資源簡介

立體幾何—空間角與空間距離
專題綜述
空間角度與空間距離的推理、比較與計算，是高考考查的重點.求解方法既可以選擇幾何法，又可以選擇向量法，在解決空間背景下及建系困難的幾何體中的角與距離時，幾何法更具優勢，在解決簡單幾何體中的角與距離及探究性問題時，向量法更具優勢.因此,選擇合適的方法，確保快速解決問題.另外，兩種方法都要求熟練準確的運算，且具有較高的直觀想象、邏輯推理及數學運算的核心素養.
專題探究
探究1：綜合法
解決立體圖形中角度和距離問題的思路：
立體幾何平面化平面幾何三角化三角問題定理化.
即把空間立體幾何的問題轉化為平面幾何的問題，再把平面幾何的問題轉化為解三角形問題.
答題思路一：綜合法求解空間角
（1）求異面直線成角的方法
① 平移：平移已有的平行線，或選擇適當的點（線段的中點或端點），做平線性平移，或補形平移；
② 證明：證明所作的角是異面直線所成的角或是其補角；
③ 尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，解三角形；
④ 取舍：因為異面直線所成角的取值范圍是，所以所作的角為鈍角時，應取它的補角作為異面直線所成的角．
（2）求線面角的方法：
（I）定義法：
① 先確定斜線與平面，找到線面的交點為斜足；找線在面外的一點，過點向平面做垂線，確定垂足；
② 連結斜足與垂足,為斜線在面內的投影；投影與斜線之間的夾角為線面角；
③ 把投影與斜線歸到三角形中進行求解.
（2）間接法：
設斜線與平面所成角為，則（為點到平面的距離），轉化為求點到平面的距離，可利用等積轉化或借助其他點求距離.
（3）求二面角的方法：
① 點為平面內一點，過點作于點；
② 證明過點的直線平面于點,連接，平面,，
即為二面角的平面角；
③ 解.
答題思路二：綜合法求解空間距離
空間中的距離：平行平面間的距離、平行平面的直線到平面的距離、點到平面的距離
轉化為點到平面的距離
求點到平面距離的方法：
（1）直接法：
① 求證過點的直線平面于點，則線段的長即為點到平面的距離；
② 利用求三棱錐體積的等積轉化思想進行求解；
（2）間接法：轉化為其他點到平面的距離
① 直線平面，轉化為求點到平面的距離；
② 平面，平面平面，轉化為求點到平面的距離.
（2021.福建省福州市月考試卷）如圖，在棱長為2的正方體中，下列結論正確的有（ ）
A.二面角的大小為
B.異面直線與所成的角為
C. 直線與平面所成的角為
D. 到平面的距離為
【審題視點】
以簡單幾何體或者空間位置背景下的多選題，選項中涉及求空間角、距離、體積的問題，若建系，運算量較大，可以優先選擇綜合法解題.
【思維引導】
將綜合法求空間角和距離的方法，以“流程化”的形式，將需要尋找的點，或需要作出的輔助線呈現出來，即可鎖定所求的角或線段長.綜合法的關鍵是，“按步驟進行”.
【規范解析】
解：在棱長為的正方體中，
連接交于點，則
平面
平面
平面
是二面角的平面角，
又,二面角的大小為
故正確
是異面直線與所成角或其補角
又
異面直線與所成角為
故錯誤
平面
連接，則為在平面內的投影
即為直線與平面所成的角
在中，
直線與平面所成的角為
故正確
方法一：平面
的長即為點到平面的距離
點到平面的距離為
方法二：三棱錐中
點到平面的距離為
方法三：平面，
平面
平面
點到平面的距離即為點到平面的距離
三棱錐中
點到平面的距離為，
即點到平面的距離
故正確.
【探究總結】
求空間角和距離，不能單一的只利用空間向量法求解，對于一些簡單的幾何體，或者建系定坐標需花費較多時間的題目，選擇用綜合法求解會縮短解題時間.空間三大角中，二面角的求解較為困難，記住一點出發，作兩垂線，連接兩垂足，解三角形即可.
（2021年全國新高考Ⅰ卷）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.
（1）證明：；
（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.
