資源簡介

解析幾何-圓錐曲線中的存在性問題
專題綜述
存在性問題是一種具有開放性和發散性的問題，此類題目的條件和結論不完備，要求學生結合已有的條件進行觀察、分析、比較和概括，有探究點是否存在、直線是否存在、圓是否存在的，有探究圓是否過定點、直線是否過定點等等這類題型在考查圓錐曲線基礎知識和幾何性質的同時，能很好的考查學生的運算求解、推理論證等數學能力，對數學思想、數學意識和綜合運用數學方法的能力有較高的要求。
專題探究
探究1：探究常數值的存在性
解決是否存在常數的問題時，應首先假設存在，看是否能求出符合條件的參數值，如果推出矛盾就不存在，否則就存在。
解題策略：
（1）通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化，其步驟為：假設滿足條件的元素（點、直線、曲線或參數）存在，用待定系數法設出，列出關于特定參數的方程組，若方程組有實數解，則元素（點、直線、曲線或參數）存在，否則（點、直線、曲線或參數）不存在；
（2）反證法與驗證法也是求解存在性問題的常用方法．
(2022八省八校聯考)設橢圓：，圓，點，分別為的左、右焦點，點為圓心，為原點，線段的垂直平分線為已知的離心率為，點，關于直線的對稱點都在圓上．
求橢圓的方程；
設直線與橢圓相交于，兩點，問：是否存在實數，使直線與的斜率之和為？若存在，求實數的值；若不存在，說明理由．
【審題視點】
如何根據題設條件“直線與的斜率之和為”得到關于的方程？
【思維引導】
根據橢圓的離心率及圓的幾何性質求出，，即可求解
先設直線方程，再將直線與橢圓聯立，利用韋達定理求解即可，注意驗證.
【規范解析】
由已知，，則．
設點，關于直線的對稱點分別為，，
因為點，關于直線對稱，為線段的中點，
則為線段的中點，從而線段為圓的一條直徑，
所以，即，即．
于是，,所以橢圓的方程是．
因為原點為線段的中點， 圓心為線段的中點，直線為線段的垂直平分線，
所以點與也關于直線對稱，
因為點，
則線段的中點為，直線的斜率為，
又直線為線段的垂直平分線，
所以直線的方程為，即．
將代入,得,
即．
因為直線與橢圓相交，則，
解得，即．
設點，，則，．
所以
．
由已知，，則，
得．
所以，即，即．
因為，所以不存在實數，
使直線與的斜率之和為．
【探究總結】
解決此類問題需要做好以下兩個方面：（1）轉化，即把題中的已知和所求準確轉化為代數中的數或式，即形向數的轉化，（2）計算，直線與圓錐曲線的位置關系問題，往往需要聯立直線與圓錐曲線方程，利用韋達定理進行化簡，然后根據代數式的結構特征采用相應的方法求解，需要注意判別式＞0的條件。計算準確是關鍵，熟練掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質（范圍、對稱性、定點、離心率）。
(2021江蘇省第二次百校聯考)已知，分別是橢圓的左、右焦點，過點的直線與橢圓交于，兩點，點在橢圓上，且當直線垂直于軸時，．
求橢圓的標準方程；
是否存在實數，使得恒成立．若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
探究2：探究特殊點的存在性
解決是否存在點的問題時，可依據條件直接探究其結果，也可以舉特例，然后再證明。
解題策略：
第一步：假設結論存在；
第二步：結合已知條件進行推理求解；
第三步：若能推出合理結果，經驗證成立即可肯定正確；若推出矛盾，即否定假設；
第四步：反思回顧，查看關鍵點、易錯點及解題規范．
(2021江蘇省百校聯考)在平面直角坐標系中，已知點，，動點滿足直線與的斜率之積為，記的軌跡為曲線．
求的方程，并說明是什么曲線；
過點的直線交于,兩點,過點作直線的垂線,垂足為,過點作
，垂足為．證明：存在定點，使得為定值．
【審題視點】
如何借助直角三角形的幾何性質轉化？
【思維引導】
分別求由直線與的的斜率，根據直線與的斜率之積為，化簡即可求曲線的方程，注意直線與斜率存在的條件
由知直線與軸不重合,可設,聯立直線與橢圓方程求出,由，，求出直線的斜率及方程，求出直線過定點，由，則
為直角三角形，取的中點，即可求出為定值．
【規范解析】
解：由題得，
化簡得，
所以是中心在原點，焦點在軸上，不含左、右頂點的橢圓．
證明：由知直線與軸不重合，可設，
聯立得．
設，，
則，，，
所以
因為，，
