資源簡介

函數與導數—導數中的恒成立與存在性問題
專題綜述
函數中的恒成立與存在性問題是高考的考查重點，這部分試題涉及函數方程，邏輯聯結詞，導數等知識，運用函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、化歸與轉化思想等多種思想方法.結合導數考查恒成立與存在性問題，試題難度較大，但題型大致可分為：①已知單調區間，或在某區間上存在單調遞增（減）區間或；②利用單調性比較大小同構思想將式子兩則變形為相同結構，構造函數利用單調性比較大小；③分離參數構造函數求最值；④含參討論求函數最值；⑤圖象法.對于部分存在性問題，可從正難則反的角度，將存在問題轉化為恒成立問題，或直接列出不等式解決.
專題探究
探究1：與單調性結合
1.已知單調性轉化為導函數恒成立問題
答題思路：
第一種:① 已知函數在區間上單調遞增（減）
第二種：②已知函數在區間上存在遞增（減）區間
i） ；
ii）轉化為函數在區間上不存在遞增（減）區間即；
第三種：已知即函數在區間上單調遞增（間）轉化為第一種情況
2.已知不等式恒成立轉化為利用單調性解不等式問題
答題思路：同構法
第一步:將不等式兩側變形為相同結構；
第二步:構造函數，則不等式即為；
第三步:判斷單調性，得出的關系，即為新的恒成立關系式. （專題1.3.10）
3.抽象函數：與共存問題構造函數判斷函數單調性，利用單調性解不等式（專題1.3.6）.
（2021江蘇南京月考）已知對任意的，不等式恒成立，則正數的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【審題視點】
不等式中含有、，且兩部分結構分離，不等式可變形為，聯想到同構法的3種基本結構，即可以利用同構法，構造函數，利用單調性求參.
【思維引導】
不等式變形為 ，再變形為，構造函數，不等式即為.判斷單調性，得出與的關系.
【規范解析】
解：由，得，
，
設，則不等式為，
又，
當時，恒成立
在上單調遞增，
，，即
設，得，
令，則
在上單調遞增，在上單調遞減，
，
則，
得實數的取值范圍是
故選
【探究總結】
同構法解決恒成立問題求參，應先觀察不等式，尤其是不等式中含有，的結構，初步變形，再結合三種同構的基本模式，變形為，必要時涉及放縮.構造函數，利用函數單調性，得出的恒成立不等號式.
（2021安徽六安模擬）已知函數
（1）當時，證明：有解；
（2）若對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍．
探究2：轉化為求一個函數最值
恒成立與存在性問題轉化為求函數最值的思路：
第一種:分離參數：含參不等式轉化為（或），求函數的最值；
第二種:對不等式化簡變形，轉化為的結構，含參討論函數單調性，求出最值；
（2021陜西西安月考）已知函數
（1）當時，求函數的圖象在處的切線方程；
（2）若對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍．其中為自然對數的底數
【審題視點】
解答題中出現恒成立問題，首先選擇分離參數，構造函數求最值；若構造的函數復雜，或解導數不等式困難，則對不等式作適當變形，構造含參函數，分類討論，判斷函數單調性.
【思維引導】
對不等式的結構進行變形，“化分為整”變為；構造函數，分類討論函數的單調性.
【規范解析】
解：（1）當時，，所以，
此時，故，
在點處切線方程為，
即
（2）由題意得對任意恒成立
令，得，
設，
，
設，則，
在上單調遞減，
，
①當時，，則在單調遞增，
②當時，存在使得，
即，
在上單調遞減，在上單調遞增，
則，
所以，
即，，
即，
又在上單調遞減，
，
綜上所述：.
【探究總結】
解答題中的恒成立問題，經常會構造含參函數，分類討論，判斷函數單調性.對不等式的變形，盡量使分式化為整式，使函數變為或的結構，便于求導及解導數不等式.
（2021廣東廣州聯考）已知函數
（1）當時，求曲線在點處的切線方程;
（2）若對任意，不等式恒成立，求正整數的最小值.
