資源簡介

函數(shù)與導數(shù)—導數(shù)中的同構(gòu)問題
專題綜述
同構(gòu)法在近幾年的?？贾蓄l繁出現(xiàn)，把等式或不等式變形為兩個形式上一樣的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化成比較大小,或者解恒成立，求最值等問題.同構(gòu)法在使用時，考驗“眼力”，面對復雜的結(jié)構(gòu)，仔細觀察靈活變形，使式子兩則的結(jié)構(gòu)一致.構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，進一步求參數(shù)或證明不等式.
專題探究
探究1：指對跨階型
解決指對混合不等式時，常規(guī)的方法計算復雜，則將不等式變形為的結(jié)構(gòu)，即為外層函數(shù)，其單調(diào)性易于研究.常見變形方式：①；②；③；④；⑤.
答題思路：
1.直接變形：
（1）積型：（同左）；
（同右）；
（取對數(shù)）.
說明：取對數(shù)是最快捷的，而且同構(gòu)出的函數(shù)，其單調(diào)性一看便知.
（2）商型：（同左）；
（同右）；
（取對數(shù)）.
（3）和差型：（同左）；
（同右）.
2.先湊再變形：
若式子無法直接進行變形同構(gòu)，往往需要湊常數(shù)、湊參數(shù)或湊變量，如兩邊同乘以，同加上等，再用上述方式變形.常見的有：
①；
②；
③；
(2021重慶市市轄區(qū)模擬) 若關(guān)于的不等式對一切正實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【審題視點】
不等式中有指、對數(shù)結(jié)構(gòu)，不等式兩側(cè)都加上，即能出現(xiàn)同構(gòu)法中的“和差型”.
【思維引導】
由不等式的結(jié)構(gòu)判斷，通過將不等式變形為，符合同構(gòu)法中的指對同階模型，或者直接構(gòu)造含參函數(shù)，分類討論.
【規(guī)范解析】
解：，，
設，則
在上單調(diào)遞增
故即，
即即
設，則，
令，則
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減
故，故
故選
【探究總結(jié)】
不等式或函數(shù)中指對數(shù)結(jié)構(gòu)都存在時，仔細觀察結(jié)構(gòu)特征，可優(yōu)先考慮放縮或同構(gòu)，化繁為簡，降低單調(diào)性判斷的難度.故要對常見不等關(guān)系的結(jié)論（專題1.3.8）及上述的常見變形方法牢記于心，能夠熟練變形，構(gòu)造相應函數(shù).
(2021山東省泰安市一模) 已知.
（1）若函數(shù)在上有1個零點，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若關(guān)于的方程有兩個不同的實數(shù)解，求的取值范圍.
探究2：雙變量型
含有同等地位的兩個變量的等式或不等式，同構(gòu)后使等式或不等式兩側(cè)具有一致的結(jié)構(gòu)，便于構(gòu)造函數(shù)解決問題.
答題思路：
常見的同構(gòu)類型有：
①；
②
；
③
.
(2021江西省萍鄉(xiāng)市聯(lián)考)已知函數(shù)，
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）對，，當時，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．
【審題視點】
第（2）問中的雙變量不等式，若變量能分離且結(jié)構(gòu)相同，不等式轉(zhuǎn)化函數(shù)單調(diào)性問題.
【思維引導】
雙變量的恒成立不等式，分離變量，不等式變形，構(gòu)造函數(shù)，由不等式得出函數(shù)的單調(diào)性.
【規(guī)范解析】
解：（1）由題意得 ，即，
①當時，，函數(shù)的定義域為；
②當時，，函數(shù)的定義域為且，
③當時，，函數(shù)的定義域為；
（2）由題意得 ，，當時，
設，則
在區(qū)間上單調(diào)遞減
設，
即函數(shù)在上是減函數(shù)，且，
，解得，
實數(shù)的取值范圍為
【探究總結(jié)】
典例2中出現(xiàn)的雙邊量問題是同構(gòu)法中較為典型的情況，思路明確.針對上述類型的不等式，分離變量，構(gòu)造函數(shù)得出單調(diào)性.構(gòu)造的函數(shù)可能是抽象函數(shù)，也可能是具體函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性，解不等式.
