資源簡介

概率統(tǒng)計-方案與決策問題
專題綜述
方案與決策問題是通過一個實際的生活背景，提供了一些信息，然后要求學(xué)生通過比較、設(shè)計、操作找到解決問題的最佳方案，有時解決問題的方案不止一種，有時需要根據(jù)不同情況采取不同的方案，具有開放、靈活、發(fā)散的特點，此類問題多取材于實際生產(chǎn)生活，結(jié)合時代熱點，方案與決策問題的引入，改變了過去學(xué)生學(xué)習(xí)對模仿和記憶的依賴，對學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的提升都十分有用.
專題探究
探究1：與期望相關(guān)的決策問題
解決此類決策問題，決策標(biāo)準(zhǔn)相對比較明顯.根據(jù)題干信息求出相關(guān)事件的概率，然求出數(shù)學(xué)期望，根據(jù)期望的大小給出決策結(jié)果.
(2021福建省期中考試)隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)購已經(jīng)逐漸融入了人們的生活.在家里面不用出門就可以買到自己想要的東西，在網(wǎng)上付款即可，兩三天就會送到自己的家門口，如果近的話當(dāng)天買當(dāng)天就能送到，或者第二天就能送到，所以網(wǎng)購是非常方便的購物方式.某網(wǎng)購專營店為吸引顧客，特推出兩種促銷方案.
方案一：每滿600元可減100元；方案二：金額超過600元可抽獎三次，每次中獎的概率都為，且每次抽獎互不影響，中獎1次打9折，中獎2次打8折，中獎3次打7折.
如果你打算購買元的產(chǎn)品,請從實際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析應(yīng)該選擇哪種優(yōu)惠方案.
【審題視點】
決策標(biāo)準(zhǔn)為數(shù)學(xué)期望，根據(jù)期望分析即可
【思維引導(dǎo)】
分別計算方案一、方案二的數(shù)學(xué)期望，然后根據(jù)實際情況選擇相應(yīng)的方案
【規(guī)范解析】
若選擇方案一，則需付款（元），
若選擇方案二，設(shè)付款元，則可能取值為
，，
，
所以(元)
因為，所以選擇方案二更劃算.
【探究總結(jié)】
解決此類問題一定要注意根據(jù)問題背景進行決策.
(2021江蘇省模擬題)“雙十一”活動中，顧客可以享受優(yōu)惠，也可能會沖動消費，導(dǎo)致所購物品閑置.（閑置物品全部在某二手平臺上以原價的售出）.某商戶對標(biāo)價元的某種商品采取了3種銷售形式促銷：普通購物，秒殺購物，直播購物.該小組收集了相關(guān)信息整理得下表：
普通購物 秒殺購物 直播購物
銷售量占比 70% 10% 20%
折扣率 5% 20% 15%
所購物品閑置率 20% 40% 30%
用頻率估計概率，從數(shù)學(xué)期望的角度，判斷顧客購買該商品是否劃算？
注：；.
探究2：與均值有關(guān)的決策問題
此類決策問題,決策標(biāo)準(zhǔn)相對比較明顯.根據(jù)題干信息求出均值,根據(jù)均值的大小給出決策結(jié)果.
(2021安徽省期末)某公司計劃購買1臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得如圖柱狀圖：
假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件,或每臺都購買20個易損零件,分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),購買1臺機器的同時應(yīng)購買19個還是20個易損零件？
【審題視點】
如何計算平均數(shù)
【思維引導(dǎo)】
利用平均數(shù)公式，根據(jù)平均數(shù)大小進行決策.
【規(guī)范解析】
假設(shè)這臺機器在購機的同時每臺都購買個易損零件，
所須費用平均數(shù)為:
假設(shè)這臺機器在購機的同時每臺都購買個易損零件，
所須費用平均數(shù)為:
∵,∴購買臺機器的同時應(yīng)購買臺易損零件
【探究總結(jié)】
解決此類問題要考慮實際情況，有時是越大越好，有時是越小越好.
