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易錯點-函數與導數
專題綜述
函數與導數是高考中的重點和難點，各種題型都有考查，也有一定的計算量！但我們要必拿選擇填空的中等題分數，主要考查的知識點有函數的概念（函數的定義域、解析式、值域）、性質（單調性、奇偶性、對稱性）、圖象，導數的概念及其幾何意義；對這些知識理解不到位或把握不全面或對題意理解不準確，就容易造成會而不對、對而不全的結果.
專題探究
探究1:函數性質掌握不牢致錯
函數的單調性、奇偶性、周期性等在考題中不限制于以課本的定義給出，我們要關注它們等價變形形式和相關結論，如單調性的等價變形形式有：
(1)若,,
在上是增函數；在上是減函數.
若,且,則是增函數.
奇偶性的相關結論有：
(1)是偶函數；
(2)是奇函數；
(3)若函數在處有意義,則；
(4)是偶函數,則,是偶函數,則.
利用函數的對稱性與奇偶性會推導函數的周期性：
(1)函數滿足（）,若為奇函數,則其周期為；若為偶函數,則其周期為.
(2)函數的圖象關于直線和都對稱,則函數是以為周期的周期函數；函數的圖象關于兩點、都對稱,則函數是以為周期的周期函數；函數的圖象關于和直線都對稱,則函數是以為周期的周期函數.
(2022江蘇聯考)已知函數的圖象關于直線對稱，且對有當時，則下列說法正確的是
. 的最小正周期是8 . 的最大值為5
. . 為偶函數
【規范解析】
解：因為的圖象關于直線對稱，
所以關于直線對稱；
即有，，
又，所以，
即，所以，
又，，
所以，所以的周期，故正確；
.由知
，
故正確；
.由知所以，
則為偶函數，故正確；
.當時，，結合以上知函數圖象大致為
則的最大值為4，故錯誤.
故答案選：
(2022福建聯考)已知定義在上的函數，對任意實數有，函數的圖象關于直線對稱，若當時，則
A. 為偶函數 B. 為周期函數
C. D. 當時，
探究2:函數圖象識別時不細致致錯
函數圖象是函數性質的直觀反映,由函數表達式識別函數圖象時由于我們平時形成的一些錯誤的認識,還有慣性思維,不做深入的研究,導致得出錯誤的結論.我們在辨別圖象時可從奇偶性、單調性、特殊值等方面來排除不合適的，從而得到正確答案.
(2022福建聯考)函數的圖象大致為
A. B.
C. D.
【規范解析】
解：函數，
滿足，
為奇函數，的圖象關于原點對稱，排除，
當時，，排除故選
(2021福建省福州市期中)我國著名數學家華羅庚先生曾說：數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休.在數學的學習和研究中，常用函數的圖象來研究函數的性質，也常用函數的解析式來研究函數圖象的特征.觀察以下四個圖象的特征，試判斷與函數相對應的圖象是
A. B.
C. D.
探究3:比較大小時沒有選對方法致錯
在比較數與式的大小時常利用指數函數、冪函數及對數函數單調性比較大小.若比較指數式與對數式的大小，或同是指數式（對數式）但底數不相同，這些情況下常利用中間量比較大小，常用的中間量是，有時也可借助等中間量來比較大小.若兩個式子結構比較復雜，但結構類似，這種情況下常利用式子的結構構造函數，然后利用函數單調性比較大小.
(2021江蘇聯考)如果，那么下列不等式中正確的是
A. B.
C. D.
【規范解析】
解：由題意 ，所以，，
得為上的減函數，
又，所以，
而單調遞減，，
，故選：
(2021安徽省池州市單元測試)已知函數的圖象關于直線對稱，在時，單調遞增．若，，其中e為自然對數的底數，為圓周率，則a，b，c的大小關系為
B. C. D.
探究4:混淆兩類切線致錯
求曲線的切線方程一定要注意區分“過點A的切線方程”與“在點A處的切線方程”的不同．雖只有一字之差,意義完全不同,“在”說明這點就是切點,“過”只說明切線過這個點,這個點不一定是切點,求曲線過某點的切線方程一般先設切點把問題轉化為在某點處的切線,求過某點的切線條數一般也是先設切點,把問題轉化為關于切點橫坐標的方程實根個數問題.
(2021山東模擬)已知直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則實數__________，實數__________.