探究2：向量法
利用空間向量求空間角與距離的思路：
尋找從同一點出發的三條兩兩相互垂直的直線（條件不足需證明垂直）
建立空間直角坐標系
確定點的坐標求出向量（方向向量或法向量）坐標
帶入空間向量求角或距離的公式，求解.
答題思路三：向量法求解空間角與空間距離
（1）求空間角
① 設異面直線的方向向量分別為，則異面直線所成角的余弦值為；
② 設直線平面，直線的方向向量為，平面的法向量為，則
直線與平面所成角的正弦值為；
③ 設平面平面，平面，平面的法向量分別為，則法向量夾角的余弦值為.
（2）求點到平面的距離
點平面，點平面，平面的法向量為，則點到平面的距離為.
強調：
（1）利用空間向量求解空間角或者空間距離
① 通過建立空間直角坐標系，利用向量的坐標運算進行；
② 利用空間向量基本定理表示向量，結合空間向量數量積，求角或距離.
（2）求解空間角或者距離范圍、最值的問題
依然利用上述的求解思路，只是點的坐標含有參數，導致最終的結果是一個含參表達式.結合題干條件明確參數范圍，轉化為函數求范圍、最值問題.
（2021廣東省佛山市期中考試）如圖，已知矩形中，，，為的中點，將沿折起，使得平面平面，連接.
（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）若點是線段上的一動點，問點在何位置時，三棱錐的體積為？
【審題視點】
題干條件中邊長關系較多，聯想到利用勾股定理或等腰三角形的三線合一的結論得出垂直結論，平面平面轉化為線面垂直，故圖形中垂直結論較多，第一問不難證明，同樣容易建系求解后續兩問.
【思維引導】
這是一道立體幾何部分的常規題型，圖形中垂直條件較多，不難證明平面，第一問的結論又為建系提供條件.題中需要求二面角的余弦值，及探究點位置，用空間向量解決問題的思路更清晰一些.
【規范解析】
（1）證明：∵矩形中，，，為的中點
，
平面平面,平面平面
平面
平面
（2）解：分別取的中點和，則，
平面
建立如圖所示空間直角坐標系
則
設為平面的一個法向量，
則
令，則，即
又是平面的一個法向量，
二面角的余弦值為
（3）由（2）得
設
則
點到平面的距離
則
解得，則為的中點．
【探究總結】
向量法解決問題的前提是合理建系（條件不足時，有必要的證明）,寫出點的坐標，求解二面角、點面距的前提是準確求出法向量.向量法本質是幾何問題代數化，準確計算是保障.
（2021浙江省期中考試）如圖,在四棱柱中,底面是等腰梯形, ,, 底面,則（ ）
A.平面
B.直線與底面所成的角為
C.平面與平面所成銳二面角的余弦值為
D.點到平面的距離為
專題升華
對于空間角與空間距離的計算問題，綜合法與向量法都需要掌握.綜合法要求一作（作輔助線）、二證（證明作圖的合理性，即平行垂直的依據）、三計算（利用平面幾何的知識計算角或邊長），注重考查空間想象能力（判別平行與垂直的位置關系），推理論證能力（平行與垂直關系的輔助線作圖與論證），運算求解能力（利用余弦定理,計算三角形的內角與邊長）.空間向量法要求建立坐標系、寫出點坐標、計算角的三角函數值與距離或選擇
空間向量基底表示其他向量, 利用空間向量數量積運算計算各種角的三角函數值與距離.兩種方法針對不同的題型，各具優勢，做題時選擇合適的方法，快速準確的解題.
【答案詳解】
變式訓練1
【解析】
解：（1），為中點
平面平面,平面平面，平面
平面
（2）作于, 作于,連,則
平面,
平面
平面
平面
為二面角的平面角, 即
,為正三角形
為直角三角形
變式訓練2
【解析】
解：如圖，易知平面
平面
在等腰梯形中，過點作于點
則，，，
所以
因此滿足，所以
又，平面，，
平面
平面
，即直線與底面所成的角為
建立如圖所示空間直角坐標系
則，，，，
，
設平面的法向量，由得
取，可得平面的一個法向量
又為平面的一個法向量
設平面與平面所成銳二面角為，
則，
因此平面與平面所成銳二面角的余弦值為
故點到平面的距離為
故選

展開更多......

收起↑