資源簡介

概率統計-方案與決策問題
專題綜述
方案與決策問題是通過一個實際的生活背景，提供了一些信息，然后要求學生通過比較、設計、操作找到解決問題的最佳方案，有時解決問題的方案不止一種，有時需要根據不同情況采取不同的方案，具有開放、靈活、發散的特點，此類問題多取材于實際生產生活，結合時代熱點，方案與決策問題的引入，改變了過去學生學習對模仿和記憶的依賴，對學生創新能力的培養、數學應用意識的提升都十分有用.
專題探究
探究1：與期望相關的決策問題
解決此類決策問題，決策標準相對比較明顯.根據題干信息求出相關事件的概率，然求出數學期望，根據期望的大小給出決策結果.
(2021福建省期中考試)隨著科技的發展，網購已經逐漸融入了人們的生活.在家里面不用出門就可以買到自己想要的東西，在網上付款即可，兩三天就會送到自己的家門口，如果近的話當天買當天就能送到，或者第二天就能送到，所以網購是非常方便的購物方式.某網購專營店為吸引顧客，特推出兩種促銷方案.
方案一：每滿600元可減100元；方案二：金額超過600元可抽獎三次，每次中獎的概率都為，且每次抽獎互不影響，中獎1次打9折，中獎2次打8折，中獎3次打7折.
如果你打算購買元的產品,請從實際付款金額的數學期望的角度分析應該選擇哪種優惠方案.
【審題視點】
決策標準為數學期望，根據期望分析即可
【思維引導】
分別計算方案一、方案二的數學期望，然后根據實際情況選擇相應的方案
【規范解析】
若選擇方案一，則需付款（元），
若選擇方案二，設付款元，則可能取值為
，，
，
所以(元)
因為，所以選擇方案二更劃算.
【探究總結】
解決此類問題一定要注意根據問題背景進行決策.
(2021江蘇省模擬題)“雙十一”活動中，顧客可以享受優惠，也可能會沖動消費，導致所購物品閑置.（閑置物品全部在某二手平臺上以原價的售出）.某商戶對標價元的某種商品采取了3種銷售形式促銷：普通購物，秒殺購物，直播購物.該小組收集了相關信息整理得下表：
普通購物 秒殺購物 直播購物
銷售量占比 70% 10% 20%
折扣率 5% 20% 15%
所購物品閑置率 20% 40% 30%
用頻率估計概率，從數學期望的角度，判斷顧客購買該商品是否劃算？
注：；.
探究2：與均值有關的決策問題
此類決策問題,決策標準相對比較明顯.根據題干信息求出均值,根據均值的大小給出決策結果.
(2021安徽省期末)某公司計劃購買1臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數,得如圖柱狀圖：
假設這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件,或每臺都購買20個易損零件,分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數,以此作為決策依據,購買1臺機器的同時應購買19個還是20個易損零件？
【審題視點】
如何計算平均數
【思維引導】
利用平均數公式，根據平均數大小進行決策.
【規范解析】
假設這臺機器在購機的同時每臺都購買個易損零件，
所須費用平均數為:
假設這臺機器在購機的同時每臺都購買個易損零件，
所須費用平均數為:
∵,∴購買臺機器的同時應購買臺易損零件
【探究總結】
解決此類問題要考慮實際情況，有時是越大越好，有時是越小越好.
(2021福建省福州市)某種產品按照產品質量標準分為一等品、二等品、三等品、四等品四個等級，某采購商從采購的該種產品中隨機抽取100件，根據產品的等級分類得到如下數據：
等級 一等品 二等品 三等品 四等品
數量 40 30 10 20
生產商提供該產品的兩種銷售方案供采購商選擇，方案一：產品不分類，售價均為22元/件．
方案二：分類賣出，分類后的產品售價如下，
等級 一等品 二等品 三等品 四等品
售價/（元/件） 24 22 18 16
根據樣本估計總體，從采購商的角度考慮，應該選擇哪種銷售方案？請說明理由．
探究3：利用小概率事件進行決策
此類決策問題標準比較隱蔽，首先、需要審題理解文字符號及其實際意義找出決策依據；其次、求出相關事件的概率；最后、根據概率的大小作出決策.
