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立體幾何-空間幾何體中的翻折問題
專題綜述
空間幾何體中的翻折問題往往是將平面圖形沿確定的點、直線、平面翻折后變成空間立體圖形，再根據(jù)平面圖形的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系等來研究空間幾何圖形中點、線、面等元素間的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系、軌跡方程等問題。對于翻折問題一定要理清翻折前后的不變關(guān)系和不變量，通常在折痕的同側(cè)的位置關(guān)系和線的長度、角度的大小不變，但在折痕兩側(cè)的線的長度、角度以及位置關(guān)系都有變化，這一點是處理翻折問題的關(guān)鍵之處。
專題探究
探究1：翻折中的計算問題
將平面幾何圖形翻折成空間幾何體，會帶來線段的長度和角度的變化，從而影響線、面位置關(guān)系，解決這類問題的關(guān)鍵是需要分清楚翻折前后的變化，需要一定的空間想象能力。
求解翻折問題的基本方法：
第一步：根據(jù)題設(shè)條件畫出立體圖形
第二步：比較翻折前后的圖形,弄清哪些量和位置關(guān)系在翻折過程中不變,哪些已發(fā)生變化
第三步：將不變的條件集中到空間幾何體中,將問題歸結(jié)為條件與結(jié)論明朗化的立幾問題。
(2021山東省濰坊市模擬)已知四邊形，，
，將沿翻折至．
若，求證；
若二面角為，求直線與平面所成角的正弦值．
【審題視點】
如何根據(jù)題設(shè)條件建立合適的空間直角坐標系？
【思維引導(dǎo)】
利用線面垂直的判定及性質(zhì)即可,
先取的中點，的中點，過，證明平面，再建立空間直角坐標系，利用空間向量法求線面角的正弦值．
【規(guī)范解析】
證明：設(shè),則
即，，，
又，,平面,
∴平面，平面，
取中點,中點,連接,,則，
∵ 平面,平面，，
∴平面,∴，
∵平面, ∴平面平面，
過,平面,平面平面，
∴平面，設(shè)，，
以為坐標原點，分別為，軸正方向，
建立空間直角坐標系，如圖所示，
則，，，，，
，，，
設(shè)為平面法向量，
即,取,可得,
設(shè)與平面所成角為，
，
直線與平面所成角的正弦值為．
【探究總結(jié)】
翻折問題就是把平面圖形經(jīng)過折疊變成一個空間圖形，解決折疊額問題時，要把運動著的空間圖形不斷與原圖形進行對照，看清楚哪些量在變化，哪些量沒有變化，從而尋找出解決問題的方法，達到空間問題與平面問題相互轉(zhuǎn)化的目的。
(2021四川省成都市模擬)如圖，在直角梯形中，，，，，矩形沿翻折，使得平面平面．
若，證明：平面平面；
當三棱錐的體積最大時，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．
探究2：翻折中的最值問題
解決空間圖形有關(guān)的線段、角、距離、面積、體積等最值問題，一般可以從三方面著手：一是從問題的幾何特征入手，充分利用其幾何性質(zhì)去解決；二是利用空間幾何體的側(cè)面展開圖；三是找出問題中的代數(shù)關(guān)系，建立目標函數(shù)，利用代數(shù)方法求目標函數(shù)的最值.解決途徑很多，在函數(shù)建成后，可用一次函數(shù)的端點法、二次數(shù)的配方法、公式法、函數(shù)有界法（如三角函數(shù)等）及高階函數(shù)拐點導(dǎo)數(shù)法等.
(2021山東省濰坊市期中)如圖，已知菱形邊長為，，點為對角線上一點，將沿翻折到的位置，記為，且二面角的大小為，則三棱錐的外接球的半徑為 ；過作平面與該外接球相交，所得截面面積的最小值為 ．
【審題視點】
如何找到三棱錐的外接球球心？
【思維引導(dǎo)】
過，的重心分別作平面的垂線，交于一點，即為三棱錐
外接球的球心，結(jié)合已知線段長度求半徑；
首先確定出當截面面積最小時，截面，再根據(jù)線段長度求出截面圓的面積
【規(guī)范解析】
，且四邊形為菱形，
，均為等邊三角形，
取，的重心分別為，，
過，分別作平面，平面的垂線，且交于一點，
此時即為三棱錐外接球的球心，
記，連接，，
二面角的大小為，且，，
二面角的平面角為，
，，
則，
又，，
則，，
又，．
即三棱錐的外接球的半徑為；
當截面面積最小時，此時截面，又截面是個圓，
設(shè)圓的半徑為，外接球的半徑為，
又，且，
．
，
此時截面面積．故答案為：；．
【探究總結(jié)】
本題考查空間幾何體外接球的體積與表面積的求法，考查球截面面積最值的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運算求解能力．
(2021江蘇省南通市模擬)如圖，在邊長為的正方形中，點、分別是邊，的中點，將沿翻折到在翻折到的過程中，的最大值為
A. B. C. D.
專題升華
研究翻折問題應(yīng)注意折前折后各元素相對位置的變化，要理清哪些位置關(guān)系和度量關(guān)系發(fā)生了變化，哪些沒有改變，解決翻折問題的關(guān)鍵可以歸納如下：
找準“基準圖”折疊,
畫好“2個圖”——折前的平面圖和折后的空間立體圖,
尋找“2個量”——哪些量（或關(guān)系）發(fā)生了變化，哪些量（或關(guān)系）沒有發(fā)生變化.
【答案詳解】
變式訓(xùn)練1
【解析】證明：，矩形為正方形，，
平面平面，平面平面，，平面，
平面，
平面，，
又，、平面，平面，
平面，平面平面．
在中，設(shè)，則，
，
當且僅當，即時，等號成立，
此時的面積有最大值．
平面平面，平面平面，，平面，
平面，
，
故當三棱錐的體積最大時，．，平面，
以為原點，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
，，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
令，則，，，
平面，平面的一個法向量為，
，，
故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．
變式訓(xùn)練2
【解析】因為四邊形為正方形，、分別為、中點，
所以，所以，
又因為，故A，令與的交點為，連接，
在翻折過程中始終有，又，，，，
所以，所以在以為圓心，半徑為的上半圓上運動，
當取得最大值，最大，即與上半圓相切時，設(shè)切點為，
，，
此時．
故選：．

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