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解析幾何-圓錐曲線的離心率
專題綜述
圓錐曲線的離心率問題是近幾年高考的熱點內容之一， 離心率是圓錐曲線的重要幾何性質，是高考重點考查的一個知識點，這類問題一般有兩類：一類是根據一定的條件求橢圓的離心率；另一類是根據一定的條件求離心率的取值范圍，無論是哪類問題，其難點都是建立關于的關系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的用表示，轉化為關于離心率的關系式，這是化解有關離心率問題難點的根本方法。
專題探究
探究1：求離心率(或取值范圍)
解決離心率范圍(最值)問題的基本思路是建立目標函數或構建不等關系：建立目標函數的關鍵是選用一個合適的變量，其原則是這個變量能夠表達離心率，利用求函數的值域(最值)的方法將離心率表示為其他變量的函數，求其值域(最值)，從而確定離心率的取值范圍；構建不等關系是根據試題本身給出的不等條件，或一些隱含條件或橢圓(雙曲線)自身的性質構造不等關系，從而求解．
(2021浙江省丹州市期末)在等腰梯形中,,且,，其中,以，為焦點且過點的雙曲線的離心率為,以、為焦點且過點的橢圓的離心率為,若對任意,不等式恒成立,則的最大值為
A. B. C. D.
【審題視點】
如何利用題設條件表示？
【思維引導】
根據雙曲線和橢圓的性質用表示和，然后利用對勾函數的單調性求解。
【規范解析】
如圖所示，連接，過作于點，
則，所以，
又，故，
則，
根據雙曲線的定義有，
即，，
而根據橢圓的定義有
，，
令，則由，可知，又，
則，
由對勾函數的性質可知，
又恒成立，即的最大值為，
故選：．
【探究總結】
關于離心率取值范圍問題，往往要建立不等式模型來解決，體現了較強的綜合性，同時還重點考查了方程的思想、不等式思想、轉化思想等重要的數學思想，因此是高考命題者歷年關注的熱點問題。
(2021山東省泰安市一模)過拋物線：的焦點的直線，交拋物線的準線于點，與拋物線的一個交點為，且，若與雙曲線的一條漸近線垂直，則該雙曲線離心率的取值范圍是_____________．
探究2：離心率問題中的共焦點問題
在近年高考及全國各地模擬考試中，頻繁出現以共焦點的橢圓與雙曲線為背景的兩離心率之積與兩離心率倒數之和的最值與范圍問題，學生面對此類問題往往束手無策，下面介紹下與此類問題有關的兩個結論。
已知橢圓C1：＋＝1(其中a＞b＞0)與雙曲線C2：－＝1(其中m＞0，n＞0)共焦點，e1，e2分別為C1，C2的離心率，M是C1，C2的一個交點，θ＝∠F1ＭF2，則
Ⅰ．； Ⅱ．＋＝1．
【方法技巧】
結論Ⅰ的推導是用橢圓與雙曲線的定義，然后兩式相加，相減．
結論Ⅱ的推導是先用橢圓與雙曲線的定義，然后用余弦定理，或用焦點三角形的面積相等．然后使用結論Ⅱ：＋＝1，可快速到e12，e22的關系，從而解決問題．關于結論Ⅱ的記憶類比平方關系，在正弦，余弦下分別加上橢圓與雙曲線的離心率的平方．
(2021福建省福州市模擬)已知橢圓：與雙曲線
:的焦點重合，，分別為，的離心率，則
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
【審題視點】
如何將問題轉化為二元條件最值問題，是解題關鍵。
【思維引導】
先由結論Ⅰ得出，的等量關系式，將問題轉化為二元條件最值問題,借助不等式求解.
【規范解析】
設P為橢圓與雙曲線在第一象限的公共點，
為它們的左右焦點，
則，,∴,
由結論Ⅰ可得 ,
方法1：（利用均值不等式）
∵，,∴,故選A.
方法2：（利用三角換元）
由，,,
可設,,,
則. 故選A.
方法3：（利用消元法）
∵ ,∴ ，
∴ ，
由，,,
得,
則，則. 故選A.
【探究總結】
如果已知與的倍數關系，則可由結論Ⅰ得到與的等量關系式，于是問題轉化為二元條件最值或范圍問題，利用求二元條件最值的基本方法（如均值不等式、三角換元、消元法等）使問題獲解。
(2021湖南省四校聯考) 設橢圓：與雙曲線：的公共焦點為，，將，的離心率記為，，點是，在第一象限的公共點,若點關于的一條漸近線的對稱點為,則 ．
探究3：與離心率問題有關的參數問題
有些離心率問題，如果題設條件中含有參數，同時參數的取值范圍已知或易求解，首先找出離心率和參數之間的關系，進而求出離心率的取值范圍。
(2021湖南省株洲市)已知橢圓：，直線與橢圓交于，兩點，以線段為直徑的圓經過原點，若橢圓的離心率不大于，則的取值范圍為
A. B. C. D.
【審題視點】
如何利用 “以線段為直徑的圓經過原點”這個條件，得到關于和離心率的關系式？
【思維引導】 由題意，將代入橢圓方程整理得，設，，由韋達定理及以線段為直徑的圓經過原點,求得，由，求得的取值范圍．
【規范解析】
將代入橢圓方程整理得：
，
設，，
則，
而，
由題意得，，
，，
，將，代入得：
，即，
又，解得．
故選D
【探究總結】
解析幾何中與參數有關的問題的思考途徑與常用方法:
1.應用判別式建立不等式關系;
2.根據曲線的范圍建立不等關系;
3.挖掘曲線的隱含不等式;
4.利用題設條件中的不等關系.
(2021湖北省荊州市高三模擬) 過原點作一條傾斜角為的直線與橢圓
交于、兩點，為橢圓的左焦點,若,且該橢圓的離心率，則的取值范圍為________________．
專題升華
與圓錐曲線離心率有關的二級結論：
結論1（最大頂角）：在橢圓焦點三角形中，∠，則當為短軸端點時，最大，且橢圓的離心率， ;
結論2（最大頂角）：設為橢圓上一點，,, ∠, 則當為短軸端點時，∠且橢圓的離心率 ;
結論3（斜率乘積）：在橢圓中，若直線與橢圓相交于兩點，
是弦的中點，則.
【答案詳解】
變式訓練1【答案】
【解析】如圖，
，且，，
過作準線的垂線，垂足為，
，，，
在中，，，
，，
直線的斜率，；
與雙曲線的一條漸近線垂直，
，則，即，
解得．
故答案為：
變式訓練2【答案】
【解析】 連接，
由題意可得焦距為，橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，
由雙曲線的定義可得，由橢圓的定義可得，
所以，
因為點關于的一條漸近線的對稱點為，
所以雙曲線的一條漸近線是線段的中垂線，
所以可得，所以，
所以，即，所以，所以．
故答案為：．
變式訓練3【答案】 【解析】 如下圖所示，
設右焦點，連結，，又，
得四邊形是矩形，
，，，
，
，，，
，
∴,該橢圓的離心率，
∴，，，的取值范圍是，
故答案為.

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