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易錯點-數(shù)列、不等式
專題綜述
數(shù)列在高考中可以是客觀題，也可以是解答題，客觀題一般突出小、巧、活，解答題一般考查數(shù)列的通項與求和，難度不大；
不等式主要考查不等式的應(yīng)用，一般為客觀題，其中基本不等式也有可能與解三角形及解析幾何交匯出現(xiàn)在解答題中.
專題探究
探究1:與關(guān)系不清致錯
已知數(shù)列{}的前項和，求通項與的關(guān)系中，成立的條件是，求出的中不一定包括，而應(yīng)由求出，然后再檢驗是否在中.
(2021福建省福州市期中)若數(shù)列的前項和，則 ．
【規(guī)范解析】
解：根據(jù)題意，數(shù)列的前項和，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，
，
時，不符合，
故， 故答案為：．
(2021湖南省單元測試)數(shù)列的前項和是，，，，若，則 ．
探究2:數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系不清致錯
數(shù)列的通項公式、前項和公式都是關(guān)于正整數(shù)的函數(shù),要善于從函數(shù)的觀點認(rèn)識和理解數(shù)列問題.如求數(shù)列中的最值、利用函數(shù)單調(diào)性求解數(shù)列問題,要注意的取值不是連續(xù)實數(shù)，但考生很容易忽視為正整數(shù)的特點,或即使考慮了為正整數(shù),但對于取何值時,能夠取到最值求解出錯.
(2021遼寧省沈陽市期中)等差數(shù)列中，，，，表示的前項和，當(dāng)取 時最大．
A. B. C. D.
【規(guī)范解析】
解：公差為的等差數(shù)列中，，
整理得：，
化簡得，所以，
所以，
，，
所以，
由于，，表示的前項和，
時，，
時，，
時，，
時，，且，則，
故當(dāng)或時，最大．故選：．
(2021江蘇省揚州市單元測試)已知數(shù)列滿足：，．
求證數(shù)列是等比數(shù)列；
若數(shù)列滿足，求的最大值．
探究3:等差數(shù)列、等比數(shù)列混合運算時致錯
在數(shù)列的基礎(chǔ)性試題中,等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式、前項和公式是解題的根本,用錯了公式,解題就失去了方向.且若等比數(shù)列{an}的各項為實數(shù),則同號,同號.
(2021江蘇月考)在公差不為的等差數(shù)列中，，，，，成公比為的等比數(shù)列，則
A. B. C. D.
【規(guī)范解析】
解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因為，，，，成公比為的等比數(shù)列，
所以，所以，得
所以，所以
即，解得．
故選：．
(2021遼寧省沈陽市期中考試)已知是公比為的等比數(shù)列，且是，的等差中項，則
A. B. C. D.
探究4:不理解數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)致錯
數(shù)列是特殊的函數(shù)，但函數(shù)的性質(zhì)在數(shù)列中仍然成立，如單調(diào)性、周期性等，把握數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，可以解決數(shù)列的項、前項和等問題.
(2021福建月考)在數(shù)列中，，，，則的前項和為 ．
【規(guī)范解析】
解：數(shù)列中，，，，
則：，
，
，
，
，
所以：數(shù)列的周期為，且，
數(shù)列的前項和為：
+
．
故答案為：．
(2021山東省淄博市單元測試)已知數(shù)列的首項，，則 ．
探究5:求前項和時項數(shù)不清致錯
數(shù)列求和常用的方法有公式法、倒序相加法、分組（并項）求和法、裂項相消法、錯位相減法；含有的數(shù)列求和,一般用分組（并項）求和法，且要分為奇數(shù)與偶數(shù)進(jìn)行討論,對每一類的討論要在前提條件下進(jìn)行.用裂項相消法求和時,要對通項進(jìn)行變換,如：＝(－),裂項后可以產(chǎn)生連續(xù)相互抵消的項,但抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項,也有可能前面剩兩項,后面也剩兩項．錯位相減法的過程同學(xué)們都會，但由于步驟繁瑣，計算量大導(dǎo)致漏項或添項以及符號出錯等.
