資源簡介

概率統(tǒng)計-統(tǒng)計案例
專題綜述
統(tǒng)計案例問題是近幾年高考的熱點內(nèi)容之一，高考對本講內(nèi)容的考查往往以實際問題為背景，考查樣本數(shù)字特征的計算、各種統(tǒng)計圖表、線性回歸方程的求解及應用、獨立性檢驗問題；有時也會在知識交匯處命題，如概率與統(tǒng)計的結(jié)合等.從考查形式上看，大題、小題均有出現(xiàn).
專題探究
探究1：回歸分析
當兩個變量具有一定的相關(guān)關(guān)系時，可借助回歸分析建立兩個變量間的關(guān)系.求解回歸直線方程的關(guān)鍵是正確理解的計算公式并準確地計算.
(2021山東單元測試)為研究鱸魚體重與身長的關(guān)系，某魚類研究所得到如下表所示的樣本數(shù)據(jù).
30.0 31.2 31.1 33.5 34.0 34.7 34.5 35.0 35.1 36.2
242 290 340 363 430 450 500 390 450 500
36.2 36.2 36.4 37.2 37.2 38.3 38.5 38.6 38.7 —
475 500 500 600 600 700 700 610 650 —
（1）請畫出散點圖，并求鱸魚身長與體重之間的線性樣本相關(guān)系數(shù).
（2）建立一元線性回歸模型，求出經(jīng)驗回歸方程，并預測當鱸魚身長時體重的平均值是多少？
【審題視點】
樣本相關(guān)系數(shù)、 線性回歸方程
【思維引導】
畫散點圖，并根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式進行計算；根據(jù)公式計算 ，求得經(jīng)驗回歸方程.
【規(guī)范解析】
解：（1）散點圖如圖所示
可得
；
（2）由最小二乘法可得，
∴對的線性回歸方程為
當鱸魚身長為時，
其體重的估計值為．
【探究總結(jié)】
（1）在分析兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)做出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有相關(guān)關(guān)系，則可通過線性回歸方程估計和預測變量的值.
（2）相關(guān)系數(shù)大于表示兩個變量正相關(guān)，小于表示兩個變量負相關(guān).時，認為兩個變量具有較強的線性相關(guān)關(guān)系.
（3）如果兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系，則利用最小二乘估計可得經(jīng)驗回歸方程.
(2020山東省月考試卷)某學校高一數(shù)學興趣小組對學生每周平均體育鍛煉小時數(shù)與體育成績優(yōu)秀(體育成績滿分100分，不低于85分稱優(yōu)秀)人數(shù)之間的關(guān)系進行分析研究，他們從本校初二，初三，高一，高二，高三年級各隨機抽取了40名學生，記錄并整理了這些學生周平均體育鍛煉小時數(shù)與體育成績優(yōu)秀人數(shù)，得到如下數(shù)據(jù)表：
該興趣小組確定的研究方案是:先從這5組數(shù)據(jù)中選取3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用剩下的2組數(shù)據(jù)進行檢驗．
(Ⅰ)若選取的是初三，高一，高二的3組數(shù)據(jù)，請根據(jù)這3組數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；
(Ⅱ)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選取的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過1，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問(Ⅰ)中所得到的線性回歸方程是否可靠
參考公式：==,.
探究2：獨立性檢驗
獨立性檢驗的基本思想類似于反證法，要確認兩個分類變量有關(guān)系，首先假設兩個分類變量沒有關(guān)系(原假設)，在該假設下統(tǒng)計量的值應該很小，如果計算得到的的值很大（與臨界值比較），則在一定程度上說明假設不成立（在犯錯誤概率不超過的前提下，認為原假設不成立）.
(2021河北單元測試)今年疫情期間，許多老師進行抖音直播上課.某校團委為了解學生喜歡抖音上課是否與性別有關(guān)，從高三年級中隨機抽取30名學生進行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：
男生 女生 合計
喜歡抖音上課 10
不喜歡抖音上課 8
合計 30
已知在這人中隨機抽取人，抽到喜歡抖音上課的學生的概率是.
（1）請將上面的列聯(lián)表補充完整，并據(jù)此資料分析能否有的把握認為喜歡抖音上課與性別有關(guān)？
