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解析幾何-圓錐曲線的弦長問題
專題綜述
在高考中, 圓錐曲線的綜合問題, 常以直線與圓錐曲線的性質及其位置關系的有關知識為主體,而直線與圓錐曲線的弦長問題,是圓錐曲線中常見的一類題型,而圓錐曲線的一般弦，中點弦，焦點弦，這三種弦長問題的探究更是高考的熱點，我們關注的重點。
專題探究
探究1：一般弦長問題
求解直線與圓錐曲線相交的一般弦長，根據具體情況，通常要分類討論.
①當直線的斜率不存在時：求出點的坐標，進而求出弦長.
②當直線斜率存在時：設直線斜率為，直線與圓錐曲線交于點,，弦長
.
答題模板：聯立法解題思路（以給定橢圓和直線斜率為例，雙曲線拋物線同理）
第一步: 設點,，
第二步: ①當直線斜率不存在，直接求出點的坐標，進而求出弦長.
②當直線斜率存在時，設直線方程:,(這里的為已知量，當給定條件為過已知定點時,設點斜式)
③第三步: 聯立方程組，整理得,
第四步: 判別式（對于涉及到求取值范圍的題型，該步驟為關鍵步驟），
第五步: 韋達定理：,
第六步: 將韋達定理代入弦長公式即可求解。
(2021新高考Ⅱ卷)已知橢圓的方程為，右焦點為，且離心率為．
求橢圓的方程；
設，是橢圓上的兩點，直線與曲線相切．證明：，，三點共線的充要條件是．
【審題視點】
充要條件的證明中充分性和必要性的條件和結論分別是什么？三點共線用什么來體現？
【思維引導】
必要性：由三點共線及直線與曲線相切可得直線方程，聯立直線與橢圓方程可證；
充分性：設直線，由直線與曲線相切得，聯立直線與橢圓方程結合弦長公式即可得解.
【規范解析】
（1）由題意，橢圓半焦距且，所以，
又，所以橢圓方程為； （2）證明：由得，曲線為， 當直線的斜率不存在時，直線， 不滿足，，三點共線； 當直線的斜率存在時，設，
必要性：
若，，三點共線，可設直線
即，
由直線與曲線相切可得，
解得，
聯立可得，，
所以，
所以，
所以必要性成立；
充分性：
設直線即，
由直線與曲線相切可得，
所以，聯立
可得，
，
所以，
所以
，
化簡得，所以，所以或
所以直線或， 所以直線過點，，，三點共線，充分性成立； 所以，，三點共線的充要條件是．
【探究總結】
有關直線與拋物線、橢圓、雙曲線相交的一般弦長問題，一般利用根與系數關系采用“設而不求，整體代入”的解法，但要注意直線斜率是否存在的討論，也要根據條件確認怎樣設直線方程便于求解結果。
(2021山東青島市期中考試)已知橢圓的焦點在軸上，左頂點為，離心率為．
求橢圓的方程；
斜率為的直線與橢圓相交于，兩點，求的最大值．
探究2：中點弦問題
（1）橢圓中點弦結論（以焦點在軸的橢圓方程為例）
如圖，在橢圓中，為弦的中點，則;（證明：用點差法）
注：若焦點在軸上的橢圓，則.
（2）雙曲線中點弦結論（以焦點在軸的雙曲線為例）
如圖所示，為弦的中點，則;
注：若焦點在軸上的雙曲線，則.
（3）拋物線中點弦結論
如圖，在拋物線中，若直線與拋物線相交于兩點，
點是弦的中點，弦所在的直線的斜率為，
則. 即：
注：在拋物線中，若直線與拋物線相交于兩點，
點是弦的中點，弦所在的直線的斜率為，則.
即：.
答題模板：點差法解題思路（以給定橢圓和直線斜率為例，雙曲線拋物線同理）
第一步: 設直線與橢圓交點為,，AB中點,則,
第二步: 兩式相減得，
第三步: 利用求出直線的斜率，線段的中點為,
化簡可得.
