資源簡介

函數與導數-函數的零點與方程的根
專題綜述
“函數零點存在性定理”是函數的一個核心定理,它蘊涵了豐富的數學思想,揭示了函數與方程的基本關系和轉化的路徑,是進一步研究函數問題的基礎,是判定函數零點,溝通方程與函數的重要工具.從 “探究一元二次方程根與二次函數零點關系”這個特殊情況出發，抽象出函數零點與方程根的關系，體現了函數與方程思想、特殊到一般的思想；結合數形結合思想，化歸與轉化思想，使函數零點、方程根與圖象交點三者在解題時選擇合適的轉化方向，順利解題.高考中，對于函數零點與方程根的考查，通常與一元二次方程根分布、三次函數、導數等知識點結合考查，對學生能力要求較高，難度較大.
專題探究
探究1：判斷零點個數或已知零點個數求參問題
零點相關問題的解題思路：
（1）二分法求零點近似值：按照二分法的步驟，縮減區間長度，使區間長度不超過精確度，則區間內任意一個值都可作為零點；
（2）判斷零點個數或已知零點個數求參問題的思路
方法一：轉化為利用圖象解方程問題解決（專題1.3.1探究二）；
強調：轉化思想函數的零點方程即的根函數圖象的交點；
方法二：利用零點存在性定理解決
答題思路：
第一步: 化繁為簡，若函數結構復雜，舍去不為0的部分，取其可能為0的部分，構造函數；
第二步:研究函數單調性，通常函數復雜，利用導數研究函數單調性；若含參數，分類討論；
第三步:每個單調區間內，分別求2個函數值，確保；
第四步:得出零點個數，或已知零點所在區間，進而求出參數的取值范圍.
(2021.重慶市市轄區模擬)已知函數有兩個零點，且存在唯一的整數，則實數的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【審題視點】
選擇題中出現函數的零點問題，可以令實現轉化，即轉化為函數圖象交點，或借助方程化簡，只取可能為0的部分構造函數，利用導數研究單調性，借助零點存在性定理，研究零點個數.
【思維引導】
函數有2個零點有2個零點討論的單調性，2個零點至少有2個單調區間明確單調區間，確定已知零點的范圍驗證內是否只含有1個整數.
【規范解析】
解：，其定義域為
令即
設，則的零點為
，
①當時，對恒成立，
故在單調遞增，不可能有兩個零點（舍）
②，令，得
令，得
故在單調遞增，在單調遞減，
要使有兩個零點，則需，
即，
當時，，
當時，，
，
又
①當時，則，，
不存在整數（舍）
②當時，則，，
故，
，即，
③當時，則且
,
故不存在整數（舍）
綜上，的取值范圍為
故選
【探究總結】
本題是典型的考查函數零點個數求參數問題，兩種方法都可解決.（1）借助圖象：方程變形，作出新函數的圖象，觀察圖象交點，即方程轉化為，構造函數，求導研究函數的單調性，借助極值點、極值、零點，作出函數的大致圖象，當時，區間內存在唯一整數.（2）借助零點存在性定理：構造函數，利用導數研究單調性，驗證每個區間內是否存在零點；參數時，要分類討論.解決此類題目時，若為選擇填空，可首選圖象法；若為解答題，可首選零點存在性定理解決.但不管是那種方法，試題難度都較高，理清思路，落實好細節.
(2021.山東青島模擬）設函數，若函數存在兩個極值點，且極小值點大于極大值點，則實數的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
探究2：“點”化方程根
方程問題的關鍵是轉化為“點”的問題解決：
（1）將方程的根轉化為函數圖象的交點：（專題1.3.1探究二）
（2）將方程的根轉化為函數的零點：
答題思路：
第一步: 簡化方程，舍去不會為零的部分，或化分為整（注意分母不為0）等；
第二步: 變形為的形式，若等式左右兩側的函數圖象能夠用常規方法作出，通過圖象能得出交點個數或列出含參數不等式，即轉化為圖象交點解決；若圖象法不利于求解，構造函數，轉化為零點問題.
(2021.浙江省臺州市模擬)已知函數，若方程在區間內有且僅有一個根，則實數的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【審題視點】
已知方程根個數求參，方程較為復雜，轉化為零點解決.
【思維引導】
方程變形為，變形方向是讓參數與分開，使導函數中不含參數，避免分類討論.導函數若不能直接解不等式或不能用單調性性質判斷其單調性，則提取其中符號不明確的部分，構造函數，研究新構造函數的符號.
【規范解析】
解：方程即
即，
令
則函數在區間上有且僅有一個零點，
則，
令，則，
函數在上單調遞增
當時，，
，
在區間上單調遞增，
當函數在區間內有且僅有一個零點時，
則
解得，即實數的取值范圍是故選
【探究總結】
方程根問題，轉化為零點或是交點解決，所以要將題干方程表示出來，需進一步變形.如果方程能變形為，的圖象為曲線，的圖象為直線，或均為常見簡單函數，則轉化為函數圖象交點解決.若變形后不滿足上述情況，則轉化為函數零點問題，利用零點存在性定理，得出零點個數或求參數取值范圍.
