資源簡介

函數(shù)與導數(shù)—導數(shù)中的隱零點問題
專題綜述
導數(shù)作為研究函數(shù)單調性的重要工具，在解決難度較大的函數(shù)問題時，往往都要先借助導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，再進行下一步的求解.但在利用導數(shù)研究函數(shù)單調性的過程中，會面臨解不等式的問題，從圖象的角度看，不等式的解集即為圖象在軸上方部分對應的的范圍，即解集的區(qū)間端點即為導函數(shù)的零點.而有的導函數(shù)根據(jù)零點存在性定理能夠明確其存在零點，但無法用代數(shù)式表示出零點，這樣的零點稱為“隱零點”. 在解導數(shù)綜合題時, 若出現(xiàn)“隱零點”，一般虛設零點(隱零點)即利用設而不求思想，設出表示零點即方程成立，進而表示出不等式的解集即為函數(shù)的遞增區(qū)間，利用方程進行相應替換，將目標函數(shù)簡化并求解.
專題探究
探究1：不含參數(shù)的隱零點問題
導數(shù)是研究函數(shù)單調性的重要工具，通過解不等式，得出函數(shù)的單調區(qū)間.若導函數(shù)不含參數(shù)，但結構復雜，零點不能用明確的代數(shù)式表示，所以思路需要轉化為先零點存在性定理，判斷零點是否存在及范圍，設出零點，表示出原函數(shù)的單調區(qū)間.
答題思路：
第一步: 觀察導函數(shù)結構能夠表示出導函數(shù)的零點；
第二步:零點存在性定理，判斷導函數(shù)的零點存在區(qū)間，并設出零點；
第三步：得出關于的方程，表示出不等式的解集，即為函數(shù)的單調遞增區(qū)間.
第四步：利用方程及其變形求其他相關量.
（2021湖南常德聯(lián)考）已知函數(shù)，證明
【審題視點】
不等式證明問題，轉化為求函數(shù)最小值，即證明.
【思維引導】
求導判斷函數(shù)單調性，無法不等式，但可判斷單調遞增，利用零點存在性定理，判斷其存在零點，設而不求，表示出原函數(shù)的單調區(qū)間，求最值.
【規(guī)范解析】
解:由題意得
設，則
在上單調遞增
即在上單調遞增
又
在上有且僅有一個零點
設當時，
即
當時，，
當時，
在上單調遞減，在單調遞增
【探究總結】
不等式證明問題可轉化為求函數(shù)最值問題，故要利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性.當不能直接解導數(shù)不等式時，轉化為研究導函數(shù)的零點，借助零點表示解集.所以利用零點存在性定理判斷導函數(shù)的零點是否存在，若存在設為，表示出單調區(qū)間，并利用關于的方程，判斷結果.
（2021江蘇徐州模擬）已知函數(shù)，
（1）討論函數(shù)的單調性；
（2）若，且關于的不等式在上恒成立，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．
探究2：含參數(shù)的隱零點問題
已知含參函數(shù)，其中為參數(shù)，導函數(shù)方程的根存在，卻無法求出，設方程的根為，則①有關系式成立，該關系式給出了的關系，②注意確定的合適范圍，往往和的范圍有關.
若導函數(shù)含參數(shù)，導函數(shù)因參數(shù)的存在，無法求出：
答題思路：
第一步:對導函數(shù)進行變形，取可能為零的部分，構造函數(shù)，研究的零點；
第二步: 利用零點存在性定理，研究的單調性，判斷是否存在零點，若存在且無法表示可設為，得到方程，明確的范圍;
第三步: 用表示函數(shù)的單調區(qū)間，且注意方程的變形，分離參數(shù)，可以消參或者求出參數(shù)取值范圍.
（2021山東東營聯(lián)考）已知函數(shù)，
若存在極小值，求實數(shù)的取值范圍；
設是的極小值點，且，證明：
【審題視點】
“存在極小值”與“求的極小值”的思路相同，求函數(shù)單調區(qū)間，確定極小值點；不等式的證明思路：化簡不等式構造函數(shù)求最值、證明、通過放縮證明不等式.
