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立體幾何—球的切接問題
專題綜述
球的切接問題是高考熱點之一，基本以選擇或填空題出現，求解需要學生較強的空間想象能力、化歸與轉化能力和準確的計算能力，且題目綜合性較強，需要梳理出解題的模式與套路.與球切接的多面體分為：①規則的多面體，如長方體，正方體，正三棱柱、正三棱錐，正四面體、有2個面為共斜邊的直角三角形的三棱錐，這些特殊的幾何體其內切球與外接球的半徑與其棱長之間有具體的公式.②不規則的多面體，核心是要定球心求出半徑，可以通過定義法定球心、補形法將幾何體還原到特殊的幾何體中去、方程法求外接球的半徑，等體積法內切球的半徑.本專題就不規則多面體內切球和外接球問題的幾種方法進行探究.
專題探究
探究1：補形法
正方體等幾何體的外接球球心已經明確，一些幾何體通過補形成為長方體、三棱柱等，讓原幾何體與補形后的幾何體的球心一致，從而求出半徑.常見的模型有：
1. 對棱相等的三棱錐：三棱錐的三組
對棱的長分別為，還原到長方體中，三棱
錐的棱為長方體的面對角線，則外接球半徑
2.四個面都是直角的三棱錐：三棱錐中
，平面，,
，還原到長方體中，棱的中點即為球心，
則外接球半徑.
也可以理解為棱為兩個直角三角形斜邊，則中點到四個定點的距離相等，即為球心.
3. 三條側棱兩兩垂直的三棱錐（墻角模型）：三棱
錐的三條側棱兩兩垂直，
，還原到長方體中，則外接
球半徑.
4.一條側棱垂直于底面：三棱錐，平面,還原到直三棱柱中，直三棱柱的球心在上下底面的外接圓的圓心連線中點，求直三棱柱的外接圓的半徑.
（2021江蘇南通市高三模擬）正三棱錐中，，，則該棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【審題視點】
三棱錐比較特殊，給出棱長，可以先分析三棱柱側面三角形的特點，判斷能否通過補形還原到長方體中去.
【思維引導】
勾股定理判斷側面三角形的為直角三角形，滿足墻角模型.
【規范解析】解：在正三棱錐中，
，,
,
,
同理可得, ,
以為棱構造正方體，如圖所示
則該棱錐外接球即為該正方體的外接球，
設三棱錐的外接球半徑為，
，
故球的表面積為,故選：C
【探究總結】
典例1中給出了幾何體的棱長，求其外接球的半徑，此類問題的共同特點是，要用解三角形的知識先判斷幾何體中的邊角關系，先判斷是否可以使用補形法，若不能則用定義找球心.
(2021山東省泰安市一模)在四面體中，，，則四面體的外接球的表面積為( )
A． B． C． D．
探究2：由外接球定義找球心
利用定義確定球心，即求出一點使其到幾何體各個頂點的距離相等.
答題思路：
一般棱錐外接球球心的找法：
第一種：
1.尋找底面多邊形的外接圓的圓心過作底面的垂線：外接圓的半徑用正弦定理求出；
2.任選一側棱，取其中點，過中點作側棱的垂面，垂面與的交點即為外接圓的圓心，或在垂線上任設一點，利用到各點的距離相等 ，從而確定外接球球心：將轉化為求解平面多邊形.
第二種：
尋找幾何體中兩個面的多邊形的外接圓的圓心即為，分別過作兩個平面的垂線即為，的交點即為外接球的球心.
(2021福建省福州市模擬) 三棱錐中，平面，，，，是邊上的一個動點，且直線與面所成角的最大值為，則該三棱錐外接球的表面積為__________.
【審題視點】
幾何體給出了較多的邊角關系，且底面三角形不是直角三角形，可初步判斷可用定義法找球心.
【思維引導】
求出為等腰三角形，利用上述方法的第一中，過的外接圓的圓心作底面垂線，取側棱中點向作垂線，垂足即為球心.
