資源簡介

函數與導數—利用導數研究函數的性質
專題綜述
導數是研究函數的便捷工具，利用導數研究函數的性質，如單調性、極值、最值，再利用函數性質求參數的取值范圍、求零點個數、進行不等式的證明等應用.解決函數問題的第一步也是關鍵的一步是，如何利用導數研究函數的單調性，明確了函數的單調性就可進一步研究函數的其他性質.對于函數的極值問題，要明確的同時，的左右兩側是否單調性相反；函數的最值問題，可能取最值的點在區間端點處或極值點處（若區間上存在極值），需比較端點處或極值點處函數值的大小.本專題重點探究，利用導數求含參函數的單調性及其最值問題.
專題探究
探究1：求含參函數的單調性
對于不能用單調性的性質判斷單調性的函數，用導數判斷單調性，求導函數，對導函數的解析式化簡變形，取符號不確定的因式，設為，解不等式.
答題方法：
第一種:不等式為含參的一元二次不等式：①若能變形為，討論的正負及的大小關系；②若不能變形，則討論的正負；
第二種: （或）恒成立：①求的最值，證明的不等式恒成立；②通過放縮證明（或）恒成立；
第三種:求的零點，解出不等式：①求，判斷函數的單調性；②直接求出零點（如，1為函數的一個零點）；若出現隱零點問題，則利用設而不求思想解決（專題1.3.9）.
第四種: 若，則即為同號，轉化為求兩個函數零點，并比較零點大小，從而寫出解集，若含參數，則需分類討論（如當時解不等式，分為與討論）.
（2021江蘇蘇州模擬）已知函數在上可導其中是自然對數的底數
（1）討論函數的單調性；
（2）當且時，證明：恒成立.
【審題視點】
（1）求導函數，化簡變形，選擇合適的方法討論；（2）已知參數，不含參，證明不等式不需要討論，不等式左右兩側都有項，可以將兩側合二為一，構造函數求最值證明不等式.
【思維引導】
對導函數的解析式化簡變形： 討論方程的根，由 可得，討論的取值以0為分界若存在，與比較大小，寫出解集.
【規范解析】
解：（1）由題意得
①當時，，
令，則，
在區間上單調遞增，
在區間上單調遞減
②當時，令得，
i) 當即時，
恒成立，
在上單調遞增；
ii）當即時，
令，得或
在區間，上單調遞增，
在區間上單調遞減
iii）當即時，
令，得或，
在區間，上單調遞增，
在上單調遞減
綜上所述：當時，在上單調遞減，
在上單調遞增;
當時，在上單調遞增;
當時，在，上單調遞增，
在上單調遞減;
當時，在，上單調遞增，
在上單調遞減.
（2）當且時，
則
設，則
當時，恒成立
在區間上單調遞增
當時，
即
當且時恒成立.
【探究總結】
解不等式的關鍵是對化簡變形，去除符號確定的因式，簡化不等式，根據不等式的結構，選擇合適的方法.理清上述方法的思路，關鍵是分類討論要確定討論區間，做到不重不漏.
（2021廣東汕頭月考）已知函數
（1）當時，討論的單調性；
（2）當時，，求的取值范圍.
探究2：已知函數的極值、最值求參
1.無論是求函數的極值、最值，還是已知函數的極值、最值求參，基本思路是一致的：先判斷函數的單調性，明確極值點或最值點，求出極值或最值（有參數，則含參表示）.
答題思路：
第一步: 解不等式，判斷函數單調性；
第二步: 利用單調性判斷極值點或最值點；
第三步: 求出含參的極值或最值與已知的極值最值相等，求出參數的值或取值范圍.
強調：
（1）求函數的最值（閉區間）
①區間上單調：端點處取最值；
②區間上先增后減（先減后增）：極值點處取最大值，比較左右端點處的函數值得出最小值（極值點處取最小值，比較左右端點處的函數值得出最大值）；
③區間上增減增（或減增減）：比較極值與端點處函數值，即可得最值；
2.已知函數極值點個數求參
已知函數極值點個數轉化為導函數零點個數，轉化已知函數零點個數求參的問題上去.
