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函數與導數—導數中的放縮問題
專題綜述
放縮法是解決函數不等式問題的利器，導數壓軸題中的函數往往是指數、對數與其他函數綜合，或者指對數并存的超越函數，有時直接構造出的函數難以直接求出最值，需要借助放縮解決.利用導數判斷函數單調性、解決函數零點問題、不等式證明等問題中都會用到放縮法，使問題難度降低.常用的放縮方式有：①常用不等式放縮：指數放縮、對數放縮、三角放縮；②利用已知題目信息放縮；③根據已知參數范圍或常識，減少變量，適當放縮；③利用單調性放縮；④利用基本不等式放縮： 若，則；⑤由數值大小關系直接放縮，做題時靈活運用.本專題就前3種，重點探究.
專題探究
探究1：利用不等式放縮
函數中有指數、對數、三角函數時，直接求導，導數不等式無法解出，根據函數結構，選擇不等式進行放縮，使函數簡單化.
常用不等式有：
（1）三角函數放縮：①；②；③
（2）指數放縮：①；②（為函數圖象的兩條切線）；③；④
（3）對數放縮：①；②；③；
（為函數圖象的兩條切線）
（4）指對放縮：
(2021安徽省合肥市聯考) 已知函數
（1）當時，討論函數的單調性；
（2）當時，函數滿足：對任意，都有恒成立，求實數的取值范圍．
【審題視點】
第（2）問顯化函數，恒成立問題回顧常用的方法（專題1.3.7）：分離參數、含參討論單調性等方法，由解析式的具體結構確定方法與細節.
【思維引導】
分離參數以后，函數中有指、對結構，若直接通過求導判斷單調性求最值，方法較困難，利用不等關系，得，使難度大大降低.
【規范解析】
解：（1）的定義域是，
，
當，時，令，則
在上單調遞增，在上單調遞減；
（2）當時，
，
即
，
設，則，
令，則
在上單調遞增，在上單調遞減
，即當且僅當時“=”成立，
故當且僅當時“=”成立，
在上是增函數，
且，，
故存在使得成立，
故
（當且僅當時“=”成立），
，
即的取值范圍是
【探究總結】
常見的不等關系要靈活運用，解題時函數結構復雜，可考慮運用上述不等式進行放縮，使問題簡答化.但不等式，從圖象的角度看，是以直代曲，放縮的程度大，容易出現誤差，在使用時要注意.另外若是求參數取值范圍問題，要考慮不等式中的等號能否取到.
(2021山東省泰安市一模) 已知函數，
（為常數， 是自然對數的底數），曲線在點處的切線與軸垂直.
（1）求的單調區間；
（2）設,對任意，證明：.
探究2：利用已證結論放縮
解答題的上一問中證明的不等式，或者推導過程中證明出的結論，為后續的證明提供放縮的依據.需證明的不等式為關于的多項式的和或不等式結構復雜，利用已證結論，進行放縮，使不等式化繁為簡，便于構造函數求最值.
(2021湖南省郴州市模擬) 已知函數
（1）當時，證明：；
（2）已知數列的通項公式為，證明：
【審題視點】
第（2）問，出現數列的前項和，且不能用常規的求和方法求和，借助第一問的結論對的通項公式進行放縮，便于求和.
【思維引導】
對第一問的不等式進行變形，觀察的結構，進行放縮，能夠用已知方法求和.
【規范解析】
解：（1）由題意得 ，
設，
則，
當時， ，，則
則，
在上單調遞增，
故，即
在上單調遞增，
當時，，即
（2）由（1）知：當時，，
即
令，則，
【探究總結】
函數中證明與有關的求和問題，或不等式證明問題，要仔細觀察不等式結構特點，往往會利用前一問的結論，或者解題過程中的結論.利用已證結論，進行放縮，化繁為簡，證明不等式的成立.
(2021廣東省東莞市聯考) 已知函數（即自然對數的底數）.