(2021河南省鄭州市單元測試)若等差數(shù)列的前項和為，，．
求數(shù)列的通項公式及前項和；
設(shè)，求的前項和．
【規(guī)范解析】
解：由題意，，即，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
．
則，．
由知，，
當(dāng)為偶數(shù)時，
，
當(dāng)為奇數(shù)時，
，
綜上所述，可得．
(2021湖北七校聯(lián)考卷)等差數(shù)列的公差不為，滿足，，，成等比數(shù)列數(shù)列滿足．
求數(shù)列與的通項公式
若，求數(shù)列的前項和．
探究6:對不等式基本性質(zhì)理解不透致錯
在判斷不等式大小或解不等式時，對不等式基本性質(zhì)中的條件沒有準(zhǔn)確理解, 造成錯解, 如很多條件是“正數(shù)不等式”,同向不等式不能相減、相除；高次不等式、分式不等式、無理不等式等其它不等式在求解時注意它們的等價變形，不能漏解或增解.
(2021江蘇省無錫市單元測試)對于實數(shù)a，b，c，下列命題是真命題的為
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則 D. 若，則
【規(guī)范解析】
解：根據(jù)，取，，則不成立，故A錯誤；
B.，由不等式的基本性質(zhì)知成立，故B正確；
C.由，取，，則不成立，故C錯誤；
D.，，即，
，即，
，，，故D正確．
故選：
(2021江蘇省揚州市單元測試)能夠說明“若，則”是假命題的一組非零實數(shù)a，b的值依次為__________，_________
探究7:基本不等式應(yīng)用不當(dāng)致錯
利用基本不等式求最值時需保證3個條件：一正二定三相等，特別是等號成立的條件容易忽略，且多次使用基本不等式時要保證等號成立的條件一致.
(2021江蘇聯(lián)考)已知實數(shù)m，且，則的最小值為______.
【規(guī)范解析】
解：令，，則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，，即，
即時等號成立． 故答案為：
(2021湖北模擬)已知正實數(shù)a， b滿足
求最大值;
若不等式對任意恒成立，求 m的取值范圍.
專題升華
把握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義，等比數(shù)列的公比、基本不等式這些基本概念、明白常見的陷阱點；
理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列求和方法，細(xì)心計算，注意題干特殊條件，是避免出錯的有效點；
重視“分類討論”；
【答案詳解】
變式訓(xùn)練1【答案】1347
【解析】， ，
兩式相減得：，，
，，，又，，，
，由，或，
可解得：，故答案為：．
變式訓(xùn)練2
【解析】證明：因為，
所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列,所以數(shù)列是等比數(shù)列；
由得，所以，
則，
因為
，
所以，即數(shù)列為遞減數(shù)列，所以的最大值為．
變式訓(xùn)練3【答案】AD
【解析】因為是，的等差中項，
所以，即，變形得：，所以，
因為數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，所以上式可化為：，
因為等比數(shù)列各項均不為，所以，解得：或．故選：．
變式訓(xùn)練4【答案】-1
【解析】，，
，，，，
數(shù)列是周期為的數(shù)列，，故答案為：．
變式訓(xùn)練5
【解析】由已知，又故，
解得舍去，或，，故．
故當(dāng)時，可知，
當(dāng)時，可知
得
又也滿足，故當(dāng)時，都有．
由知，
故
由得, 解得．
變式訓(xùn)練6
【解析】由，可得，
若，則不成立，故取，的一組值即可，
故答案為1；答案不唯一：第1個數(shù)大于0，第2個數(shù)小于0即可
變式訓(xùn)練7
【解析】由題
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
所以，所以最大值為
由題，，
當(dāng)且僅當(dāng)即，取等號， 所以的最小值為
又｜， 不等式對任意恒成立，
只需｜即可, 解得， 即m的取值范圍是

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