資源簡介

解析幾何-范圍與最值問題
專題綜述
圓錐曲線中范圍與最值問題是近幾年考查的熱點問題,體現(xiàn)了圓錐曲線與三角、函數(shù)、不等式、平面向量等代數(shù)知識之間的橫向聯(lián)系。以解答題為主,涉及知識面廣,題目多變,且解題過程計算量大,注重方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想的應(yīng)用。主要的命題角度有:
(1)涉及距離、面積的最值以及與之有關(guān)的一些問題;
(2)求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時與之有關(guān)的一些問題。
解決該類問題一般需要通過數(shù)形結(jié)合或利用函數(shù)方程的思想構(gòu)建函數(shù)或不等式加以解決。
專題探究
探究1：圓錐曲線中的取值范圍問題
解答圓錐曲線中的取值范圍問題的策略
（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍； （2）利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍,核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系； （3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍； （4）利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍； （5）利用求值域的方法將待求量表示為其它變量的函數(shù)求值域,從而求出參數(shù)的取值范圍。
(2021北京卷)已知橢圓：過點，橢圓四個頂點圍成的四邊形面積為
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點的直線斜率為，直線交橢圓于不同的兩點、，直線、交于點、，若，求斜率的取值范圍．
【審題視點】
如何借助得到關(guān)于的不等式？
【思維引導(dǎo)】
（1）根據(jù)橢圓四個頂點圍成的四邊形面積聯(lián)立方程求出，，即可求解（2）設(shè)出點、的坐標(biāo)，寫出直線、的方程，分別與聯(lián)立，得點、的橫坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，由韋達定理將用表示，從而求出的范圍．
【規(guī)范解析】
解：因為橢圓過點，故，
因為四個頂點圍成的四邊形的面積為，
故，即，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
（2）設(shè)， 由題意可知直線的斜率存在，故， 故直線，
令，則，同理，
直線，
由消去可得， 故，解得或， 又,故,所以， 又
,
故，即，綜上，或，
故的取值范圍是．
【探究總結(jié)】
本題用表示出是關(guān)鍵，首先寫出直線的方程，與聯(lián)立得到、兩點的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓方程，借助韋達定理將用表示，
即，則，需要注意的是需同時滿足，從而問題得以解決。
(2021浙江卷)如圖，已知是拋物線的焦點，是拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點，且．
求拋物線方程；
設(shè)過點的直線交拋物線于兩點，若斜率為的直線與直線軸依次交于點，且滿足，求直線在軸上截距的取值范圍．
探究2：離心率問題中的共焦點問題
圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：
幾何法:即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進行求解；
代數(shù)法:即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達式表示為某個(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進行求解.
利用幾何關(guān)系求最值的解題策略:
（1）抓住圖形中的定點與定長，通常與求最值相關(guān)
（2）遇到線段和差的最值，經(jīng)常在動點與定點共線的時候取到。因為當(dāng)動點與定點不共線時，便可圍成三角形，從而由三角形性質(zhì)可知兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，無法取得最值。所以只有共線時才有可能達到最值。要注意動點與定點相對位置關(guān)系。一般的，尋找線段和的最小值，則動點應(yīng)在定點連成的線段上；若尋找線段差的最小值，則動點應(yīng)在定點連成的線段延長線上。
（3）若所求線段無法找到最值關(guān)系，則可考慮利用幾何關(guān)系進行線段轉(zhuǎn)移，將其中某些線段用其它線段進行表示，進而找到最值位置
（4）處理多個動點問題時，可考慮先只讓一個動點運動，其他動點不動，觀察此動點運動時最值選取的規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律讓其他點動起來，尋找最值位置。
利用代數(shù)關(guān)系求最值的解題策略:
（1）參數(shù)法：根據(jù)曲線方程的特點，用適當(dāng)?shù)膮?shù)表示曲線上點的坐標(biāo)；將目標(biāo)函數(shù)表示成關(guān)于參數(shù)的函數(shù)；把所求的最值歸結(jié)為求解關(guān)于這個參數(shù)的函數(shù)的最值.
（2）基本不等式法：將所求最值的量用變量表示出來，用基本不等式求這個表達式的最值，并且使用基本不等式求出最值.
（3）函數(shù)法：把所求最值的目標(biāo)表示為關(guān)于某個變量的函數(shù)；通過研究這個函數(shù)求最值，是求各類最值最為普遍的方法.
(2021全國統(tǒng)一高考理科.乙卷)已知拋物線：的焦點為，且與圓：上點的距離的最小值為．
（1）求；
（2）若點在上，，為的兩條切線，，是切點，求面積的最大值．
【審題視點】
如何利用為拋物線的切線，表示出的面積？
【思維引導(dǎo)】
（1）由點到圓上的點最小值為建立關(guān)于的方程，解出即可；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出直線及的方程，進而得到點的坐標(biāo)，再將的方程與拋物線方程聯(lián)立，可得以及點到直線的距離，進而表示出的面積，再求出其最小值即可．
【規(guī)范解析】
（1）點到圓上的點的距離的最小值為，解得；
（2）由（1）知，拋物線的方程為,即,則，
設(shè)切點，，
則易得,從而得到,
設(shè)：，聯(lián)立拋物線方程，
消去并整理可得，
，即，
且，，，
，
點到直線的距離，
①，
又點在圓：上，
故，此時解得，
代入①得，，
而，
當(dāng)時，．
【探究總結(jié)】
本題易錯之處是忽略點在圓上，其橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)范圍有限制。
解析幾何中求與動點或動直線有關(guān)的三角形面積的最值問題，一般先把面積表示成某個變量的函數(shù)（可轉(zhuǎn)化為關(guān)于動點橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的函數(shù)，也可轉(zhuǎn)化為關(guān)于動直線斜率或截距的函數(shù)），再利用函數(shù)性質(zhì)或均值不等式求最值。
(2021山東省聊城一模)已知橢圓經(jīng)過點，離心率為．
（1）求的方程；
（2）直線橢圓相交于，兩點，求的最大值．
專題升華
解決圓錐曲線中最值、范圍問題的基本思想是建立目標(biāo)函數(shù)和建立不等關(guān)系，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)不等式求最值、范圍．因此這類問題的難點，就是如何建立目標(biāo)函數(shù)和不等關(guān)系．建立目標(biāo)函數(shù)或不等關(guān)系的關(guān)鍵是選用一個合適變量，其原則是這個變量能夠表達要解決的問題，這個變量可以是直線的斜率、直線的截距、點的坐標(biāo)等，要根據(jù)問題的實際情況靈活處理。
求解范圍、最值問題的常見方法：
利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系．
利用已知參數(shù)的范圍，在兩個參數(shù)之間建立函數(shù)關(guān)系．
利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式．
利用基本不等式．
【答案詳解】
變式訓(xùn)練1
【解析】（1）由題意知，故拋物線方程為；
（2）設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，
，，，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，
， ，，
，
直線的方程：，
聯(lián)立同理，
，
，，
令，則，
，，解得或且，
故直線在軸上截距的取值范圍為：
變式訓(xùn)練2
【解析】（1）由已知得，解得,因此橢圓的方程為．
（2）由得
設(shè)，則．
因為
，
所以，為直角三角形，
設(shè)為點到直線的距離，故．
又因為，
，所以，
設(shè)，則，由于
所以，當(dāng)，即時，等號成立．
因此，的最大值為．

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