所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，
所以直線過定點．
因為，所以為直角三角形，
取的中點，則，即為定值．
綜上，存在定點，使得為定值．
【探究總結】
定值問題就是在運動變化中尋找不變量的問題，基本思想是使用參數表示要解決的問題，證明要解決的問題與參數無關，圓錐曲線圖形變化中的幾何不變性豐富多樣，而又靈活變通，定點、定值問題也由此相互轉化，神韻相通。
(2021江蘇省南京市六校聯考)已知拋物線：，點，直線過點且與拋物線相交于，兩點．若，直線的斜率為，求的長；
在軸上是否存在異于點的點，對任意的直線，都滿足若存在，指出點的位置并證明，若不存在請說明理由．
探究3：探究直線的存在性
解決是否存在直線的問題時，可依據條件尋找適合條件的直線方程，聯立方程消元得出一元二次方程，利用判別式得出是否有解。
解題策略：
第一步：設出直線方程；
第二步：聯立直線與圓錐曲線，然后消元得一元二次方程；
第三步：根據題設條件用根的判別式、韋達定理、弦長公式、面積公式等進行運算；
第四步：反思解題過程，檢查易錯點，規范解題步驟．
(2021山東省臨沂市聯考)橢圓：與橢圓：有共同的焦點，且橢圓的離心率點、分別為橢圓的左頂點和右焦點，直線過點且交橢圓于，兩點，設直線，的斜率分別為，．
求橢圓的標準方程；
是否存在直線，使得，若存在，求出直線方程；不存在，說明理由．
【審題視點】
如何根據題設條件“”得到關于直線斜率的方程？
【思維引導】
根據橢圓的性質即可求出，，的值；
假設存在直線，分析直線的斜率一定存在，并設出直線的方程，與橢圓方程聯立，利用韋達定理以及斜率公式求出的關系式，化簡求出直線的斜率，進而可以求解．
【規范解析】
解：橢圓：的焦點為，
設橢圓的半焦距為，
可知，且，所以，
則，所以橢圓的方程為：；
由得橢圓的右焦點坐標為,左頂點坐標為,
假設存在直線，滿足，
若直線的斜率不存在時，，不合題意，舍去，
所以可設直線的方程為：，
聯立方程，
消去整理可得：，
設，，則，
則
，所以，
所以直線的方程為：，即，
綜上，存在直線：，使得．
【探究總結】
解決此類問題需先假設直線存在，主要討論直線斜率不存在的情況，聯立直線與圓錐曲線，借助韋達定理消元，根據題設條件用根的判別式、韋達定理、弦長公式、面積公式等進行運算.
(2021青海省西寧市模擬)已知右焦點為的橢圓：經過點
求橢圓的方程；
經過的直線與橢圓分別交于、不與點重合兩點，直線、分別與軸交于、兩點，是否存在直線，使得？若存在,求出直線的方程;若不存在，請說明理由．
專題升華
解決存在性問題的技巧總結
特殊值（點）法：對于一些復雜的題目，可通過其中的特殊情況，解得所求要素的必要條件，然后再證明求得的要素也使得其它情況均成立。
核心變量的選?。阂驗榻鉀Q存在性問題的核心在于求出未知要素，所以通常以該要素作為核心變量，其余變量作為輔助變量，必要的時候消去。
核心變量的求法：
①直接法：利用條件與輔助變量直接表示出所求要素，并進行求解
②間接法：若無法直接求出要素，則可將核心變量參與到條件中，列出關于該變量與輔助變量的方程（組），運用方程思想求解。
【答案詳解】
變式訓練1
【解析】由題意可得解得，．
故橢圓的標準方程為．
如圖，由可知，．
當直線的斜率不存在時，，則；
當直線的斜率存在時，設其斜率為，
則直線的方程為，，．
聯立整理得，
則，，
從而，
故．
由題意可得，，
則．
因為，所以．
綜上，存在實數，使得恒成立．
變式訓練2
【解析】 由題可知直線：，
則，解得或．
即，所以．
存在軸上的點滿足題意，證明如下：設直線．
聯立方程組成方程組，消去化簡整理可得．
設，
則有．
．
所以，可知，的傾斜角互補，所以．
所以為的角平分線．
由正弦定理可知：
，
兩式相除得，
綜上可得，存在軸上的點，滿足題意．
變式訓練3
【解析】因為橢圓 經過點，
所以，又因為，，
所以，．
所以橢圓的方程為．
存在直線，使得 ，理由如下：
由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為，
代入橢圓的方程，
得，，
設，，
則，，
記直線，的斜率分別為，，
欲使直線，滿足，只需．
因為，，三點共線，所以．
即．
則
．
由可得，
所以存在直線，使得，
此時直線的方程為，即．

展開更多......

收起↑