即
，
由1得，所以，
因為，所以，
當且僅當，即時取等號，
故．
【探究總結】
對于給出含有參數的函數，并且滿足在一定范圍該函數有幾個零點的問題，一般都是先對函數進行求導，對參數進行分類討論，看參數在不同的范圍內是否能滿足題意，從而求出參數取值范圍，因為是隱零點，所以需要整體代換，巧妙求解；第二問需要先放縮，將函數中的指數函數，放縮為易于處理的對勾函數。
(2021湖北省武漢市模擬)已知函數．
證明：在上單調遞增；
已知，若關于的不等式在上恒成立，求的取值范圍．
專題升華
取對數和去對數符號是相反的過程，但是在化簡、計算、求值、證明中，若能巧妙地運用取對數與去對數符號的方法，則使問題簡單化。在高中的函數、數列、不等式的學習過程中，“取對數”可以將乘方運算轉化為乘法運算，將乘法運算轉化為加法運算，恰當運用“取對數”，利用等價轉化可以達到化難為易、化繁為簡的目的。
另外對數求導法也是高等數學中求函數導數的一種重要的方法,其整體思路是當函數式較復雜(含乘,除,乘方,開方,指數函數,冪指函數等)時,可先在方程兩邊取對數,然后利用隱函數的求導方法求出導數。
【答案詳解】
變式訓練1【答案】
【解析】對兩邊取以為底的對數得，即，
同理有，代入中得，
因為，所以，令，，則，整理可得，
解得或舍去，所以，
故選：．
變式訓練2【答案】
【解析】，，
兩端取對數可得，，
，
，，
數列是以為首項，為公比的等比數列，
，
，
故選：．
變式訓練3
【解析】，，
令，則，
當時，，所以在上單調遞增，且．
當時，，即，在上單調遞增；
，時，，
不等式可化為，即
，由知，在上單調遞增，
故只需在上恒成立，
兩邊同時取自然對數，得，即恒成立，
令，則，
當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，
所以最大值為．故的取值范圍是．

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