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解析幾何-圓錐曲線中的向量與參數問題
專題綜述
由于平面向量具有代數（坐標）表示和幾何（有向線段）表示的特點，這就使其成為表述圓錐曲線問題的重要載體。圓錐曲線與平面向量的交匯問題是近幾年各省市新課程高考考查的熱點之一，這類問題往往與向量、函數、方程、不等式、數列等知識相融合，具有知識點多、覆蓋面廣、綜合性強的特點，能有效考查學生的思維水平和綜合能力。在向量與圓錐曲線相結合的題目中，主要是利用向量的相等、平行、垂直去尋找坐標之間的數量關系，往往要和根與系數的關系結合運用。
專題探究
探究1：共線向量的應用
運用向量的共線的相關知識，可以較容易地處理涉及三點共線、定比分點、直線等問題。在處理圓錐曲線中求相關量的取值范圍、求直線的方程、求待定字母的值、證明過定點等問題時，如能恰當的運用平面向量共線的相關知識，常常能使問題較快捷的得到解決。
答題思路：
通過適當的設點，將向量關系代數化，再根據圓錐曲線的定義以及一些性質、直線與圓錐曲線的位置關系來解決問題。
(2021全國統考乙卷文科)已知拋物線：的焦點到準線的距離為．
求的方程；
已知為坐標原點，點在上，點滿足，求直線斜率的最大值．
【審題視點】
如何利用條件求得直線的斜率是解題關鍵。
【思維引導】
根據焦點到準線的距離為求出，進而得到拋物線方程，
設出點的坐標，按照向量關系得出點坐標，再代入拋物線方程中，表示出斜率，結合基本不等式分別討論，，時的取值范圍，可得結論。
【規范解析】
由題意知，，．
由知，拋物線：，，
設點的坐標為，則，
點坐標為，
將點代入得，
整理得，
直線斜率，
當時，，
當時，，即，
當且僅當，即時，取等號，
當時，，即，
當且僅當，即時，取等號，
綜上所述，，
所以直線斜率的最大值為．
【探究總結】
不難發現在圓錐曲線的解題中運用平面向量的共線的相關知識，往往是依題將題目中涉及到共線的內容轉化為坐標之間的代數關系，從而使問題簡化。
(2021廣東省廣州市調研)已知拋物線：，點在拋物線上，點在軸的正半軸上，等邊的邊長為．
求的方程；
若平行軸的直線交直線于點，交拋物線于點，點滿足，，判斷直線與拋物線的位置關系，并說明理由．
探究2：向量的數量積的應用
向量的數量積將一些幾何知識與代數知識充分的聯系在一起，它可以處理垂直、長度、三角形面積和三角函數等問題。所以在解決圓錐曲線中的一些問題時，它通常可以運用在探索點、線的存在性、求參數的取值范圍和求圓錐曲線的方程等方面。
答題思路：
在圓錐曲線問題中運用向量的數量積，往往題目中出現了向量的數量積或構造向量的數量積，通過向量的數量積的表達式、意義和運算性質，從而達到將問題簡化的目的。
(2021遼寧省沈陽市一模)已知橢圓的方程為，斜率為的直線與相交于，兩點．
若為的中點，且，求橢圓的方程；
在的條件下，若是橢圓的左頂點，，是橢圓的左焦點，要使在以為直徑的圓內，求的取值范圍．
【審題視點】
如何根據條件“在以為直徑的圓內” 得到關于的不等式？
【思維引導】
中點弦問題可采用點差法求解．
聯立直線與橢圓的方程，由韋達定理可得，，再代入求，分別討論使得時的取值范圍．
【規范解析】
設直線的方程為，
,,,所以，，
兩式相減得,所以,
所以，所以，
解得，所以橢圓的方程為．
聯立得，
所以，
，，又，，
所以
，
所以，即或，
若時，則直線的方程為，
過，不符合題意，
若時，，，，
因為在以為直徑的圓內，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
即，且，
所以或．
故的取值范圍為
【探究總結】
試題以圓錐曲線為載體，以探討直線和圓錐曲線的位置為切入點，運用相應的平面向量數量積的意義，將問題中向量間的關系（相等、垂直、平行、和差、數量積等）轉化為代數關系，重點考查圓錐曲線的基本數學思想方法和綜合解題能力。
(2021廣東省潮州市三模)已知，分別是橢圓：的左、右焦點，為橢圓的上頂點，是面積為的直角三角形．
求橢圓的方程；
設圓：上任意一點處的切線交橢圓于點，，問：是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說明理由．
專題升華
平面向量的幾何意義、性質、數量積等的坐標運算與圓錐曲線本身的特點（坐標化）結合比較緊密。在圓錐曲線中涉及到長度、角度、垂直等諸多問題中，如能適當的構造向量，利用向量的幾何意義和運算法則，將其轉化為向量的運算，往往使問題簡捷獲解。
解圓錐曲線與平面向量交匯題的關鍵點：
設相關點的坐標，將平面向量用坐標表示
運用相應的平面向量坐標運算法則（加、減、乘、數乘向量）或運算律或數量積的意義，將問題中向量間的關系（相等、垂直、平行、和差、數量積等）轉化為代數關系。
在解題過程中還要涉及到圓錐曲線問題中一些常見方法，如解方程組、解不等式（組）、消元、利用根的判別式求字母的取值范圍、利用韋達定理建構方程等等。
【答案詳解】
變式訓練1
【解析】等邊的邊長為，得，
代入，解得，所以，的方程為．
相切理由如下；由得的方程為，．
由等邊得，直線的方程為，
不妨設直線的方程為，則，
設點，
從而，，，
由得，
由得，，整理得
所以.
由題知．設直線的斜率為，
則,
則直線的方程為，即
與拋物線聯立得,整理得
從而,所以直線與拋物線相切．
變式訓練2
【解析】 由為橢圓的上頂點，是面積為的直角三角形．
可得：，且，
解得：，所以，
所以橢圓的方程為：；
當切線的斜率不存在時，其方程，
將代入橢圓的方程：得，
設，，
又，所以，
同理可得，也有，
當切線的斜率存在時，設方程為：，設，，
直線與圓：相切，
所以，即，
聯立，整理可得：，
，，
又因為
，
又
，
因為，
所以，
綜上所述：．

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