(2021江蘇省宿遷市)已知雙曲線的離心率，雙曲線上任意一點到其右焦點的最小距離為．
求雙曲線的方程．
過點是否存在直線，使直線與雙曲線交于兩點，且點是線段的中點？若直線存在，請求出直線的方程；若不存在，說明理由．
【審題視點】
如何解決已知弦的中點求弦所在的方程問題？
【思維引導】
這是一道探索性題目，一般方法是假設存在這樣的直線，然后驗證它是否滿足題設的條件。本題屬于中點弦問題，應考慮點差法或聯立法。
【規范解析】
（1）由離心率，得①
又雙曲線上任意一點到其右焦點的最小距離為，
則②
由①②，解得，則，
雙曲線的方程為．
（2）假設存在過點的直線，
使直線與雙曲線交于兩點，且點是線段的中點，
顯然直線的斜率存在，
設，則有，
兩式作差，得，
即又點是線段的中點，
則，
直線的斜率，
則直線的方程為，即，
代入雙曲線的方程，得，
，方程沒有實數解．
過點不存在直線，使直線與雙曲線交于兩點，
且點是線段的中點．
【探究總結】
與圓錐曲線的弦的中點有關的問題，我們稱之為圓錐曲線的中點弦問題，解圓錐曲線中點弦問題的一般方法是：聯立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數關系、中點坐標公式及參數法求解。
(2021江蘇蘇州聯考)如圖,在平面直角坐標系中,已知直線:,拋物線：．
（1）若直線過拋物線的焦點，求拋物線的方程；
（2）已知拋物線上存在關于直線對稱的相異兩點和．
①求證：線段的中點坐標為；②求的取值范圍．
探究3：與離心率問題有關的參數問題
常用結論：
1.過圓錐曲線焦點F做直線交曲線于A,B兩點,則AB的最小值為通徑.
在橢圓和雙曲線中,通徑=,在拋物線中,通徑=. 在橢圓中,AB有最大值為,
2.解決拋物線的焦點弦問題時，要注意拋物線定義在其中的應用，通過定義將焦點弦長度轉化為端點的坐標問題，從而可借助根與系數的關系進行求解.
拋物線的焦點弦公式
過拋物線焦點的弦，若點,，過A、B的直線傾斜角為,則①弦長，，，②.
(2019全國新課標Ⅰ卷理科)已知拋物線：的焦點為，斜率為的直線與的交點為，，與軸的交點為．
（1）若，求的方程；
（2）若，求．
【審題視點】
拋物線的焦點弦性質很多，求其弦長盡量不用弦長公式,用拋物線定義可能更簡便；向量關系怎么轉化？
【思維引導】
拋物線的焦點弦長問題，可使用公式.
【規范解析】
解：（1）設直線，，，
由題意，可得，故，
因為，所以，
聯立，整理得，
可知：，
由韋達定理可知，從而，
解得，
所以直線的方程為．
（2）設直線，，，
由，可得，
聯立，整理得，可知：，
由韋達定理可知，，
又，解得，
代入拋物線方程得，，即，，
故．
【探究總結】
圓錐曲線焦點弦問題通常可以利用圓錐曲線的統一定義、焦半徑公式、根與系數的關系等求解,解法的多樣性使得題目撲朔迷離，所以認真分析題干，選擇合適的解法會事半功倍.
(2021湖北省襄陽市)已知斜率為的直線與橢圓：交于，兩點，線段的中點為．
（1）證明：；
（2）設為的右焦點,為上一點,且,證明：
專題升華
解析幾何的本質是用代數方法解決幾何問題,而代數方法歸根結底又離不開代數運算,而運算求解能力是思維能力和運算技能的結合。
運算能力包括分析運算條件、探究運算方向、選擇運算公式、確定運算程序等一系列過程中的思維能力,也包括在實施運算過程中遇到障礙而調整運算的能力。
在解決圓錐曲線的弦長問題時，除了掌握必要的圓錐曲線方程、性質及相關解析幾何知識外，更需要熟悉常見問題（中點弦、焦點弦）的模型求解, 注重常見技巧(數形結合、設而不求、點差法、定義法等)的總結與靈活運用。
【答案詳解】
變式訓練1
【解析】設橢圓的方程為．
由題意左頂點為，得，離心率為：．解得，
所以，所以橢圓的方程為：．
設，兩點的坐標分別為，，
直線的方程為，由
消去，得，則，，
由，得，
所以
，
因為，所以當時，．
變式訓練2
【解析】：，與軸的交點坐標，
即拋物線的焦點坐標．，，拋物線：．
證明：①設點，，
則：，即：，，
又，關于直線對稱，
，即，，
又的中點在直線上，，
線段的中點坐標為；
②因為中點坐標．
，即
，
即關于的方程有兩個不相等的實數根，
，即，．
變式訓練3
【解析】設，，
線段的中點為，，，
將，代入橢圓：中，可得，
兩式相減可得，，
即，
，
點在橢圓內，即，
解得，
由題意得，設，，，
則，，
由及題設得，．
又點在上，所以，從而，．
于是．
同理．所以，
故

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