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解析幾何-定點與定值問題
專題綜述
圓錐曲線是解析幾何的重要內容之一，也是高考重點考查的內容和熱點，知識綜合性較強，對學生邏輯思維能力計算能力等要求很高，這些問題重點考查學生方程思想、函數思想、轉化與化歸思想的應用．在圓錐曲線中有一類曲線，當參數取不同值時，曲線本身性質不變或形態發生變化時，其某些共同的性質始終保持不變，我們把這類問題稱為圓錐曲線的定值問題.圓錐曲線中的定值問題是近幾年高考的熱點題型，解題過程中應注重解題策略，善于在動點的“變”中尋求定值的“不變”性。
專題探究
探究1：圓錐曲線中的定點問題
解答圓錐曲線的定點問題的策略
參數法：①動直線過定點問題，解法：設動直線方程(斜率存在)為，由題設條件將用表示為，得，故動直線過定點．
②動曲線過定點問題，解法：引入參變量建立曲線的方程，再根據其對參變量恒成立，令其系數等于零，得出定點。
由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據動點或動直線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關。 答題模板： 第一步：把直線或曲線方程中的變量當作常數看待，把方程一端化為零； 第二步：參數的系數就要全部等于零，這樣就得到一個關于的方程組； 第三步：方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點，或者可以通過特例探求； 第四步：用一般化方法證明。
(2022江蘇省百校聯考)已知橢圓的離心率為，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形面積為 （1）求橢圓的方程; （2）若橢圓的左頂點為，右焦點是點是橢圓上的點異于左右頂點，為線段的中點，過作直線的平行線延長交橢圓于，連結交直線于點. ①求證：直線過定點; ②是否存在定點，，使得為定值若存在，求出，的坐標：若不存在，說明理由.
【審題視點】
如何確定定點坐標？
【思維引導】
（1）根據離心率及菱形的面積聯立方程求出，，即可求解
先設，求出點的坐標，然后求出直線的方程，判斷是否過定點；
②聯立直線與圓的方程，表示，坐標，利用向量知識求解．
【規范解析】
設橢圓的焦距為，
因為橢圓的離心率為，所以，所以，
因為以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形面積為，
所以，
所以，，，
所以的方程為．
證明：由，得，．
設，則
當時，直線的方程為，
即，
當時，直線的方程為．
此時，直線過定點．
存在定點，滿足題意．
當時，直線的方程為．
由聯立得 ，
因為，所以，
，即
因為，為線段的中點，所以為線段的中點，
所以
因為，，
所以，所以．
記橢圓的左焦點為，則的中點為，
又點為的中點，所以，
所以．
綜上可知存在定點，滿足題意.
【探究總結】
探究性問題，無論是否存在，都可假設存在，滿足題設則存在，與題設矛盾則不存在。善于運用先猜后證的手段，從特殊情況入手，如考慮直線的特殊情況：斜率不存在或斜率為0等，先得到定點或定值，由此再驗證該定點或定值也滿足其他任意情況。
(2021廣東省茂名市五校聯盟)已知橢圓：的左、右焦點分別為，，離心率等于，點在軸正半軸上，為直角三角形且面積等于2.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知斜率存在且不為的直線與橢圓交于，兩點，當點關于軸的對稱點在直線上時，直線是否過定點？若過定點，求出此定點；若不過，請說明理由．
探究2：離心率問題中的共焦點問題
圓錐曲線中的定值問題，是指目標幾何量（或代數式）在不受題設動曲線（含直線）的影響，總保持固定值的一類問題.其處理方法與定點問題相似。
圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略
(1)求代數式為定值．依題意設條件，得出與代數式參數有關的等式，代入代數式、化簡即可得出定值．
(2)求點到直線的距離為定值．利用點到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設條件化簡、變形求得．
(3)求某線段長度為定值.利用長度公式求得解析式，再依據條件對解析式進行化簡、變形即可求得．
求定值問題常見的解題模板有兩種：
(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；
(2)引進變量法：其解題流程為：
(2021江蘇省三校聯考)在平面直角坐標系中,橢圓：的離心率為，且過點．
（1）求橢圓的方程；
（2）設為橢圓的左頂點，過點作與軸不重合的直線交橢圓于，兩點，連接，分別交直線于，兩點，若直線，的斜率分別為，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
【審題視點】
如何用參數表示？
【思維引導】
（1）運用橢圓的離心率公式即和橢圓過點，解方程可得橢圓方程；
（2）設，，設直線的方程為，代入橢圓方程得
,運用韋達定理和三點共線斜率相等,運用直線的斜率公式，
化簡整理，即可得到定值．
【規范解析】
解：設橢圓的半焦距為，橢圓的離心率為，即，
，，所以橢圓的方程為，
代入點得，得，
橢圓的方程為；
設，
由題意知直線斜率不為，設其方程為，
由
得，
在橢圓內，則恒成立，
，，
由，，三點共線可知，，
所以，
同理可得；
所以．
因為
，
所以
．
故是定值，為．
【探究總結】
本題目是探究斜率乘積為定值問題，解決這類問題的基本思路是設出動直線的方程，通過題設條件表示出斜率代數式，在此過程中通常需借助韋達定理進行代數運算化簡，進而求出定值。在求解時還要考慮判別式大于0及動直線斜率是否存在的情況。如果能通過特殊位置先求出定值，無疑為后續求解指明了方向。
(2021山東省濱州市二模)已知圓，動圓過點且與圓相切．
求動圓圓心的軌跡的方程；
假設直線與軌跡相交于，兩點，且在軌跡上存在一點，使四邊形為平行四邊形，試問平行四邊形的面積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．
專題升華
面對復雜問題時，可從特殊情況入手，以確定可能的定點（或定直線）。然后再驗證該點（或該直線）對一般情況是否符合。屬于“先猜再證”。
有些題目所求與定值無關，但是在條件中會隱藏定點，且該定點通常是解題的關鍵條件。所以當遇到含參數的方程時，要清楚該方程為一類曲線（或直線），從而觀察這一類曲線是否過定點。尤其在含參數的直線方程中，要能夠找到定點，抓住關鍵條件。
對于較為復雜的問題，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進而給后面一般情況的處理提供一個方向，在運算過程中，盡量減少所求表達式中變量的個數，以便于向定值靠攏，巧妙利用變量間的關系，例如點的坐標符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運算。
【答案詳解】
變式訓練1
【解析】由對稱性可知三角形為等腰直角三角形，，
因為三角形面積等于，所以，即，
而橢圓的離心率，解得，則，
所以橢圓的標準方程為．
依題意，，設直線的方程為，，，
由點關于軸的對稱點在直線上，得斜率與互為相反數，
又，，
即，化簡整理得，
又，，
于是得，
由消去得，，
則，，
從而有，即，
解得，此時直線的方程為，所以直線恒過定點
變式訓練2
【解析】 因為，所以在圓內，
又因為圓過點且與圓相切，所以，
所以，即的軌跡是以，為焦點的橢圓，
則，即，
又因為，所以，故動圓圓心的軌跡的方程為；
當直線的斜率不存在時，可得直線的方程為，
此時，所以四邊形的面積為．
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，
與橢圓方程聯立，可得，
因為直線與軌跡相交于，兩點，
所以，
設，，則，，
所以，
設的中點為，則的坐標為，
因為四邊形為平行四邊形，所以，
所以點的坐標為，
又因為在橢圓上，可得，整理可得，
又因為，
原點到直線的距離為，
所以平行四邊形的面積．
綜上可得，平行四邊形的面積為定值．

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