（1）若函數在是單調減函數，求實數的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，當時，證明：
探究3：利用已知參數范圍或常識放縮
函數解析中含有參數，且已知參數范圍，證明不等式成立，可以從參數的范圍入手，使參數取確定的值或利用單調性、其它不等關系，對不等式進行放縮，減少變量，使函數結構簡單，易于判斷單調性.
(2021河北省石家莊聯考) 已知函數
（1）討論函數的單調性；
（2）證明：當時，
【審題視點】
已知參數范圍，證明不等式成立，且函數指對結構都有，若含參討論難度大，可能要借助放縮，化繁為簡.
【思維引導】
第（2）問不等式的證明，函數中有，，構造函數求導，含參討論解導數不等式較困難，可巧妙利用參數的范圍，參數取確定的值，進行放縮，求不含參函數的最值較為簡單.
【規范解析】
解：（1）由題意得
①當時，，
函數在上單調遞增；
②當時，令 得，
函數在上單調遞減，
在上單調遞增；
（2）證明：
當時，
設，則，
則在上單調遞增，且
當時，
當時，
在上單調遞減，在單調遞增
，即，
即
當時，
【探究總結】
不等式的證明問題中含有參數，若直接構造函數含參討論，難以解決的情況下，為避開討論，可以在參數給定的范圍內，結合不等式的結構進行第一步的放縮，達到消參的目的，轉化為證明不含參的不等式.若不等式的結構依然復雜，在利用常用不等關系、已證結論等方法進一步放縮.
(2021湖北省荊州市高三模擬) 已知函數
（1）設是函數的極值點，求的值并討論的單調性；
（2）當時，證明：
專題升華
導數解答題中函數多以、型的函數與其他函數結合的形式出現，考查零點問題、不等式證明問題、恒成立問題等方向時，如果利用常規方法處理時，因函數結構復雜求導判斷單調性難度較大，通過放縮將難以處理的函數轉化為較為簡單的函數進行處理.放縮法較為靈活，要根據不等式的結構、形式等特征，使條件與結論建立聯系，選擇適當的方法是關鍵.
1.積累常見的不等結論：如探究1中提及的不等式，解題時需構造函數，證明其正確性，再進行放縮.利用不等式進行放縮，體現了數學中的化歸與轉化思想，也體現了處理數學問題時以直代曲、以曲代曲的方法.
2.巧用已證不等式，順水推舟：利用已證不等式(或結論) “服務”于后續問題的求解，這類題目最明顯的“暗示”，即為證明一個類似于數列求和的不等式，需利用已證不等式進行逐項替換放縮.若題目的第一問證明不等式，在后續解題時，留意是否會利用已證結論.
3.已知參數范圍：含參不等式的證明時，若因為參數的存在使函數討論非常復雜，可考慮結合參數范圍及其它結論進行放縮.
4.其他放縮方法：除了上述三種難度較大的放縮方法以外，單調性、已知結論、基本不等式等.如利用基本不等式進行放縮，化曲為直，比如；和積互化等.不僅僅應用于簡化不等式，在解題過程中，也可能用放縮證明代數式的值.
【答案詳解】
變式訓練1
【解析】
解：（1）由題意得
則，
設，則
在區間上單調遞減
又
當時，，則
當時，，則
在上單調遞減，在上單調遞增
證明：（2）由題意得
設，則
當時，
在上單調遞增
即
當時，
設，則
令，則
在上單調遞增，在上單調遞減
又當時，
故
變式訓練2
【解析】 解：（1）由題意得即恒成立
，故
，即實數的取值范圍為；
（2）由（1）得當時，在上單調遞減，
，
可得，令，則，
，
即，
對任意的成立．
變式訓練3
【解析】
（1）解：，
，
又， 即，
，
，
設，則，
即在上單調遞增，
且，
是的唯一零點．
當時，，單調遞減；
時，，單調遞增，
函數在上單調遞減，在上單調遞增．
（2）證明：當，時，，
令，則，
當時，，
在上單調遞增，
，
即，
，
設，則，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
，
，
而上式三個不等號不能同時成立，
故

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