(2021福建省福州市)某種產(chǎn)品按照產(chǎn)品質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分為一等品、二等品、三等品、四等品四個等級，某采購商從采購的該種產(chǎn)品中隨機抽取100件，根據(jù)產(chǎn)品的等級分類得到如下數(shù)據(jù)：
等級 一等品 二等品 三等品 四等品
數(shù)量 40 30 10 20
生產(chǎn)商提供該產(chǎn)品的兩種銷售方案供采購商選擇，方案一：產(chǎn)品不分類，售價均為22元/件．
方案二：分類賣出，分類后的產(chǎn)品售價如下，
等級 一等品 二等品 三等品 四等品
售價/（元/件） 24 22 18 16
根據(jù)樣本估計總體，從采購商的角度考慮，應(yīng)該選擇哪種銷售方案？請說明理由．
探究3：利用小概率事件進行決策
此類決策問題標(biāo)準(zhǔn)比較隱蔽，首先、需要審題理解文字符號及其實際意義找出決策依據(jù)；其次、求出相關(guān)事件的概率；最后、根據(jù)概率的大小作出決策.
(2020江蘇省單元測試)根據(jù)歷史資料顯示,某種慢性疾病患者的自然痊愈率為,為試驗一種新藥,在有關(guān)部門批準(zhǔn)后,醫(yī)院將此藥給位病人服用,試驗方案為:若這人中至少有2人痊愈,則認(rèn)為該藥有效,提高了治愈率;否則,則認(rèn)為該藥無效.如果新藥有效,將治愈率提高到了,求通過試驗卻認(rèn)定新藥無效的概率,并根據(jù)的值解釋該試驗方案的合理性.
(參考結(jié)論:通常認(rèn)為發(fā)生概率小于的事件可視為小概率事件)
【審題視點】
標(biāo)準(zhǔn)比較隱蔽，需要仔細(xì)審題找出依據(jù)
【思維引導(dǎo)】
通常認(rèn)為小概率事件在一次試驗中不會發(fā)生，故可借助概率的大小決策
【規(guī)范解析】
設(shè)通過試驗痊愈的人數(shù)為，則,
記“通過試驗卻認(rèn)定新藥無效”為事件，事件發(fā)生等價于,
由題意，實際上新藥是有效的；當(dāng)痊愈人數(shù)低于2人時，
認(rèn)定新藥無效，，此時做出了錯誤的判斷；
因為這個概率很小，故試驗方案合理
【探究總結(jié)】
設(shè)通過試驗痊愈的人數(shù)為，則，求得，這個概率很小，故試驗方案是合理.
(2020天津市月考試卷)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多只時，就停止試驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和，一輪試驗中甲藥的得分記為．
（1）求的分布列；
（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予分,表示“甲藥的累計得分為時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，
,其中,,．
假設(shè)，．
證明：為等比數(shù)列；
求，并根據(jù)的值解釋這種試驗方案的合理性.
探究4：利用回歸分析進行決策
回歸分析問題經(jīng)常用大量文字和數(shù)據(jù)來說明實際現(xiàn)象，解讀生活規(guī)律.解題時要注意收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、統(tǒng)計推斷這樣一個基本過程，要注意以下幾個方面：第一、把握相關(guān)概念的本質(zhì)，掌握基本模型；第二、充分發(fā)揮案例的作用，提升自己的數(shù)據(jù)分析水平；第三、多了解、關(guān)注一些新興技術(shù)，可能會在這方面出題；第四、注意與其他知識的結(jié)合.