(2020江蘇省單元測試)根據歷史資料顯示,某種慢性疾病患者的自然痊愈率為,為試驗一種新藥,在有關部門批準后,醫院將此藥給位病人服用,試驗方案為:若這人中至少有2人痊愈,則認為該藥有效,提高了治愈率;否則,則認為該藥無效.如果新藥有效,將治愈率提高到了,求通過試驗卻認定新藥無效的概率,并根據的值解釋該試驗方案的合理性.
(參考結論:通常認為發生概率小于的事件可視為小概率事件)
【審題視點】
標準比較隱蔽，需要仔細審題找出依據
【思維引導】
通常認為小概率事件在一次試驗中不會發生，故可借助概率的大小決策
【規范解析】
設通過試驗痊愈的人數為，則,
記“通過試驗卻認定新藥無效”為事件，事件發生等價于,
由題意，實際上新藥是有效的；當痊愈人數低于2人時，
認定新藥無效，，此時做出了錯誤的判斷；
因為這個概率很小，故試驗方案合理
【探究總結】
設通過試驗痊愈的人數為，則，求得，這個概率很小，故試驗方案是合理.
(2020天津市月考試卷)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多只時，就停止試驗，并認為治愈只數多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和，一輪試驗中甲藥的得分記為．
（1）求的分布列；
（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予分,表示“甲藥的累計得分為時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，
,其中,,．
假設，．
證明：為等比數列；
求，并根據的值解釋這種試驗方案的合理性.
探究4：利用回歸分析進行決策
回歸分析問題經常用大量文字和數據來說明實際現象，解讀生活規律.解題時要注意收集數據、整理數據、統計推斷這樣一個基本過程，要注意以下幾個方面：第一、把握相關概念的本質，掌握基本模型；第二、充分發揮案例的作用，提升自己的數據分析水平；第三、多了解、關注一些新興技術，可能會在這方面出題；第四、注意與其他知識的結合.
(2020山東省期末考試)探索浩瀚宇宙是全人類的共同夢想，我國廣大科技工作者、航天工作者為推動世界航天事業發展付出了艱辛的努力，為人類和平利用太空、推動構建人類命運共同體貢獻了中國智慧、中國方案、中國力量.某公司試生產一種航空零件，在生產過程中，當每小時次品數超過90件時，產品的次品率會大幅度增加，為檢測公司的試生產能力，同時盡可能控制不合格品總量，抽取幾組一小時生產的產品數據進行次品情況檢查分析，已知在（單位：百件）件產品中，得到次品數量（單位：件）的情況匯總如下表所示，且（單位：件）與（單位：百件）線性相關：
（百件） 5 20 35 40 50
（件） 2 14 24 35 40
根據公司規定，在一小時內不允許次品數超過件，請通過計算分析，按照公司的現有生產技術設備情況，判斷可否安排一小時試生產件的任務？
(參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程的系數公式
)
【審題視點】
決策依據是什么？
【思維引導】
根據公司規定，在一小時內不允許次品數超過件，可作為決策依據.
【規范解析】
解：由已知可得：；；
又因為；
；
由回歸直線的系數公式知：
，

所以，
當百件時，，符合有關要求
所以按照公司的現有生產技術設備情況，可以安排一小時試生產件的任務．
【探究總結】
與回歸分析有關的決策問題,通常需要先求出回歸直線方程并進行預測,根據預測值進行決策.
(2020山東省淄博市期末考試)隨著人民生活水平的日益提高，某小區擁有私家車的數量與日俱增，物業公司統計了近六年小區私家車的數量，數據如下：
年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019
編號 1 2 3 4 5 6
數量（輛） 41 96 116 190 218 275
（1）若該小區私家車的數量與年份編號的關系可用線性回歸模型來擬合，請求出關于的線性回歸方程，并用決定系數分析其擬合效果（精確到）；
（2）由于該小區沒有配套停車位，車輛無序停放易造成交通擁堵，因此物業公司預在小區內劃定一定數量的停車位，若要求在2022年小區停車位數量仍可滿足需要，則至少需要規劃多少個停車位.
參考數據：，，，.
附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，決定系數，
殘差
探究5：與獨立性檢驗相關的決策
解決此類問題，首先、依據樣本數據整理聯表；其次、根據數據計算；最后查臨界值表求概率，根據概率的大小給出相應的決策.