第一步: 令導函數，化簡變形構造函數或分離參數使參數；
第二步: 判斷函數的單調性，利用零點存在性定理，判斷函數零點個數是否滿足條件，求參；或轉化為圖象交點問題解決.
（2021安徽合肥月考）已知，
（1）當時，求證：不等式在上恒成立；
（2）若，是否存在實數，使得在的最小值是3，若存在，求的值，若不存在，請說明理由．
【審題視點】
（1）證明不等式即：①對不等式進行適當變形（不等式兩邊同除以或乘以某個因式），對不等式左邊構造函數求最小值，若最小值大于零，則不等式成立；②若構造一個函數難以求最值，則不等式兩側分別構造函數，證明兩個函數最值間的不等關系.（2）轉化為已知函數的最小值為3，求參數的值.
【思維引導】
（1）證明不等式恒成立問題，本質上是求函數最值問題，總體思路是對不等式變形，若只夠造一個函數，盡量使前不含，使導函數中不含，方便解不等式；或者變形為的形式，證明.（2）判斷的單調性，求出的最小值含參表示，令求.
【規范解析】
解：（1）當時， ，
若，則
設，，
令，則
在區間上單調遞增，
在區間上單調遞減
設，，
令，則
在上單調遞增，
，
當時，不等式在上恒成立；
（2）由題意得 ，
設存在實數，使得在的最小值是3，
又，
①當時，，
在上單調遞減，
，解得（舍）；
②當時，令，則
在上單調遞減，在上單調遞增，
，解得；
綜上所述：存在實數
【探究總結】
不等式證明、恒成立求參問題、形如“”的命題都要轉化為求函數最值問題解決，求導判斷函數單調性，求出函數最值，利用最值比較大小證明不等式或求出參數的取值范圍.而已知最值求參數的思路：含參討論函數單調性，并帶參表示最值，與已知最值相等，求出參數與給定范圍比較，進行取舍.
(2021安徽蚌埠月考) 已知函數
（1）求證：當時，函數在內單調遞減；
（2）若函數在區間內有且只有一個極值點，求的取值范圍．
專題升華
導數研究函數的性質的落腳點是研究函數的單調性，已知函數在區間上連續，則當時，函數單調遞增，當時，函數單調遞減；反之當函數單調遞增時，恒成立，當函數單調遞減時，恒成立.通過解不等式，求出函數的單調區間，不等式解集需借助導函數的零點表示，故在解不等式的過程中：若不等式為一元二次不等式，或簡單的指對不等式，可直接求出解集；若不等式較復雜，要轉化為構造函數，研究函數的零點（利用零點存在性定理判斷零點是否存在及個數，帶特殊值驗證函數值是否為0，求出零點，若出現“隱零點”，運用設而不求的思想表示零點），借助零點求出（或）的解集，判斷原函數的單調性.解決導數問題難度較大，綜合性強，關鍵是理清每一環節的思路，萬變不離其宗.
【答案詳解】
變式訓練1
【解析】解：（1）當時，，，
，故單調遞增，
又，
當時，單調遞減，
當時，單調遞增.
（2）由得，，，
①當時，不等式為：，成立；
②當時， ，
設，則，
令，
則，，
故單調遞增，
，
故函數單調遞增，，
由可得：恒成立，
故當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
，
綜上所述：實數的取值范圍是
變式訓練2
【解析】證明：函數的定義域為，
當時，，
設，
則，
則當時，，函數單調遞增;
當時，，函數單調遞減，
所以在內，函數的最大值為，
當時，，
由于，，所以時，，
所以函數在上單調遞減.
解：，
設，
，
若函數在區間內有且只有一個極值點，
則函數在區間上有且只有一個零點，且在這個零點兩側異號，
令，
可得，則方程有兩個不等實根，，且不為0，
則，是函數的兩個零點，
則函數在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增，
由于，是方程的兩根，且，
則，，又，則，
若函數在區間上有且只有一個零點，
則，
解得，
當時，，即；時，，即；
故當時，函數在區間內有且只有一個極值點；
所以的取值范圍是

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