(2021.江西撫州月考）函數，關于方程有三個不同實數解，則實數的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
探究3：一元二次方程根分布問題
一元二次方程根分布問題往往會結合方程根個數考查：
答題思路：
第一步: 換元，設，轉化為一元二次方程，即；
第二步:作出的圖象，作出的圖象，使交點個數之和等于根個數；
第三步: 結合圖象得出的范圍，即方程的根范圍；
第四步:結合一元二次方程根分布的情況，列出不等式；
思路：已知方程的實根的分布情況，畫出滿足條件的函數的圖象，結合圖象從，及函數端點處函數值符號的角度列出不等式.
（1）若在內研究方程的實根情況：根據根個數及根的符號列關于的不等式；
（2）若在區間內研究二次方程，則需由二次函數圖象與區間關系來確定：
①二次方程有且只有一個實根屬于的充要條件：；
②二次方程兩個根都屬于的充要條件：；
③二次方程兩個根分別在內的充要條件：；
④二次方程兩個根，一個根比大，一根比小的充要條件：.
(2021.安徽淮北模擬)已知函數，若函數有8個零點，則實數的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【審題視點】
遇見“有8個零點”這種條件換元將復合函數簡單化，零點轉化為方程根，再轉化為圖象交點求解；且方程，換元后為一元二次方程，解題會用到一元二次方程根分布的知識.
【思維引導】
①換元：；②作圖：作的圖象；③ “看圖說話”：借助交點個數，明確的范圍；④轉化為一元二次方程根分布問題.
【規范解析】
解：由題意得有8個根
令，則令方程的2個根為，
即方程共8個根
①當時，令，則
在區間上單調遞增,在區間上單調遞減
且，，時，
②當時，令，則
在區間上單調遞增，
在區間上單調遞減，
且，時，
作出函數的大致圖象如圖所示，
由圖可得：當時，
與的圖象各有4個交點
即方程在區間內有2個根
解得，故選
【探究總結】
一元二次方程根分布問題，一般不會單獨命題，常與函數零點或方程根結合考查，這類題目難度較大，涉及函數與方程思想、化歸與轉化思想、數形結合思想等，解題過程按照換元：方程轉化為一元二次方程；進一步轉化為兩個簡單方程；將方程根個數轉化為圖象交點個數；從圖象上判斷進一步轉化為反饋卡看函數零點.
(2021.江蘇蘇州模擬）已知函數，若在定義域內存在，使得成立，則稱為函數的局部對稱點.
（1）證明：函數在區間內必有局部對稱點；
（2）若函數在上有局部對稱點，求實數的取值范圍.
專題升華
高中數學從二次函數與一元二次方程的特殊關系中，抽象出函數零點與方程根的相互轉化的一般思路.高中數學的靈魂是函數，解決復雜的方程根問題轉化為函數零點或函數圖象的交點問題解決，所以解決這類問題的本質是能夠熟練的作出函數的圖象，能夠深刻的理解函數的零點存在性定理中蘊含的解題思路.針對具體的函數，借助函數單調性性質及導數判斷單調性，每個單調區間內判斷是否存在零點，最終得出零點個數、零點所在區間、參數的取值范圍等結論，這類問題難度較大，但思路明確，解題時先理清思路，處理好細節，問題能夠迎刃而解.
【答案詳解】
變式訓練1：【答案】A
【解析】解：函數，
則，函數存在兩個極值點，，
則函數與的圖象有兩個交點，
設與的切點，恒過點，
求導得，令，得；令，得，
在單調遞減，在單調遞增，
則在處的切線斜率，
則，整理得：，解得，或，
當時，則，即，，
當時，則，即，，
要使與有兩個交點， 則或，
當，則與有兩個交點，，且，
由函數圖象可知，
當時，，即，
當時，，即，
當時，，即，
即函數單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，
故當時，函數取極大值，當時取極小值，
滿足極小值點大于極大值點，
同理可知，當時，也滿足極小值點大于極大值點，
實數的取值范圍，
故選A．
變式訓練2：【答案】D
【解析】，
當時，，即，
則大致圖象如圖所示，
設，則有三個不同的實數解，
即為有兩個根，且一個在上，一個在上， 當時，，得，此時方程為，解得或，
當時，有一個根，
當時，由，此時也只有一個根，此時方程共有2個根，不滿足條件．
設，
①當有一個根為1時,,解得,此時另一根為,滿足條件．
②根不是1時，則滿足，，
即，綜上，即實數的取值范圍為
故選
變式訓練3：
【解析】證明：設，則，
令，則，解得，
即當時，，即成立，
即函數在區間內必有局部對稱點；
解：若函數在上有局部對稱點，
且，
則在上有解，
即在上有解，
于是在上有解．
令，則，
所以方程變為，
設，則，
由，在上單調遞增知，，，，
即此時，
所以函數在上單調遞減；
設，則，，
由，在上單調遞增知，，，，
即此時，
所以函數在上單調遞增；
故從而已知即在上有解，
設，分為兩種情況：
①當方程在唯一解時：
則或
解得，；
解得，，則；
②當方程在有兩個解時：
綜上得:

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