資源簡介

函數與導數—導數中的極值點偏移問題
專題綜述
極值點偏移問題在高考和模考中都是一個熱點問題，試題設問靈活新穎，綜合性強，難度較大，往往作為壓軸題出現. 極值點偏移的定義：對于函數在區間內只有一個極值點，函數的零點分別為，且，（1）若，則稱函數在區間上極值點偏移；（2）若，則函數在區間上極值點左偏，簡稱極值點左偏；（3）若，則函數在區間上極值點右偏，簡稱極值點右偏.極值點偏移問題大致分為4中類型：加法型、減法型、商型、平方型，本專題重點探究這類問題的一般解法.
專題探究
探究1：構造對稱的和（或差）
已知函數在區間的兩個零點為，或，且極值點為，證明關于的加法型不等式、乘法型不等式問題，可進行對稱化構造，解決此類問題.
答題思路：
例：若已知函數滿足，為函數的極值點，求證：，或
（1）定極值點：討論函數的單調性并求出的極值點，設；假設此處在上單調遞減，在上單調遞增.
（2）構造函數或；
分析：①要證只需證只需證即證，構造函數.②要證只需證只需證即證，構造函數.（3）利用單調性比較大小：通過求導討論的單調性，求出函數的最值.
（4）轉化：轉化為，或的大小關系.
若要證明的符號問題，還需進一步討論與的大小，得出所在的單調區間，從而得出該處函數導數值的正負，從而結論得證.
(2021江蘇省揚州市月考) 已知函數
（1）討論的單調性：
（2）若，是的兩個零點.證明：；
【審題視點】
證明的兩個零點的加法型不等式，構造函數解決.
【思維引導】
通過討論單調性，明確有兩個零點時的極值點及單調區間，根據上述答題思路，構造函數求最值，從而得出，再利用函數的單調性，得出自變量值的大小關系.
【規范解析】
解：（1）由題意得 ，
則當時，在為增函數
當時，令，則
在上單調遞增，在上單調遞減
綜上，時，在為增函數；
時，在上單調遞增，
在上單調遞減
（2）由（1）知，當時函數有兩個零點
且，
，
又， ，則，設
則
在區間上單調遞增
即當時，
故
在區間上單調遞減
，即
【探究總結】
本題證明的不等式中含有兩個變量,對于此類問題一般的求解思路是將兩個變量分到不等式的兩側,然后根據函數的單調性,通過兩個變量之間的關系“減元”,建立新函數,最終將問題轉化為函數的最值問題來求解.解題時，按照答題思路，逐步呈現，較容易的證明出結論，注意細節的處理. 證明乘法型不等式有時也可以通過取對數，變為加法型解決.
(2021江蘇南京聯考) 已知函數
（1）若恒成立，求實數的取值范圍；
（2）若函數的兩個零點為，，證明：
探究2：消參減元
消參減元的主要目的就是減元,進而構造與所求解問題相關的函數.主要
是利用函數極值點乘積所滿足的條件進行消參減元.其解題要點如下:
答題思路：
（1）建立方程組：若為函數的兩個零點，則，若為函數的兩個極值點，則，方程組中都含有參數；
（2）定關系：利用方程之間的和差積商的運算，建立與參數的關系；
（3）消參減元：將所需證明的不等式或需求取值范圍的代數式表示出來，表示的過程中，要與參數的關系式消去參數，將以比值或差值的形式呈現，將比值或差值設為，減元.
（4）構造函數求解：構造關于的函數，轉化為求函數的單調性、極值、最值問題.
(2021湖北省荊州市高三模擬) 已知函數
（1）討論的單調性;
（2）設有兩個不同的零點，，且，證明：
【審題視點】
轉化為，可以利用消參減元的方法求的范圍.
【思維引導】
第（2）問中得出，可用，表示出，通過兩方程相加，等號左側湊出，右側變形出現，換元完成減元.
【規范解析】
解：（1）由題意得
①當時，， 在上為單調遞增；
②當時，的判別式，
i）當時，，所以在上為增函數；
ii）當時，令，則，，
當時，， 在，上單調遞增，
當時，， 在上為單調遞減.
綜上所述：當時，在上為增函數，
當時，在和上單調遞增，
在上單調遞減.