(2021河北月考試卷)某城市環保部門隨機抽取去年100天的空氣污染指數API的監測數據,結果統計如下:
API [0,50) [50,100) [100,150) [150,200) [200,300) 300
空氣質量 優 良 輕微污染 輕度污染 中度污染 重度污染
天數 4 15 18 30 18 15
某企業的經濟情況受空氣污染影響,當API在[0,100)內時,該企業沒有經濟損失;當API在[100,300)內時,該企業每天的經濟損失與API之間為一次函數關系,且已知當API為120時,每天的經濟損失為380元,當API為250時,每天的經濟損失為900元;當API大于等于300時,每天的經濟損失為2000元.若本次抽取的100天中有30天是在供暖季,且這30天中有9天為重度污染,完成下面的列聯表,試根據小概率值的獨立性檢驗，分析該城市去年的空氣重度污染與供暖是否有關.
非重度污染 重度污染 合計
供暖季
非供暖季
合計 100
附:,.
0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【審題視點】
由問題可知為獨立性檢驗問題
【思維引導】
按照公式計算，并與臨界值進行比較
【規范解析】
解：零假設為：城市去年的空氣重度污染與供暖無關
根據題中數據,得到的列聯表如下,
非重度污染 重度污染 合計
供暖季 21 9 30
非供暖季 64 6 70
合計 85 15 100
根據列聯表中的數據，經計算得到.
因為,
所以根據小概率值的獨立性檢驗，
我們推斷不成立，即認為該城市去年的空氣重度污染
與供暖有關，此推斷犯錯誤的概率不大于
【探究總結】
先完善列聯表，再由卡方公式求出觀測值，對照臨界值表即可判斷.
(遼寧省沈陽市聯考)數字人民幣是由央行發行的法定數字貨幣,它由指定運營機構參與運營并向公眾兌換,與紙鈔和硬幣等價.截至2021年6月30日,數字人民幣試點場景已超132萬個,覆蓋生活繳費、餐飲服務、交通出行、購物消費、政務服務等領域.為了進一步了解普通大眾對數字人民幣的感知以及接受情況,某機構進行了一次問卷調查,結果如下:
(1)如果將高中及高中以下的學歷稱為“低學歷”,大學?？萍耙陨蠈W歷稱為“高學歷”,根據所給數據,完成列聯表.
(2)若從低學歷的被調查者中隨機抽取2人進行進一步調查,求被選中的2人中至少有1人對數字人民幣不了解的概率;
(3)根據列聯表,判斷是否有95%的把握認為“是否了解數字人民幣”與“學歷高低”有關
附:.
0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
專題升華
統計與概率作為數學中的一個重要分支，不僅是我們數學學習的重點內容，而且這些知識更和我們的生活息息相關，人們無時無刻不與各種數據和現象打交道，如通過調查決策產品研發方向，通過調查決定生產規模和銷售模式，通過藥物試驗評價新藥的有效性與安全性，通過民意調查幫助政府部門覺醒、醫改方案等.
【答案詳解】
變式訓練1
【解析】記顧客購買一件該商品花費金額為X元，
則普通購物中，元；
秒殺購購物中，元；
直播購物中，；
所以概率分布列為：
104 92 95.5
0.7 0.1 0.2
所以 ，
所以顧客購買該商品不劃算．
變式訓練2
【解析】方案的平均單價為,
因為，從采購商角度考慮，應該選擇方案2.
變式訓練3
【解析】的所有可能取值為，，，
，，，
的分布列為：
證明：，， 由得，，，，
因此，
故，即，
又，為公比為，首項為的等比數列；
解：由可得，
，
，，，
表示最終認為甲藥更有效的概率，
由計算結果可以看出，在甲藥治愈率為，乙藥治愈率為時，認為甲藥更有效的概率為，此時得出錯誤結論的概率非常小，說明這種試驗方案合理．
變式訓練4
【解析】，．
，．
關于的線性回歸方程為．
時，，時，，時，，
時，，時，，時，．
．
，決定系數約等于，接近，說明擬合效果較好；
在中求得的線性回歸方程中，取，可得．
故若要求在年小區停車位數量仍可滿足需要，則至少需要規劃個停車位．
變式訓練5
【解析】解:(1)列聯表如下:
(2)
(3)零假設為：是否了解數字人民幣與學歷高低無關
根據列聯表得:
故沒有的把握認為“是否了解數字人民幣”與“學歷高低”有關.

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