資源簡介

概率統(tǒng)計-互斥事件和獨立事件的概率計算
專題綜述
概率統(tǒng)計是近幾年高考命題的重點和熱點，通常以實際應用問題為背景，考查學生應用所學的概率和統(tǒng)計知識對現(xiàn)實社會中實際數(shù)據(jù)的分析處理能力，背景豐富，涉及運動健康、科學防疫、環(huán)境保護、改革成果、復工復產(chǎn)等，考查數(shù)據(jù)分析.內(nèi)容純粹，淡化了形式上的交匯，強化思維方式的交匯.2021高考中概率與統(tǒng)計內(nèi)容在選擇題、填空題、解答題中都有所出現(xiàn)，表現(xiàn)出“兩道小題+一道大題”的題型設(shè)計特點，占分比重較高，立足主干知識和基本思想方法，考查學生對基礎(chǔ)知識的理解和綜合應用能力.在備考時要注意：一 強化閱讀量，培養(yǎng)對文字語言和圖表信息的理解與處理能力；第二，正確理解各個概率與統(tǒng)計模型的特點及適用范圍；第三，注重利用數(shù)學知識進行決策.本節(jié)主要介紹互斥事件與獨立事件的概率計算.
專題探究
探究1：互斥事件的概率
互斥事件主要指的是不可能同時發(fā)生的兩個事件，用集合的概念來解釋互斥事件，就是由各個事件所含結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集.如果兩個事件是互斥事件，則事件發(fā)生的概率公式為加法公式；
答題模板：
第一步: 設(shè)事件;
第二步: 利用互斥事件的概率加法公式求解或利用對立事件概率求解.
(2020湖北省武漢市模擬)國家射擊隊的某隊員射擊一次,命中環(huán)的概率如表所示：
命中環(huán)數(shù) 環(huán) 環(huán) 環(huán) 環(huán)
概率
該射擊隊員射擊一次求：
射中環(huán)或環(huán)的概率；
至少命中環(huán)的概率；
命中不足環(huán)的概率．
【審題視點】
確定概率模型，選擇恰當?shù)挠嬎惴椒?
【思維引導】
由命中9環(huán)與命中10環(huán)不可能同時發(fā)生，故選擇概率加法公式進行求解
【規(guī)范解析】
解：記事件“射擊一次，命中環(huán)”為，則事件彼此互斥．
記“射擊一次，射中環(huán)或環(huán)”為事件，那么當，之一發(fā)生時，事件發(fā)生，
由互斥事件的加法公式得：
；
設(shè)“射擊一次，至少命中環(huán)”的事件為，
那么當，，之一發(fā)生時，事件發(fā)生．
由互斥事件概率的加法公式得：
；
由于事件“射擊一次，命中不足環(huán)”是事件：“射擊一次，
至少命中環(huán)”的對立事件：
即表示事件“射擊一次，命中不足環(huán)”，
根據(jù)對立事件的概率公式得：
．
【探究總結(jié)】
互斥事件是指兩個事件不可能同時發(fā)生，我們可以利用這個特性來求解互斥事件的概率問題，解題通常有兩種思路：一、將所求事件的概率轉(zhuǎn)化為彼此互斥的事件的概率和；二、當所求事件的概率比較難求時，可以先求它的對立事件的概率，再用1減去對立事件的概率即可求出所求事件的概率，運用這個思路解題可以簡化解題的過程.
（2020山東期末）某射手平時射擊成績統(tǒng)計如表：
環(huán)數(shù) 7環(huán)以下 7 8 9 10
概率 0.13 0.25 0.24
已知他射中7環(huán)及7環(huán)以下的概率為0.29．
（1）求和的值；
（2）求命中環(huán)或環(huán)的概率；
（3）求命中環(huán)數(shù)不足環(huán)的概率．
探究2：相互獨立事件的概率
相互獨立事件概率問題是相對來說比較難理解的一類事件.有很多同學會將相互獨立事件和互斥事件混淆，但是這兩個事件其實是完全不同的事，在解答相互獨立事件的概率問題時，我們常會使用這個公式來求其概率.
(2020全國1卷)甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：
累計負兩場者被淘汰：比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束．
經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空．設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為．
求甲連勝四場的概率；
求需要進行第五場比賽的概率；
求丙最終獲勝的概率.
【審題視點】
根據(jù)實際背景抽象出數(shù)學模型，確定求解概率方法.
【思維引導】
甲連勝四場只能是前四場全勝，由此能求出甲連勝四場的概率．
根據(jù)賽制，至少需要進行四場比賽，至多需要進行場比賽，比賽四場結(jié)束，共有三種情況：甲連勝場的概率為；乙連勝場的概率為；丙上場后連勝場的概率為，從而求出需要進行第五場比賽的概率．
丙最終獲勝有兩種情況：比賽四場結(jié)束且丙最終獲勝的概率為比賽五場結(jié)束且丙最終獲勝，則從第二場開始的四場比賽按照丙的勝，負，輪空結(jié)果有種情況：勝勝負勝，勝負空勝，負空勝勝，概率分別為，從而求出丙最終獲勝的概率．
【規(guī)范解析】
解：甲連勝四場只能是前四場全勝，
．
(2)根據(jù)賽制，至少需要進行四場比賽，
至多需要進行場比賽，比賽四場結(jié)束，
共有三種情況：
甲連勝場的概率為；乙連勝場的概率為；
丙上場后連勝場的概率為；
所以需要進行第場比賽的概率為，
(3)丙最終獲勝有兩種情況：
比賽四場結(jié)束且丙最終獲勝的概率為，比賽五場結(jié)束且丙最終獲勝，
則從第二場開始的四場比賽按照丙的勝,負,輪空結(jié)果有種情況：
勝勝負勝，勝負空勝，負空勝勝，概率分別為，
因此丙最終獲勝的概率為．
【探究總結(jié)】
在求相互獨立事件的概率時，我們要先確定各事件是獨立的，也就是各事件之間不會相互影響，且各事件會同時發(fā)生，然后排除互斥事件，即不可能同時發(fā)生的情況，最后求每個獨立事件發(fā)生的概率，根據(jù)乘法公式求得整個事件的概率.
(2021新高考)有個相同的球，分別標有數(shù)字，，，，，，從中有放回的隨機取兩次，每次取一個球甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是”，則
A. 甲與丙相互獨立 B. 甲與丁相互獨立
C. 乙與丙相互獨立 D. 丙與丁相互獨立
專題升華
互斥事件與相互獨立事件是概率中的兩類重要事件，但是很多同學容易對這兩類事件產(chǎn)生混淆，在解題時出錯.對于事件，若不可能同時發(fā)生，則稱為互斥事件，從集合的角度理解，就是，若還滿足，則事件 為對立事件.互斥事件遵循概率加法公式，即.若則相互獨立.
【答案詳解】
變式訓練1
【解析】(1)因為他射中7環(huán)及7環(huán)以下的概率為，
所以， ．
(2)命中10環(huán)或9環(huán)的概率為；
(3)命中環(huán)數(shù)不足9環(huán)的概率為．
變式訓練2【答案】
【解析】解：由題意可知，兩次取出的球的數(shù)字之和為的所有可能為：
，，，，，
兩次取出的球的數(shù)字之和為的所有可能為：
，，，，，
可得甲、乙、丙、丁事件發(fā)生的概率為：
甲，乙，丙，丁
又甲丙，甲丁，乙丙，丙丁
所以甲丁甲丁，故選：

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