（2）證明：，
，是方程的兩個不等實根，
則， ，
，
即，設，則，
設，，則，
設，則，
在上為增函數，
，
則，
在上為增函數，
，
即，即，
又，
，即
【探究總結】
求解本題的關鍵點有兩個：一個是消參，列出零點的方程組，需要利用兩個變量把參數表示出來，這是解決問題的基礎；二是減元,即減少變量的個數,把方程轉化為一個“變量”的式子后,構造與之相應的函數,轉化為函數問題求解.
(2021安徽蚌埠月考) 已知函數有兩個零點．
（1）求的取值范圍；
（2）設是的兩個零點，證明：
探究3：比（差）值換元
比(差)值換元的目的也是消參、減元,就是根據已知條件首先建立之間的關系, 然后利用兩個極值點之比(差)作為變量,實現消參、減元的目的.結合滿足的方程組，使分別用表示，帶入需證明或求范圍的代數式，轉化為關于的函數求解.
(2022山東青島聯考) 設函數，.
（1）討論函數的單調性；
（2）當時，若函數恰有兩個零點，，求證：
【審題視點】
思路一：為函數兩個零點，且函數中含有參數，需要消參；求證平方型不等式，利用，湊不出平方和，故使用比值換元法，構造關于的函數.思路二：根據基本不等式可得，可利用探究一中的方法證明，再證明.
【思維引導】
設，再利用，分別用表示，帶入，構造關于的函數.
【規范解析】
（1）解：由題意得，
①當時，，即在上是增函數;
②當時，若，則，此時單調遞減;
若，則，此時單調遞增.
綜上可得：當時，在上單調遞增;
當時，在上單調遞減，在上單調遞增.
（2）證明：當時，，
則 相減得
令，則，
，
設，則
設，則
在上單調遞增，
在上單調遞增
，即，
，
，即
【探究總結】
平方型的不等式，利用方程組通過加減難以變形出現的情況下，利用比（差）值換元，將用表示，帶入不等式，轉化為關于的函數.但處理這類問題，方法不唯一，也可以巧妙變形利用消參減元證明，或構造對稱和（或差）證明.
（2021福建寧德模擬）已知函數．
（1）當時，討論函數的單調性：
（2）若函數恰有兩個極值點，，且，求的最大值．
專題升華
導數中的極值點偏移問題，題干中出現為函數零點或極值點，證明關于的不等式或求代數式的范圍，這類問題能較好考查學生的邏輯推理能力,數據處理能力,轉化與化歸思想,函數與方程思想等.常見的需證明的的關系有加法型、減法型、乘法型和商型，每種類型沒有唯一的解題方法，上述方法要靈活運用.以探究一的變式訓練為例：
方法一：構造對稱的和（或差）
函數極值點為，證明，構造函數，
方法二：構造對稱的和（或差）結合基本不等式
函數極值點為，可以先證明，構造函數，再利用基本不等式證明；
方法三：消參換元
由得，合并，
設，直接構造關于的函數；
方法四：引入變量
設，則，則
設，則，則證明
設，求最值.
極值點偏移問題，方法不唯一，解題時選擇適當方法，靈活解題.
【答案詳解】
變式訓練1
【解答】 （1）解：，，即恒成立.
設，則，
易知在上單調遞增，且
所以當時，；當時，
在上單調遞減，在上單調遞增，
，
（2）證明：由題意得 方程的兩不相等的根為，
設，則，
又
當時，，在上單調遞增，不存在兩個零點;
當時，在上單調遞增，在上單調遞減，
則，得
設
令
，
則，
在上單調遞減，故
，
即
，，且在上單調遞減，
，即，
故成立.
變式訓練2
【解答】（1）解：由題意得
①當時，在區間上單調遞增
②當時，令，則
在上單調遞增，在上單調遞減
,故
當時，，
在區間，上分別有一個零點
（2）證明： 由題意得
又
要證，只需證，
即證，即證，
即證，即證
設故，
令，
則
在上單調遞增，
，故式成立，
即.
變式訓練3
【解答】解：（1）由題意得 ，
①當時，恒成立，在上單調遞增；
②當時，設，則，
令，則
在上單調遞減，在上單調遞增
，
，在上單調遞增；
綜上，當時，在上單調遞增；
（2）由題意得 ，即
，設，則，，，
，
，
設，則，
設，則，
在單調遞增，則（1），
，則在單調遞增，
又，即，（3），
，，即的最大值為3．

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