【思維引導】
第（1）問：已知函數(shù)存在極小值求導判斷函數(shù)單調性確定函數(shù)的極小值點，函數(shù)中有參數(shù)，解不等式需要分類討論，對方程進行變形，分離參數(shù)得出參數(shù)與的關系，用于消參或者求參數(shù)的取值范圍；第（2）問：借助方程分離參數(shù)，解不等式，求出的取值范圍；不等式證明，初步思路是構造關于的函數(shù)，結合的取值范圍，求函數(shù)最值.
【規(guī)范解析】
解：（1）由題意得：
①當時，恒成立
在區(qū)間上單調遞增，無極值點（舍）
②當時，設，，
則，
在上單調遞增
則當時，，
當時，
在區(qū)間有且僅有一個零點
設當時，使，
當時，，，單調遞減；
當時，，，單調遞增；
存在極小值點．
綜上所述：實數(shù)的取值范圍是
（2）證明：由（1）知，即，
，
，
得，
令，可知在區(qū)間上單調遞減，
又，由，得，
令，則，
當時，，函數(shù)單調遞增；
當時，，函數(shù)單調遞減；
當時，函數(shù)取最小值，
，即，即，
，，
，
【探究總結】
導函數(shù)含有參數(shù)時，要根據(jù)參數(shù)的特點進行分類討論，討論要求不重不漏.出現(xiàn)隱零點問題，通過設而不求，得出方程及零點的范圍，變形得到參數(shù)與的關系，可進一步求出參數(shù)的取值范圍，或消去參數(shù)，使研究的函數(shù)或不等式不含參數(shù).
（2021河北滄州聯(lián)考）已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)
（1）求函數(shù)的最小值；
（2）若函數(shù)有且僅有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍．
專題升華
導數(shù)是研究函數(shù)單調性的有力工具，用導數(shù)解決函數(shù)綜合問題，是高考考察的重點，最終都會歸結與函數(shù)單調性的判斷，而函數(shù)的單調性又與導函數(shù)的零點有密切的聯(lián)系，所以導函數(shù)零點的求解或估算是函數(shù)綜合問題的核心.導函數(shù)結構復雜或者含參數(shù)，出現(xiàn)隱零點問題時，思路調整為零點存在性定理確定導函數(shù)零點所在區(qū)間，通過設而不求思想，設出零點表示出函數(shù)的單調區(qū)間，再進行下一步的推導.也可以將方程轉化與化歸，讓方程的兩邊化為同構的兩個函數(shù)，再通過證明單調性解題（專題1.3.10為導數(shù)中的同構問題）.隱零點的探究是解決函數(shù)綜合問題的關鍵，無論是“顯零點”或是“隱零點”，歸根結底是“零點”，將探究零點的思路靈活的運用到導函數(shù)的隱零點的探究中去.
【答案詳解】
變式訓練1
【解析】解：根據(jù)題意可知的定義域是，
，令，解得：，
當時，時，，時，，
當時，時，，時，，
綜上，當時，在單調遞減，在上單調遞增，
當時，在上單調遞增，在上單調遞減；
由題意：，即在上恒成立，
令，則，
對于，，故其必有2個零點，且2個零點的積為，
則2個零點一正一負，設其正零點為，
則，即，又，則，
且在上單調遞減，在上單調遞增，
故，即，
令，
則，
當時，，當時，，
則在上單調遞增，在上單調遞減，
又，則當時，，
故
顯然函數(shù)在上單調遞增，
則且，
故實數(shù)的取值范圍是
變式訓練2
【解析】解：函數(shù)，
令，解得
當時，，單調遞減;
當時，，單調遞增，
所以函數(shù)有最小值
，
當時，函數(shù)是增函數(shù)，有唯一的零點，與已知矛盾，
當時，，
令，則，
所以是增函數(shù).
又，，
故存在，使，
即
當時，，即，單調遞減;
當時，，即，單調遞增，
所以函數(shù)有最小值，
且
，
當時，，單調遞增;
當時，，單調遞減，
所以
當時，存在使，再，故有且僅有兩個不同的零點;
當時，此時，有唯一的零點
當時，存在使，再，故有且僅有兩個不同的零點.
綜上所述，

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