(2020山東省期末考試)探索浩瀚宇宙是全人類的共同夢想，我國廣大科技工作者、航天工作者為推動世界航天事業(yè)發(fā)展付出了艱辛的努力，為人類和平利用太空、推動構(gòu)建人類命運共同體貢獻了中國智慧、中國方案、中國力量.某公司試生產(chǎn)一種航空零件，在生產(chǎn)過程中，當(dāng)每小時次品數(shù)超過90件時，產(chǎn)品的次品率會大幅度增加，為檢測公司的試生產(chǎn)能力，同時盡可能控制不合格品總量，抽取幾組一小時生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)據(jù)進行次品情況檢查分析，已知在（單位：百件）件產(chǎn)品中，得到次品數(shù)量（單位：件）的情況匯總?cè)缦卤硭荆遥▎挝唬杭┡c（單位：百件）線性相關(guān)：
（百件） 5 20 35 40 50
（件） 2 14 24 35 40
根據(jù)公司規(guī)定，在一小時內(nèi)不允許次品數(shù)超過件，請通過計算分析，按照公司的現(xiàn)有生產(chǎn)技術(shù)設(shè)備情況，判斷可否安排一小時試生產(chǎn)件的任務(wù)？
(參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)公式
)
【審題視點】
決策依據(jù)是什么？
【思維引導(dǎo)】
根據(jù)公司規(guī)定，在一小時內(nèi)不允許次品數(shù)超過件，可作為決策依據(jù).
【規(guī)范解析】
解：由已知可得：；；
又因為；
；
由回歸直線的系數(shù)公式知：
，

所以，
當(dāng)百件時，，符合有關(guān)要求
所以按照公司的現(xiàn)有生產(chǎn)技術(shù)設(shè)備情況，可以安排一小時試生產(chǎn)件的任務(wù)．
【探究總結(jié)】
與回歸分析有關(guān)的決策問題,通常需要先求出回歸直線方程并進行預(yù)測,根據(jù)預(yù)測值進行決策.
(2020山東省淄博市期末考試)隨著人民生活水平的日益提高，某小區(qū)擁有私家車的數(shù)量與日俱增，物業(yè)公司統(tǒng)計了近六年小區(qū)私家車的數(shù)量，數(shù)據(jù)如下：
年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019
編號 1 2 3 4 5 6
數(shù)量（輛） 41 96 116 190 218 275
（1）若該小區(qū)私家車的數(shù)量與年份編號的關(guān)系可用線性回歸模型來擬合，請求出關(guān)于的線性回歸方程，并用決定系數(shù)分析其擬合效果（精確到）；
（2）由于該小區(qū)沒有配套停車位，車輛無序停放易造成交通擁堵，因此物業(yè)公司預(yù)在小區(qū)內(nèi)劃定一定數(shù)量的停車位，若要求在2022年小區(qū)停車位數(shù)量仍可滿足需要，則至少需要規(guī)劃多少個停車位.
參考數(shù)據(jù)：，，，.
附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，決定系數(shù)，
殘差
探究5：與獨立性檢驗相關(guān)的決策
解決此類問題，首先、依據(jù)樣本數(shù)據(jù)整理聯(lián)表；其次、根據(jù)數(shù)據(jù)計算；最后查臨界值表求概率，根據(jù)概率的大小給出相應(yīng)的決策.
(2021河北月考試卷)某城市環(huán)保部門隨機抽取去年100天的空氣污染指數(shù)API的監(jiān)測數(shù)據(jù),結(jié)果統(tǒng)計如下:
API [0,50) [50,100) [100,150) [150,200) [200,300) 300
空氣質(zhì)量 優(yōu) 良 輕微污染 輕度污染 中度污染 重度污染
天數(shù) 4 15 18 30 18 15
某企業(yè)的經(jīng)濟情況受空氣污染影響,當(dāng)API在[0,100)內(nèi)時,該企業(yè)沒有經(jīng)濟損失;當(dāng)API在[100,300)內(nèi)時,該企業(yè)每天的經(jīng)濟損失與API之間為一次函數(shù)關(guān)系,且已知當(dāng)API為120時,每天的經(jīng)濟損失為380元,當(dāng)API為250時,每天的經(jīng)濟損失為900元;當(dāng)API大于等于300時,每天的經(jīng)濟損失為2000元.若本次抽取的100天中有30天是在供暖季,且這30天中有9天為重度污染,完成下面的列聯(lián)表,試根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析該城市去年的空氣重度污染與供暖是否有關(guān).
非重度污染 重度污染 合計
供暖季
非供暖季
合計 100
附:,.