探究3：轉化為求兩個函數最值
1.恒成立或能成立的不等式，轉化為上述兩種形式，研究一個函數最值時，解導數不等式較困難，無法明確函數單調性，可以將不等式轉化為的形式，轉化為求兩個函數的最值進行比較；
2.“”與“”共存的命題：
①；
②；
③；
④；
(2021湖北宜昌模擬）已知函數，其中是自然對數的底數．
（1）若關于的不等式在上恒成立，求實數的取值范圍；
（2）已知正數滿足：存在使得成立，求正實數的取值范圍
【審題視點】
兩問都是恒成立或者存在問題，思考方向為分離參數、構造含參函數、比較兩個函數最值，根據不等式特點，選擇適當的方法.
【思維引導】
（1）恒成立問題：分離參數構造函數求最值；（2），由于符號不確定，排除分離參數；若構造函數，其導函數較復雜，不利于判斷單調性；不等式兩側的函數都是能夠容易判斷單調性的函數，故可轉化比較不等式兩側的函數的最值，求參.
【規范解析】
解：（1）由題意得 ，恒成立，
即在上恒成立，
，
，
即對恒成立.
令，則對任意恒成立，
，
當且僅當時等號成立，
（2）由題意得 設，
則當時，
又
當時，，
在上單調遞增，
令，，
，
，即在上單調遞減，
，
即
【探究總結】
恒成立與存在性問題求參，首先要根據不等式結構選擇合適的方法，確定解題方向.將不等式兩側 “合二為一”時，難以判斷函數單調性，則將不等式“一分為二”，若不等式左右兩側結構一致，則利用同構法解決，若結構不一致，則分別求兩個函數的最值.
(2021江蘇鎮江模擬）已知函數，其中，
（1）若是函數的極值點，求實數的值及的單調區間；
（2）若對任意的，使得恒成立，且，求實數的取值范圍.
專題升華
利用導數解決恒成立與存在性問題，往往試題難度屬于中高檔題，題型涉及選擇題、填空題和解答題,方法靈活，綜合性強，是高考的熱點和難點.解題時，要善于轉化恒成立與能成立的不等式，才能 “撥開云霧見天日”.從導數知識點的角度看：
導數的幾何意義：求出直線與函數圖象相切時的斜率.若題干不等式能夠轉化為數形結合，從圖象的角度理解為函數的圖象在直線的下方，即求出直線與函數圖象相切時的方程，從而求出參數的取值范圍，作圖時，需借助導數判斷函數單調性.
導數研究單調性：（1）導數的符號決定原函數的單調性，若已知函數在區間上單調轉化為導函數的恒成立問題；若已知函數在區間上存在單調區間轉化為導函數的存在性問題；（2）利用單調性比較大小：①抽象函數利用與共存的不等式構造函數，判斷單調性；② 同構法不等式變形為，判斷的單調性，得出關于恒成立或能成立的不等式.
利用導數求最值：恒成立或能成立的不等式變形為，由不等式的形式靈活的選擇適當的方法即分離參數構造函數求最值、含參討論函數最值、比較兩個函數的最值，求出參數取值范圍.
【答案詳解】
變式訓練1
【解析】（1）證明：當時， ，
令
則，
在上單調遞減.
又，，
，使得
當時，，則，
當時，，則，
在上單調遞增，在單調遞減
，故，有解.
（2）解：對任意，不等式恒成立，即恒成立，
即，
即恒成立.
令，則上式即為：
，為上的增函數，
，
令，則
當時，
在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
，即實數的取值范圍是
變式訓練2
【解析】解：（1）當時，，
， ，
又，
所求切線的方程為，即為，
（2）當時，即，
令，則，
令，則，
當時，，
在區間上單調遞減
又，
在區間上存在一個零點，
則，即，
當時，，即，函數單調遞增，
當時，，即，函數單調遞減，
，
則，
，
正整數的最小值是
變式訓練3
【解析】解：由題意得 ；
，即，
或；
經檢驗，或時，是函數的極值點，
或；
由，，則
令，則
在上單調遞減；在上單調遞增
（2），，恒成立，
即 時， ，
當時，
函數在上是減函數．
當時， ， ，
令，則
①當時，恒成立
函數在上是增函數．
由，得，又，
②當時，
函數在上是減函數，在上是增函數．
，得，
綜上所述：

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