資源簡介

解析幾何-圓錐曲線的定義及標準方程
專題綜述
圓錐曲線是解析幾何的核心內(nèi)容，是高中數(shù)學的重點。高考對這部分知識考查側(cè)重三個方面：一是求圓錐曲線的標準方程；二是求橢圓的離心率、雙曲線的離心率、漸近線問題；三是拋物線的性質(zhì)及應用問題。在解析幾何問題中，圓錐曲線的定義是根本，利用定義解題是高考的一個重要命題點．圓錐曲線的定義反映了它們的圖形特點，是畫圖的依據(jù)和基礎(chǔ)，也是問題研究的基礎(chǔ)，正確利用定義可以使問題的解決更加靈活．如，已知圓錐曲線上的點以及焦點（焦點三角形），應考慮使用圓錐曲線的定義等。
專題探究
探究1：圓錐曲線的定義、方程
橢圓
（1）秒殺思路：動點到兩定點(距離為)距離之和為定值()的點的軌跡；
（2）秒殺公式：過拋圓的一個焦點作弦,與另一個焦點構(gòu)造，則的周長等于。
（3） ①當時，表示橢圓；②當時，表示兩定點確定的線段；
③當時，表示無軌跡。
雙曲線
（1）秒殺思路：①雙曲線上任意一點到兩焦點距離之差的絕對值是常數(shù);
②注意定義中兩個加強條件:（I）絕對值; （II）；
③加絕對值表示兩支(或兩條),不加絕對值表示一支(或一條);
（2）秒殺公式：過雙曲線的一個焦點作弦（交到同一支上），與另一個焦點構(gòu)造
，則的周長等于。
（3） ①當時，表示雙曲線；
②當時，表示以兩定點為端點向兩側(cè)的射線；
③當時，無軌跡；
④當時表示兩定點的中垂線。
拋物線
（1）秒殺思路：到定點(焦點)距離等于到定直線(準線)距離。所以，一般情況下,拋物線已知到焦點的距離需轉(zhuǎn)化為到準線的距離,已知到準線的距離需轉(zhuǎn)化為到焦點的距離。
（2）秒殺公式一：焦點在軸上的圓錐曲線,曲線上的點到同一個焦點的距離成等差數(shù)列，則橫坐標成等差數(shù)列，反過來也成立。
（3）秒殺公式二：作過拋物線焦點且傾斜角為或的弦,兩段焦半徑分別為:,.
(2021全國統(tǒng)考甲卷理科)已知，為橢圓：的兩個焦點，，為上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積為____________
【審題視點】
如何運用橢圓的定義求解四邊形的面積？
【思維引導】
判斷四邊形為矩形，利用橢圓的定義及勾股定理求解即可。
【規(guī)范解析】
因為，為上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，
且，所以四邊形為矩形，
設(shè)，，
由橢圓的定義可得，
所以，
因為，
即，所以，
所以四邊形的面積為．
故答案為：．
【探究總結(jié)】
此類問題求解的關(guān)鍵在于準確把握圓錐曲線的定義和標準方程，另外注意焦點在不同的坐標軸上，橢圓、雙曲線、拋物線的各有不同的形式。
(2021天津市)設(shè)雙曲線的方程為，過拋物線
的焦點和點的直線為若的一條漸近線與平行，另一條漸近線與垂直，則雙曲線的方程為
A. B. C. D.
探究2：焦點三角形
橢圓的焦點三角形：橢圓上任意一點與兩焦點、構(gòu)成的三角形:。
秒殺題型一：①周長為定值：。
②，當點靠近短軸端點時增大，
當點靠近長軸端點時減小；與短軸端點重合時最大。
（2）秒殺題型二：,
即與短軸端點重合時面積最大。
（3）秒殺題型三：①當?shù)捉菫椋瑐€數(shù)：4個(點為通徑端點)；
②當時，個數(shù)：。
（點為以為直徑的圓與橢圓的交點）
雙曲線的焦點三角形：
（1）焦點直角三角形的個數(shù)：一定為八個，頂角為直角與底角為直角的各為四個；
（2）(為焦點三角形的頂角)=。（等面積思想在解題時非常重要）
(2022重慶市)已知橢圓：的右焦點的坐標為，為橢圓的左焦點,為橢圓上一點,若,,則橢圓方程為______．
【審題視點】
如何處理焦點三角形問題？
【思維引導】