0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【審題視點】
由問題可知為獨立性檢驗問題
【思維引導(dǎo)】
按照公式計算，并與臨界值進行比較
【規(guī)范解析】
解：零假設(shè)為：城市去年的空氣重度污染與供暖無關(guān)
根據(jù)題中數(shù)據(jù),得到的列聯(lián)表如下,
非重度污染 重度污染 合計
供暖季 21 9 30
非供暖季 64 6 70
合計 85 15 100
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到.
因為,
所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，
我們推斷不成立，即認(rèn)為該城市去年的空氣重度污染
與供暖有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于
【探究總結(jié)】
先完善列聯(lián)表，再由卡方公式求出觀測值，對照臨界值表即可判斷.
(遼寧省沈陽市聯(lián)考)數(shù)字人民幣是由央行發(fā)行的法定數(shù)字貨幣,它由指定運營機構(gòu)參與運營并向公眾兌換,與紙鈔和硬幣等價.截至2021年6月30日,數(shù)字人民幣試點場景已超132萬個,覆蓋生活繳費、餐飲服務(wù)、交通出行、購物消費、政務(wù)服務(wù)等領(lǐng)域.為了進一步了解普通大眾對數(shù)字人民幣的感知以及接受情況,某機構(gòu)進行了一次問卷調(diào)查,結(jié)果如下:
(1)如果將高中及高中以下的學(xué)歷稱為“低學(xué)歷”,大學(xué)專科及以上學(xué)歷稱為“高學(xué)歷”,根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成列聯(lián)表.
(2)若從低學(xué)歷的被調(diào)查者中隨機抽取2人進行進一步調(diào)查,求被選中的2人中至少有1人對數(shù)字人民幣不了解的概率;
(3)根據(jù)列聯(lián)表,判斷是否有95%的把握認(rèn)為“是否了解數(shù)字人民幣”與“學(xué)歷高低”有關(guān)
附:.
0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
專題升華
統(tǒng)計與概率作為數(shù)學(xué)中的一個重要分支，不僅是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點內(nèi)容，而且這些知識更和我們的生活息息相關(guān)，人們無時無刻不與各種數(shù)據(jù)和現(xiàn)象打交道，如通過調(diào)查決策產(chǎn)品研發(fā)方向，通過調(diào)查決定生產(chǎn)規(guī)模和銷售模式，通過藥物試驗評價新藥的有效性與安全性，通過民意調(diào)查幫助政府部門覺醒、醫(yī)改方案等.
【答案詳解】
變式訓(xùn)練1
【解析】記顧客購買一件該商品花費金額為X元，
則普通購物中，元；
秒殺購購物中，元；
直播購物中，；
所以概率分布列為：
104 92 95.5
0.7 0.1 0.2
所以 ，
所以顧客購買該商品不劃算．
變式訓(xùn)練2
【解析】方案的平均單價為,
因為，從采購商角度考慮，應(yīng)該選擇方案2.
變式訓(xùn)練3
【解析】的所有可能取值為，，，
，，，
的分布列為：
證明：，， 由得，，，，
因此，
故，即，
又，為公比為，首項為的等比數(shù)列；
解：由可得，
，
，，，
表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率，
由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為，乙藥治愈率為時，認(rèn)為甲藥更有效的概率為，此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗方案合理．
變式訓(xùn)練4
【解析】，．
，．
關(guān)于的線性回歸方程為．
時，，時，，時，，
時，，時，，時，．
．
，決定系數(shù)約等于，接近，說明擬合效果較好；
在中求得的線性回歸方程中，取，可得．
故若要求在年小區(qū)停車位數(shù)量仍可滿足需要，則至少需要規(guī)劃個停車位．
變式訓(xùn)練5
【解析】解:(1)列聯(lián)表如下:
(2)
(3)零假設(shè)為：是否了解數(shù)字人民幣與學(xué)歷高低無關(guān)
根據(jù)列聯(lián)表得:
故沒有的把握認(rèn)為“是否了解數(shù)字人民幣”與“學(xué)歷高低”有關(guān).

展開更多......

收起↑