【規范解析】
解：設與和的切點分別為，，
的導數，
，且，解得，；
的導數，，，
又，故答案為 ；
(2021河南信陽月考)若曲線與有一條斜率為2的公切線，則
A. B. C. D.
探究5:混淆導數與單調性的關系致錯
研究函數的單調性與其導函數的關系時一定要注意:一個函數的導函數在某個區間上單調遞增(減)的充要條件是這個函數的導函數在此區間上恒大(小)于等于0,且導函數在此區間的任意子區間上都不恒為零.若研究函數的單調性可轉化為解不等式,首先根據a的符號進行討論,當a的符號確定后,再根據是否在定義域內討論,當都在定義域內時在根據的大小進行討論.
(2021福建省福州市期中)已知函數
當時，討論函數在區間的單調性
【規范解析】
解：當時，函數，
當時，，，在上單調遞增，
當時，令，
①當時，即時，
由得：，由得：，
當時，函數在上單調遞增，
在上單調遞減.
②當時，即時，由得，
當時，函數在上單調遞增，
綜上所述：當時，函數在上單調遞增；
當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減.
(2022河北聯考)已知函數，其中為非零常數．
若函數在上單調遞增，求的取值范圍；
探究6:混淆導數與極值的關系致錯
對于可導函數f(x)：x0是極值點的充要條件是在x0點兩側導數異號,且,即是x0為極值點的必要而不充分條件.對于給出函數極大(小)值的條件,一定要既考慮,又考慮檢驗“左正右負”或“左負右正”,防止產生增根．
(2021河北省張家口市期中)已知函數的導函數的圖象如圖，則下列敘述正確的是
A. 函數只有一個極值點
B. 函數滿足，且在處取得極小值
C. 函數在處取得極大值
D. 函數在內單調遞減
【規范解析】
解：由導函數的圖象可得，
當時，，函數單調遞增；
當時，，函數單調遞減.
所以函數的單調遞減區間為，
只有當時函數取得極大值，無極小值.
故選：
(2022湖南聯考)已知函數
證明：恰有兩個極值點;
探究7:函數零點與方程的根不會轉化致錯
確定函數零點所在區間、零點個數或已知函數零點情況求參數，常通過數形結合轉化為兩個函數圖象的交點個數問題，所以研究函數與方程問題不要得“意”忘“形”.
(2021河北期中)已知函數 ，若存在不相等的，，，滿足，則實數的取值范圍是__________.
【規范解析】
解：由題意可知，對于，則
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減，當時，
函數取得最大值為，
如圖，分別畫出函數
和在上的圖象，
用一條平行于軸的直線截圖象，有3個交點時，
即存在，，，使得，
當或時，最多有2個交點，所以不成立;
當時，存在3個交點，所以的取值范圍是
故答案為：
(2022福建月考)函數，若關于的方程
有6個不相等的實數根，則的取值范圍是__________.
專題升華
函數的定義域是研究函數圖象與性質的第一要素，性質是函數的基本屬性，圖象是其性質的外在表現；把握各性質的定義和等價表達式是根本；
導數是研究函數性質的的根本工具，遇到參數時要緊記“分類討論”；導函數圖象與原函數圖象的關系不能混淆！
復合函數要會分解，定義域先行，內層函數的值域是外層函數的定義域，要清醒對待兩者的身份！
【答案詳解】
變式訓練1【答案】
【解析】由函數的圖象關于直線對稱可知，函數的圖象關于軸對稱，
故為偶函數.選項正確;
由，得，是周期的偶函數，
選項正確，選項錯誤;
設，則
為偶函數，，
由時，，得
又，選項正確.
故選：
變式訓練2【答案】
【解析】因為，所以，
所以為奇函數，其圖象關于原點中心對稱，故排除選項；
又時，，令，則，故排除選項.
故選：
變式訓練3【答案】
【解析】根據題意，函數的圖象關于直線對稱，
則函數的圖象關于軸對稱，即函數為偶函數，滿足，
則，，
又由時，單調遞增，則有；故選：
變式訓練4【答案】
【解析】由得，令，解得，
由點斜式得切線方程：，即，
由，得，令，解得，
代入得：，將代入，
得：，故選：
變式訓練5
【解析】由題知，
若，因為，，則，所以在上單調遞增，
若，則當時，，從而，
所以在上單調遞減，不滿足題意，
綜上分析，的取值范圍是
變式訓練6
【解析】證明：依題意的定義域為，，
令，
當時，，所以在單調遞增；
當時，，所以在單調遞減．
又因為，，，
所以在恰有1個零點，在恰有1個零點0，
且當時，，當時，，當時，
所以在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增．
所以恰有一個極大值點和一個極小值點0，即恰有兩個極值點．
變式訓練7
【解析】函數的圖象如圖所示，
令，結合圖象可知，
若關于的方程有6個不等的實數根，
則關于的方程在有兩個不等實數根，
因為的圖象過點，
則，解得 故答案為：

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