（2）若從這人中的女生中隨機抽取人，記喜歡抖音上課的人數(shù)為，求的分布列、數(shù)學期望.附臨界值表：
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
參考公式：，其中.
【審題視點】
第一問從問法中可以得出考查獨立性檢驗，按照獨立性檢驗公式計算即可.
第二問為求離散型變量的分布列,判斷分布模型然后求解.
【思維引導】
（1）利用已知條件補充列聯(lián)表，應用獨立性檢驗的方法，即可判斷是否有的把握認為喜歡抖音上課與性別有關(guān)．（2）的可能取值為,求出概率，得到分布列，然后求解期望．
【規(guī)范解析】
解：（1）由30人中隨機抽取1人，抽到喜歡抖音上課的學生的概率是，
故喜歡抖音上課的學生共有人．
零假設為：喜歡抖音上課與性別無關(guān)
列聯(lián)表補充如下：
男生 女生 合計
喜歡抖音上課 10 6 16
不喜歡抖音上課 6 8 14
合計 16 14 30
根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)經(jīng)計算得到：
=，
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，
沒有充分證據(jù)推斷不成立，即認為成立，
所以沒有的把握認為喜歡抖音上課與性別有關(guān)．
（2）的可能取值為．
,, ,
所以的分布列為：
0 1 2
的數(shù)學期望為：．
【探究總結(jié)】
獨立性檢驗的一般步驟：
（1）提出零假設
（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列列聯(lián)表；
（3）根據(jù)公式計算的值；
（4）查表比較與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計推斷.
值越大，對應原假設成立的概率越小，原假設不成立的概率越大.
(2020江蘇省月考試卷)某學校共有1000名學生，其中男生400人，為了解該校學生在學校的月消費情況，采取分層抽樣隨機抽取了100名學生進行調(diào)查，月消費金額分布在450～950之間．根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學生在校月消費金額的頻率分布直方圖如圖所示：
將月消費金額不低于750元的學生稱為“高消費群”．
（Ⅰ）求的值，并估計該校學生月消費金額的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
（Ⅱ）現(xiàn)采用分層抽樣的方式從月消費金額落在[550，650）,[750，850）內(nèi)的兩組學生中抽取10人,再從這10人中隨機抽取3人,記被抽取的3名學生中屬于“高消費群”的學生人數(shù)為隨機變量,求的分布列及數(shù)學期望；
（Ⅲ）若樣本中屬于“高消費群”的女生有10人，完成下面的列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值
的獨立性檢驗，分析該校學生屬于“高消費群”與“性別”是否有關(guān).
屬于“高消費群” 不屬于“高消費群” 合計
男
女
合計
（參考公式：，其中）
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
專題升華
高考新課標著力對數(shù)學核心素養(yǎng)的考查，概率統(tǒng)計成為考查數(shù)學應用能力和創(chuàng)新意識的重要載體.這類解答題的特點是題干長，條件分散，文字和圖表較多，對同學們的閱讀審題、識圖用
圖、直觀想象等水平提出了更高的要求，應以教材為基礎、梳理基本概念、形成知識脈絡，明白在實際問題中概率統(tǒng)計有什么作用，加強應用意識，培養(yǎng)靈活應變能力.
【答案詳解】
變式訓練1
【解析】 (1)因為,.
∴關(guān)于的線性回歸方程為：
(Ⅱ)當時,,，
當時,,，
由此分析,(Ⅰ)中得到的線性回歸方程是可靠的.
變式訓練2
【解析】（Ⅰ）由題意知，
解得，
樣本平均數(shù)為元．
（Ⅱ）由題意，從[550，650）中抽取7人，從[750，850）中抽取3人，
隨機變量X的所有可能取值有0，1，2，3．
（）所以隨機變量的分布列為：
X 0 1 2 3
P
隨機變量的數(shù)學期望.
（Ⅲ）由題可知，樣本中男生40人，女生60人，其中屬于“高消費群”的25人，其中女生10人， 得出以下列聯(lián)表：
屬于“高消費群” 不屬于“高消費群” 合計
男生 15 25 40
女生 10 50 60
合計 25 75 100
零假設為 ：該校學生屬于“高消費群”與“性別”無關(guān).
根據(jù)表格數(shù)據(jù)
==，
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為該校學生屬于“高消費群”與性別有關(guān)．

展開更多......

收起↑