(2021江蘇省蘇州市聯(lián)考)已知函數(shù)，若對任意，，存在，使成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
探究3：同構(gòu)放縮或同構(gòu)換元共存型
有些更復雜的指對不等式，利用常見的變形方法（探究一）先進行同構(gòu)變形再換元，使構(gòu)造的函數(shù)較為簡單，或者本身不等式的結(jié)構(gòu)不特殊，可以先結(jié)合常用不等結(jié)論（專題1.3.8）放縮，使結(jié)構(gòu)特殊再同構(gòu)，但要注意取等號的條件等.
常見的放縮模型：
（1）利用放縮：① ；②；③
（2）利用放縮：①；②；③.
（3）利用放縮：①；②.
（4）利用放縮：①；②.
(2021河北省石家莊市聯(lián)考) 已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)的圖象經(jīng)過點，求證：時，
【審題視點】
待證明的不等式中有，，容易聯(lián)系到指對同階的常見變形，將不等式同構(gòu).
【思維引導】
第（2）問，求出，顯化不等式，進行指對變形，換元簡化函數(shù).
【規(guī)范解析】
解：（1）由題意知，函數(shù)的定義域為
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．
當時，，
令，即
①當時，
在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減．
②當時，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．
（2）若函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則，得，
則，
設，則當時，
設，則
令，則
在區(qū)間上單調(diào)遞減，
在區(qū)間上單調(diào)遞增
當時，恒成立．
【探究總結(jié)】
同構(gòu)法讓復雜的函數(shù)式在指對結(jié)構(gòu)上呈現(xiàn)“一致性”，再換元，大大降函數(shù)研究的難度.但這類問題，方法不唯一，也可利用其他方法，比如不等式證明問題，直接構(gòu)造函數(shù)求最值，或著變形為的結(jié)構(gòu)，比較最值.
(2021江蘇省南京市模擬) 已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設，若恒成立，求的取值范圍．
專題升華
同構(gòu)思想不僅僅應用于導數(shù)部分，整個高中數(shù)學中，在方程、不等式、解析幾何、數(shù)列部分都有體現(xiàn)，本質(zhì)上是變形，使結(jié)構(gòu)一致，轉(zhuǎn)化為其它知識點求解.
①方程中的應用：兩式結(jié)構(gòu)相同，轉(zhuǎn)化為為方程的兩根；
如：若函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則實數(shù)的取值范圍是 .
思路：由單調(diào)遞增為方程的兩個根.
②不等式中的應用：不等式兩側(cè)化為相同結(jié)構(gòu)，利用函數(shù)單調(diào)性，比較大小，或解不等式；
如：若，則的取值范圍是 .
思路：，構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性.
③解析幾何中的應用：如點的坐標滿足相同的關(guān)系式，即則直線的方程為，或得出兩點在同一條曲線上；
④數(shù)列中的應用：將遞推公式變形為關(guān)于與的同構(gòu)式，如，可以構(gòu)造輔助數(shù)列解題.
解題時，針對除變量外完全相同的結(jié)構(gòu)式，要靈活的利用其同構(gòu)的特點,尋求與問題的某種內(nèi)在聯(lián)系,從而找到解決問題的思路方法.同構(gòu)法體現(xiàn)了發(fā)現(xiàn)、類比、化歸等思想,是一種富有創(chuàng)造性的解決問題的方法.同構(gòu)法為解題提供了突破口,從同構(gòu)式中挖掘隱含條件,能讓數(shù)學難題豁然開朗.
【答案詳解】
變式訓練1
【解答】解：（1）由題意得 ，，，
則，
①當時，，所以在，單調(diào)遞增，
，故在，上無零點；
②當時，，使得，
在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，故
在區(qū)間上無零點
i）當即時，在，上無零點，
ii）當即時，在，上有一個零點，
③當時，，
在，上單調(diào)遞減，在，上無零點，
綜上所述：當時，在，上有一個零點；
（2）由得，
即，
則有，
令，，
，函數(shù)在上遞增，
方程即為方程即有2個不同的正實根
設，則，
當時，，當時，，
所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，
所以（1），
當時，，當時，，
當時，方程有2個不同的正實根
綜上所述：.
變式訓練2
【解析】解：令，
由得
在遞增，
，即恒成立，
設，，，
則在上單調(diào)遞增，
，故有，
，使得成立，
故，即
故選：.
變式訓練3
【解析】解：（1）由題意得
①當時，，則在上單調(diào)遞增;
②當時，令得到，
當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；
綜上：當時，在上單調(diào)遞增；
當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減;
（2），
令，則，故，
當時，，
設，則
令，則
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
設，則
在上單調(diào)遞增
故，即
綜上所述：當時，.

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