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函數與導數—利用導數解不等式問題
專題綜述
利用導數解不等式問題是以導數為工具，研究函數性質及圖象，從而得到不等式的解，這部分問題通常難度較大.解不等式問題常用的方法有：（1）不等式：判斷函數的單調性，得到的不等關系；（2）借助圖象解不等式.不論方法（1）、（2），處理復雜的函數時，都要借助導數研究函數單調性，進一步得到不等關系，或是作出函數圖象.
專題探究
探究1：構造函數解不等式
解不等式的題目中，條件含有：①關于與的不等式或等式；②的性質；③的值，解題的常規思路是：構造函數研究的單調性結合函數的奇偶性將不等式變形為的形式得到的不等關系.
答題思路：
第一步:構造函數，2個角度：①觀察含有的不等式或等式，結合導數的四則運算，構造函數；
②觀察需要解出的不等式，結合奇偶性將不等式轉化為左右兩側結構一致，構造函數；
第二步:①為抽象函數：中含有題干中的不等式或等式，判斷函數單調性；②為具體函數：直接求；
第三步:結合函數奇偶性，將要求不等式化為的形式，得不等關系.
補充：常見的構造函數的形式
（1）加乘型
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥
（2）減除型
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥
（3）型且具有奇偶性
(2021浙江麗水模擬) 已知定義在上的函數的導函數為，的圖象關于點對稱，且對于任意的實數，均有成立，若，則不等式的解集為（ ）
A. B. C. D.
【審題視點】
題干中出現函數性質、已知函數值以及與共存的不等式，思路就是構造函數利用單調性解不等式.
【思維引導】
不等式變形構造函數；求導結合不等式判斷單調性；不等式化為的結構；解不等式.
【規范解析】
解：由題意得 的圖象關于對稱
則的圖象關于對稱，即為奇函數
由得
設，
則
在上單調遞減
故
不等式即為
故不等式的解集為
故選.
【探究總結】
上述類型的題目較為典型，題干條件決定解題方向，解題按照：構造、轉化變形、解不等式的步驟進行.這類題目往往涉及抽象函數，利用單調性解不等式會與函數的奇偶性、對稱性相結合考查.解決該類題目，除了構造函數的方法以外，特殊條件下也可以借助常數函數、一次函數等特殊函數解決.
（2021四川綿陽聯考）已知函數，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
探究2：利用導數作圖解不等式
專題1.3.1函數的圖象與性質的探究三，給出利用函數圖象解不等式的思路方法，用圖象解題的關鍵是作圖.對于解析式較復雜的函數，其圖象要借助導數判斷函數單調性，及特殊點，借助圖象求出解集或參數的取值范圍.
答題思路：
第一步: 利用導數確定函數單調區間，并求出極值、最值或其他特殊點的函數值；
第二步: 作圖，借助圖象解不等式或求出參數的取值范圍；
（2021江西月考）已知函數的導函數為，且對任意的實數都有是自然對數的底數，且，若關于的不等式的解集中恰有兩個整數，則實數的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【審題視點】
不等式，不能轉化為的結構利用單調性求解集，思路轉化為用圖象解決，需要先求出的解析式，再作出圖象.
【思維引導】
求出的解析式利用導數判斷函數單調性作圖.
【規范解析】
解：由，
得，
，
，
令，得
在區間上單調遞增，
在區間上單調遞減
，
，，
且當時，，
結合函數單調性及特殊點，作出函數的圖象：
由圖可得：當時，的解集中恰有兩個整數，
故的取值范圍是
故答案選：
【探究總結】
利用圖象解不等式或求參數的取值范圍，作圖的方法有：基本初等函數的圖象、圖象變換作圖、借助導數作圖、圓錐曲線的一部分，函數復雜時，借助導數作圖.解題時，根據不等式的結構初步判斷是利用單調性解不等式，或是利用圖象，若借助圖象，要能準確作出函數的圖象.
（2021江蘇南京聯考）若關于的不等式的解集為，且中只有一個整數，則實數的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
專題升華
高中數學關于解不等式的類型，分為：①可以直接變形求解集，如一元一次不等式、一元二次不等式、指對不等式、三角不等式、高次不等式、絕對值不等式、及通過換元和拆分為上述不等式的情況； ②借助圖象與性質求解集：不等式較復雜或函數無解析式，題干中出現與共存的關系式時，要根據不等式類型，若不等式兩邊能轉化為結構一致則研究函數單調性，若不等式兩邊不不能化為結構一致，則利用圖象體現不等關系.所以解不等式問題，第一步是通過題干條件的特點，確定解題方法.
利用導數解不等式本質上是，發揮導數研究單調性的工具作用，判斷函數單調性.若不等式轉化為，利用單調性、奇偶性、對稱性，比較，注意已知函數值的應用.若不等式轉化為，利用單調性、特殊點作圖，求解不等式.
【答案詳解】
變式訓練1 【答案】A
【解析】解：由題意得
，
，故的圖像關于點對稱，
設，則
又，則
令，則
在區間上單調遞減，在區間上單調遞增
在上單調遞減
又，則
即即
即
原不等式的解集為
故選：A
變式訓練2
【解析】解：由題意設，，，
不等式有唯一負整數解，
，在直線下方的部分，橫坐標為整數的只有一個點，
，，
在上單調遞減，在上單調遞增，
，
恒過定點，
結合函數圖象得，，
又，，
，，即，
故選：

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