不妨設(shè)，根據(jù)的面積為，結(jié)合余弦定理，解方程組可得和的值，再根據(jù)橢圓方程求出，進而求出橢圓方程．
【規(guī)范解析】
由題意可知，不妨設(shè)， 由，則，
①
在中，
利用余弦定理可得②
由①②聯(lián)立解得，，
所以，
所以橢圓方程為．
故答案為：．
【探究總結(jié)】
求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時，理清頂點、焦點、長軸、短軸等基本量的內(nèi)在聯(lián)系．通常定義和余弦定理結(jié)合使用，求解關(guān)于焦點三角形的周長和面積問題。
(2021全國聯(lián)考)已知橢圓的方程為，、為橢圓的左右焦點，為橢圓上在第一象限的一點，為的內(nèi)心，直線與軸交于點，橢圓的離心率為，若，則的值為
探究3：雙曲線的漸近線
題型一：由雙曲線的方程求漸近線
秒殺思路：①已知雙曲線方程求漸近線方程:;
②若焦點在軸上，漸近線為；若焦點在軸上，漸近線為。
題型二：有共同漸近線的雙曲線方程的設(shè)法
秒殺思路：。
題型三：已知漸近線方程設(shè)雙曲線方程
秒殺思路：。
題型四：雙曲線的焦點到漸近線的距離：
秒殺公式：焦點到漸近線的距離與頂點到漸近線的距離之比等于雙曲線的離心率。
(2021山東省淄博市期末)設(shè)，是雙曲線：的左、右焦點，是雙曲線右支上一點若，且，則雙曲線的漸近線方程是
A. B. C. D.
【審題視點】
如何利用焦點三角形的面積？
【思維引導】
結(jié)合雙曲線的定義與三角形面積公式可推出，再由余弦定理可得，而，聯(lián)立即可求解。
【規(guī)范解析】
由雙曲線的定義知，，
，，，
，
，即，
在中，由余弦定理知，
，
，，
化簡得，，
雙曲線的漸近線方程為，即．
故選：．
【探究總結(jié)】
求雙曲線漸近線方程的關(guān)鍵在于求或的值，也可以將雙曲線中等號右邊的“1”變?yōu)椤?”，然后因式分解即可求解。
(2021全國聯(lián)考)設(shè)是雙曲線：的一個焦點，，是的兩個頂點，上存在一點，使得與以為直徑的圓相切于，且是線段的中點，則的漸近線方程為
A. B. C. D.
專題升華
求圓錐曲線標準方程“先定型，后計算”
所謂“定型”，就是確定曲線焦點所在的坐標軸的位置；所謂“計算”，就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的，，的值．
求圓錐曲線的標準方程時的常見錯誤
雙曲線的定義中忽略“絕對值”致錯；橢圓與雙曲線中參數(shù)的關(guān)系式弄混，橢圓中的關(guān)系式為，雙曲線中的關(guān)系式為；圓錐曲線方程確定時還要注意焦點位置．
拋物線的有關(guān)性質(zhì)
已知拋物線的焦點為，直線過點且與拋物線交于兩點，，則(1)(為直線的傾斜角)．
(2)以為直徑的圓與拋物線的準線相切．
(3).
【答案詳解】
變式訓練1【答案】
【解析】拋物線的焦點坐標為，則直線的方程為，
雙曲線的漸近線方程為，
的一條漸近線與平行，另一條漸近線與垂直，
，，，，
雙曲線的方程為，
故選：．
變式訓練2【答案】4
【解析】如圖，連接、，是的內(nèi)心，
可得、分別是和的角平分線，
由于經(jīng)過點與的內(nèi)切圓圓心的直線交軸于點，
則為的角平分線，則到直線、的距離相等，
所以，同理可得，，
由比例關(guān)系性質(zhì)可知．
因為橢圓的離心率為，所以，所以，則，，
又因為，所以，
故答案為．
變式訓練3【答案】
【解析】不妨記是雙曲線的下焦點，設(shè)是雙曲線的上焦點，記是雙曲線的下頂點，
是雙曲線的上頂點，
畫出如圖所示的圖象，
由于為的中點，為線段的中點，
則由中位線定理可得，，
由與以線段為直徑的圓相切于點，
則，，
由雙曲線的定義可得，，
即有，則，
由，由勾股定理可得，
即，則，即．
的漸近線方程為．
故選：．

展開更多......

收起↑