資源簡(jiǎn)介

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)—導(dǎo)數(shù)的幾何意義
專題綜述
導(dǎo)數(shù)的幾何意義是導(dǎo)數(shù)部分重要的內(nèi)容之一，常常和其他知識(shí)點(diǎn)一起考查，比如與函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合考查，通過直線與函數(shù)圖象相切，求斜率進(jìn)而得出參數(shù)的取值范圍；與圓錐曲線結(jié)合，尤其是拋物線，求出拋物線在某點(diǎn)處的切線方程等；為問題解決提供新的視角與方法.導(dǎo)數(shù)的幾何意義是從“形”的角度對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的定性解釋，即表示函數(shù)圖象在點(diǎn)處切線斜率，因此在利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題時(shí)，若涉及切線問題，都可以考慮轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解某些量.再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解時(shí)，本質(zhì)上是要處理好“在”和“過”點(diǎn)處切線的問題.
專題探究
探究1：切點(diǎn)未知時(shí)的切線方程
過點(diǎn)的切線條數(shù)問題、有定點(diǎn)或定斜率的直線與曲線相切問題，兩個(gè)函數(shù)有公切線問題，本質(zhì)上都是切點(diǎn)未知，需要通過切線方程構(gòu)建含參數(shù)方程的問題：
答題思路：
第一步：若考查函數(shù)圖象問題，則將問題先轉(zhuǎn)化為“在”或“過”點(diǎn)處的直線與圖象相切；
第二步：設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，過該點(diǎn)處的切線斜率為，表示出切線方程：；
第三步：將點(diǎn)的坐標(biāo)帶入切線方程，轉(zhuǎn)化為方程根問題；與已知切線方程對(duì)應(yīng)，列出方程組：斜率、縱截距對(duì)應(yīng)相等，解方程組.
(2021山東省泰安市月考) 已知函數(shù)，若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是__________.
【審題視點(diǎn)】
方程有3個(gè)實(shí)根圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)；直線過定點(diǎn)過點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線.
【思維引導(dǎo)】
①轉(zhuǎn)化：方程根轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)；②數(shù)形結(jié)合：作出直線與函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)的臨界位置，即為相切的位置；③求切線斜率：轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程；④列方程組求解.
【規(guī)范解析】
解：有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)，
作出的圖象如圖所示：
設(shè)與曲線相切，切點(diǎn)為，
，即
在點(diǎn)處的切線方程為
即
，得
由圖可得，當(dāng)時(shí)，直線與有3個(gè)交點(diǎn)．
【探究總結(jié)】
關(guān)于過點(diǎn)處的切線問題，往往與函數(shù)的圖象與性質(zhì)結(jié)合考查，將零點(diǎn)、方程的根問題先轉(zhuǎn)化為函數(shù)與一條過定點(diǎn)或斜率確定的直線有交點(diǎn)的問題，數(shù)形結(jié)合，作出函數(shù)圖象及與函數(shù)圖象相切時(shí)的直線，再利用切點(diǎn)橫坐標(biāo)表示出切線方程，找出參數(shù)間的關(guān)系，進(jìn)行下一步求解.
(2021廣東省廣州市聯(lián)考) 過定點(diǎn)作曲線的切線，恰有2條，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
探究2：切線的位置關(guān)系
函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)圖象在該點(diǎn)處的切線的斜率，所以導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以和直線的位置關(guān)系結(jié)合考查.借助直線平行與重合時(shí)斜率的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系，得出參數(shù)方程（組），求值或求取值范圍.
答題思路：
第一步：設(shè)切點(diǎn)，分別表示出在切點(diǎn)處的切線方程;
第二步：利用直線平行或垂直的充要條件得出斜率關(guān)系；公切線問題，有兩個(gè)相等條件：切點(diǎn)相同和導(dǎo)數(shù)值相同；
第三步：將所得方程或方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的方程，求值或求取值范圍.
(2021河南開封模擬) 已知與有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線方程相同，則__________.
【審題視點(diǎn)】
①“在公共點(diǎn)處的切線方程相同”轉(zhuǎn)化為兩個(gè)條件：一是函數(shù)值相等；二是導(dǎo)數(shù)值相等；②求的最大值列出的方程組轉(zhuǎn)化為的函數(shù).
【思維引導(dǎo)】
①列出函數(shù)值相等和導(dǎo)數(shù)值相等的方程組；②消去中間量，得到的關(guān)系式；③構(gòu)造函數(shù)求最值.
【規(guī)范解析】
解：設(shè)公共點(diǎn)
，
由題意得 ，
即
由得或舍，
即有
設(shè)，則，
令，則時(shí)
在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，
，
【探究總結(jié)】
題干條件涉及切線位置關(guān)系：平行、重合、公切線的問題，第一步都要通過斜率關(guān)系，建立導(dǎo)數(shù)值的等量關(guān)系，將幾何關(guān)系代數(shù)化.目的是求出參數(shù)，或是得到參數(shù)間的等量關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)求最值或范圍.
(2021北京市市轄區(qū)模擬)（多選）若點(diǎn)是函數(shù)的圖象上任意兩點(diǎn)，且函數(shù)在點(diǎn)和點(diǎn)處的切線互相垂直，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. 最小值為 D. 最大值為
專題升華
對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的考查方向包括：求在點(diǎn)處和過點(diǎn)處的切線方程、求切點(diǎn)坐標(biāo)、已知切線方程求參，已知切線位置關(guān)系求參.函數(shù)解答題的第一問會(huì)出現(xiàn)求切線方程或已知切線方程求參數(shù)，難度較小，但選擇填空題中往往與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合考查，難度較大.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，表示出切點(diǎn)處的切線方程，是解題的重要環(huán)節(jié)，若已知切線上的其他點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)帶入切線方程，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，判斷根個(gè)數(shù)；若已知在點(diǎn)處的切線方程為，則斜率與縱截距對(duì)應(yīng)相等，解方程組；若已知兩個(gè)切點(diǎn)出切線的位置關(guān)系，則由導(dǎo)數(shù)關(guān)系構(gòu)建切點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，求代數(shù)式的取值范圍.解題時(shí)，關(guān)鍵是通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義構(gòu)建參數(shù)關(guān)系，進(jìn)一步化歸與轉(zhuǎn)化為其他知識(shí)點(diǎn)解決.
【答案詳解】
變式訓(xùn)練1【答案】
【解析】解：由題意得
設(shè)切點(diǎn)為
當(dāng)時(shí)，
在點(diǎn)處的切線方程為
又在切線上，
即方程有2個(gè)相異實(shí)根
設(shè)，則有2個(gè)零點(diǎn)
則
令，則
在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減
，即或（舍）
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)
當(dāng)時(shí)，
函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)
即函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)
綜上所述：
變式訓(xùn)練2【答案】
【解析】解：當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，
若函數(shù)在點(diǎn)和點(diǎn)處的切線互相垂直且，則，
且，得，，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)符合題意，則排除；
又，
令，則，
所以函數(shù)單調(diào)遞減， ，正確；
又，
令，
因?yàn)?，則函數(shù)單調(diào)遞增，
，所以正確.
故選

展開更多......

收起↑