【規范解析】
解：三棱錐中，平面，設直線與平面所成角為，
如圖所示：
可知：為直線與平面所成角，
則，
當時，取取最小值，即取最大值
，
的最小值是，即到的距離為，
，
在中，，
可得，
故為等腰三角形
則外接圓圓心在的延長線上
取的外接圓圓心為，
作，設的外接圓的半徑為，
，解得；
，
取為的中點，設三棱錐外接球的半徑為，
，，
由勾股定理得，
三棱錐的外接球的表面積是
故答案為：
【探究總結】
定義法找球心，較為繁瑣計算量大，但思路清晰，按照給出的方法步驟即可確定球心，再利用平面幾何的知識求解半徑，再求出球的表面積或體積.
(2021湖南省四校聯考) 如圖，二面角的平面角的大小為，，，，，則四面體的外接球表面積為__________.
探究3：內切球的球心問題
內切球的問題：
1.正多面體的內切球和外接球的球心重合；
2.正棱錐的內切球和外接球球心都在高線上，但不一定重合 ；
3. 正棱柱的內切球球心，在上下底面三角形外接圓圓心連線的中點，和外接球的球心重合；
4.體積分割是求內切球半徑的通用做法：設內切球的半徑為，則球心到各個面的距離均，則.
(2021山西省大同一中)已知直三棱柱的底面為等邊三角形，若該棱柱存在外接球與內切球，則其外接球與內切球表面積之比為（ ）
A．25︰1 B．1︰25 C．1︰5 D．5︰1
【審題視點】
正三棱柱的內切球與外接球球心重合.
【思維引導】
正三棱柱的內切球與外接球球心重合，為上下底面三角形外接圓圓心連線的中點，確定球心后，分別求出半徑.
【規范解析】
解：由題意得，正三棱柱的內切球與外接球球心重合，為上下底面三角形外接圓圓心連線的中點.
如圖所示：點是底面等邊三角形的中心，點是三棱柱外接球和內切球的球心，點是底邊的中點，連結，，，，設底面三角形的邊長為，則，，
由三棱錐內切球與各面都相切可得，
故三棱柱的高是內切球的直徑，
底面三角形內切圓的直徑也是三棱柱內切球的直徑，
，即三棱柱內切球的半徑，
又，
，
即三棱柱外接球的半徑，
所以內切球的表面積為，
外接球的表面積，
三棱柱外接球和內切球表面積的比值為
故選：
【探究總結】
對于特殊的幾何體，通過空間想象，可以快速確定球心及內切圓半徑.
(2021湖北省荊州市高三模擬) 下圖中正方體邊長為2，則下列說法正確的是（ ）
A. 平面平面
B. 正方體外接球與正四面體外接球半徑相等均為
C. 正四面體內切球半徑為
D. 四面體內切球半徑為
專題升華
規則多面體的內切球與外接球的有關結論:
1.長方體的長寬高為，則其外接球球心為其體對角線的中點，外接球半徑；
2.正方體的棱長為，則其外接球半徑，內切球半徑；
3.設正三棱柱的高為,底面邊長為,和分別為上下底面的中心,則球心的中點,則其外接球半徑 ；
4.設正四面體的棱長為,則內切球半徑,外接球半徑；
5.正三棱錐的側棱長為，底面邊長為，內切球與外接球的球心都在其高線上，外接球半徑
，內切圓半徑為；
【答案詳解】
變式訓練1
【解答】由，，
，
故，
取的中點,連接
，
即為外接球的球心，球的半徑
四面體的外接球的表面積為：
.故選：B
變式訓練2
【解答】解：在中，，，
，
設的外接圓的半徑為，則，所以，
在中，，，，
所以，
設的外接圓的半徑為，則，所以，
作，所以為二面角的平面角，
即，
，，
，
設四面體的外接球的球心為，球半徑為，
則，
，
所以四面體的外接球表面積為
故答案為
變式訓練3
【解析】解：
對于因為正方體的邊長為2，故，
所以和是等邊三角形，
取的中點，連接和，
則，，
即為二面角的平面角，
，，
故，
不等于，即二面角的平面角不等于，
所以平面平面不成立，故選項不正確；
對于正四面體的四個頂點都是正方體的頂點，
故正四面體與正方體有同一個外接球，
且外接球的半徑為，故選項正確;
對于正四面體內切球半徑為，
正四面體的高為，
由體積相等可得：，可得，
故選項正確;
對于設四面體內切球半徑為，由體積相等可得，
即，解得：，
故選項正確;
故選：

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