資源簡介

概率統計-隨機變量及其分布
專題綜述
隨機變量的分布列是高考命題的熱點，多以解答題的形式出現，試題難度不大，多為容易題或中檔題，離散型隨機變量的分布列、均值、方差和概率的計算常常相結合在一起進行考查，重點考查超幾何分布、二項分布及正態分布. 注重基礎，回歸教材，在著重理解知識本身內涵的同時，還要注意知識的靈活性與應用性.
專題探究
探究1：獨立重復與二項分布
解決二項分布問題的關鍵：
二項分布的判斷：判斷一個隨機變量是否服從二項分布，應判斷兩個方面，一是判斷是否為次獨立重復試驗，二是判斷隨機變量是否為這次獨立重復試驗中某事件發生的次數.
還要注意二項分布的期望與方差公式,.
特別的，若，又稱隨機變量服從兩點分布，則,.
(2022 沈陽) 北京時間2021年8月8日，歷時17天的東京奧運會落下帷幕，中國代表團以38金、32銀、18銅、打破4項世界紀錄、創造21項奧運會紀錄的傲人成績，順利收官.作為“夢之隊”的中國乒乓球隊在東京奧運會斬獲4金3銀的好成績，參賽的7名選手全部登上領獎臺.我國是乒乓球生產大國，某廠家生產了兩批同種規格的乒乓球，第一批占，次品率為第二批占，次品率為為確保質量，現在將兩批乒乓球混合，工作人員從中抽樣檢查.
從混合的乒乓球中有放回地連續抽取2次，每次抽取1個，記兩次抽取中，抽取的乒乓球是第二批的次數為，求隨機變量的分布列和數學期望.
【審題視點】
考查離散型隨機變量
【思維引導】
由題知，隨機變量的所有可能的取值為得出其對應的概率，可得隨機變量的分布列和數學期望.
【規范解析】
解：由題知，隨機變量X的所有可能的取值為0，1，2，
，
，
，
隨機變量的分布列為
X 0 1 2
0.36 0.48 0.16
隨機變量的數學期望
【探究總結】
服從二項分布解題的一般思路是：根據題意設出隨機變量-分析出隨機變量服從二項分布-找到參數-寫出二項分布的分布列-將值代入求解概率-列出分布列，求期望.
(2021山東省泰安市一模)為了慶祝改革開放40周年，某社區舉辦有獎答題知識競賽活動，甲、乙兩人分別獨立參加該活動，搶答一道題目，甲搶答正確的概率為，乙搶答正確的概率為,
(1)甲搶答了4道題目，求至少有3道搶答正確的概率；
(2)若甲、乙兩人各搶答了2道題,記兩人搶答正確題目的數量為,求的分布列及數學期望．
探究2：超幾何分布
解決超幾何分布的實際應用問題時,應關注:
(1)定義:在含有件次品的件產品中,任取件,其中恰有件次品數,則事件發生的概率為,,其中,且稱分布列為超幾何分布列.如果隨機變量的分布列為超幾何分布列,則稱隨機變量服從超幾何分布.
(2) 其特點:①對于服從該分布的隨機變量,其分布列可直接應用公式給出,如, 可作參考備之。②該分布描述的是不放回抽樣問題,隨機變量為抽到的某類個體的個數,隨機變量取值的概率實質上是古典概型.
(2020湖北省期末)為了引導居民合理用電,國家決定實行合理的階梯電價,居民用電原則上以住宅為單位(一套住宅一戶) ,如表6:
階梯級別 第一階梯 第二階梯 第三階梯
每月用電范圍/度
表6
某市隨機抽取10個用戶同一個月的用電情況,如表7 所示:
居民用電編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
用電量/度 53 86 90 124 132 200 215 225 300 410
表7
(1)若規定第一階梯電價每度0.5元,第二階梯超出第一階梯的部分每度0.6元,第三階梯超出第二階梯的部分每度0.8元,試計算居民用電戶月用電410度時應交電費多少元。
(2)現要在這10戶家庭中任意選取3戶,求取到第二階梯電量的用戶數的分布列與期望.
【審題視點】
先結合題干信息及常見的離散型隨機變量的分布列得到為超幾何分布.
【規范解析】
解(1)由題意知,居民用電戶月用電度時應交電費
(元)。
(2)設取到第二階梯電量的用戶數為,
可知第二階梯電量的用戶有 戶,則可取0,1,2,3,
, ,
,
故的分布列如表8:
0 1 2 3
所以
【探究總結】
本題考查超幾何分布，結合超幾何分布求解即可.
(2021湖南省四校聯考)《中國制造2025》是經國務院總理李克強簽批，由國務院于2015年5月印發的部署全面推進實施制造強國戰略文件，是中國實施制造強國戰略第一個十年的行動綱領.制造業是國民經濟的主體，是產國之本、興國之器、強國之基.發展制造業的基本方針為質量為先，堅持把質量作為建設制造強國的生命線.某企業生產流水線檢測員每天隨機從流水線上抽取100件新生產的產品進行檢測.若每件產品的生產成本為1200元，每件一級品可賣1700元，每件二級品可賣1000元，三級品禁止出廠且銷毀.某日檢測抽取的100件產品的柱狀圖如圖所示.
（1）根據樣本估計總體的思想，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率.若從出廠的所有產品中隨機取出3件，求至少有一件產品是一級品的概率；
（2）現從樣本產品中利用分層抽樣的方法隨機抽取件產品，再從這件中任意抽取件，設取到二級品的件數為，求隨機變量的分布列；
（3）已知該生產線原先的年產量為萬件，為提高企業利潤，計劃明年對該生產線進行升級，預計升級需一次性投入萬元，升級后該生產線年產量降為萬件，但產品質量顯著提升，不會再有三級品，且一級品與二級品的產量比會提高到，若以該生產線今年利潤與明年預計利潤為決策依據，請判斷該次升級是否合理.
探究3：正態分布
解決這類問題的關鍵是利用正態曲線的對稱性，把待求區間內的概率向已知區間內的概率轉化，解題時要充分結合圖形進行分析、求解，要注意數形結合思想及劃歸思想的運用。 化歸思想的運用.
(1)熟記，的值。
(2)充分利用正態曲線的對稱性和曲線與軸之間面積為1。
(3)正態曲線關于直線對稱,從而在關于對稱的區間上概率相同。
(4)
(2021江蘇月考試卷)設隨機變量，函數沒有零點的概率是，則（　　）
附：若，則
A. 0.1587 B. 0.1359 C. 0.2718 D. 0.3413
【審題視點】
題干中唯一的關系是，沒有零點的概率是0.5，從此關系入手.
【思維引導】
由已知結合正態曲線的對稱性即可求解
【規范解析】
解：由函數沒有零點可得，
解得，故.
由題意得，
故選：B．
【探究總結】
正態曲線關于直線對稱，及曲線與軸之間的面積為1，并注意下面的結論：
（1）
（2）
（3）
(2021廣東省單元測試)隨機變量服從正態分布，
， ，則的最小值為___________.
專題升華
解決概率題的基本流程為審題-辨析-列式-計算，第一步是審題，由于概率題通常為實際應用題，所以需要提高閱讀理解能力，抓住題中的重要信息，弄清題中事件間的關系，第二步是辨析事件所屬概率模型，第三步是將題中數據帶入概率公式，最后是計算求解，由此可見辨析概率模型是解題的關鍵，概率模型選擇的正確與否，決定了解題的成敗.
【答案詳解】
變式訓練1
【解析】(1)甲搶答了4道題目，記“至少答對3道”為事件A，
(2)由題意的取值為
故X的分布列為：
X 0 1 2 3 4
P
變式訓練2
【解析】 抽取的100件產品是一級品的頻率是，
故從出廠的所有產品中任取1件，是一級品的概率是，
設從出廠所有產品中隨機選3件，至少有一件是一級品的事件為
則
由題意可知10件產品中一級品7件,二級品2件,三級品1件,故的取值范圍是
， ， ，
的分布列為：
0 1 2
P
今年利潤為：萬元，
明年預計利潤為：萬元因為，
所以該升級方案合理．
變式訓練3【答案】
【解析】解：，，，
∴，
∴，
∴，
當且僅當且時，等號成立，
∴的最小值為.

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