資源簡介

關(guān)鍵能力-閱讀理解能力
專題綜述
閱讀理解能力是指學生能從語言符號中獲取正確意義所需要的多種能力，是解答所有學科題的基礎(chǔ)能力．高考數(shù)學學科考查的閱讀理解能力不只是認識漢字、理解漢字，而是理解用漢字描述的數(shù)學定義、定理，考查的是以數(shù)學知識和背景為基礎(chǔ)和依托的文字語言、符號語言和圖形語言的理解能力.
由下圖可知，2021年高考數(shù)學卷平均字數(shù)900左右，新高考卷要高于平均值，較往年中等偏少，但是公式的數(shù)量較往年有所提升，試卷承載的信息量沒有減少，對學生的閱讀理解能力的要求仍然較高.
圖1：高考數(shù)學試卷歷年平均字數(shù) 圖2：高考數(shù)學試卷歷年圖表、公式數(shù)
近2年新高考卷對閱讀理解的考查
2020年新高考1卷 2021年新高考1卷
T4：以“日晷”為背景的數(shù)學文化題 T16：民間剪紙藝術(shù)中抽象出數(shù)列模型
T6：基本再生數(shù)與新冠肺炎，指數(shù)模型 T18:“一帶一路”知識競賽中蘊含的概率統(tǒng)計問題
T15：學生勞動實習中的零件加工實踐
T19：空氣污染問題（PM2.5與SO2相關(guān)性問題）
專題探究
探究1：符號定義問題
抽象的符號語言是數(shù)學的重要特征，更是思維操作的便捷材料。對符號的理解掌握是數(shù)學解題的關(guān)鍵。全國卷在不同的年份都有探索，新高考內(nèi)容改革以后逐步多了起來，這與中國高考評價體系將其發(fā)展水平作為測評要求直接相關(guān)。
(2020全國Ⅱ卷理科T12)周期序列在通信技術(shù)中有著重要應用.若序列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個序列的周期.對于
重要指標，下列周期為5的序列中，滿足的序列是（ ）
A. B. C. D.
【閱讀突破】
文字語言 符號語言
理解周期數(shù)列的含義
理解描述周期數(shù)列性質(zhì)的指標的含義
對四個選項含義的閱讀理解
一般的選擇題都是根據(jù)題目的條件進行推理或運算，得出結(jié)果后與選項進行比較，挑選出正確的選項．而本題需要根據(jù)題目的條件，對選項進行逐個驗算才能選出正確選項,對閱讀理解能力和計算能力都有較高要求.
【解析呈現(xiàn)】
由知，序列的周期為m，由已知，，
對于選項A，
，
，不滿足；
對于選項B，
，不滿足；
對于選項D，
，不滿足；
故選：C.
(2021·云南昭通高三聯(lián)考)新型定義:對實數(shù)與新運算“”: ,設函數(shù).若方程有兩解，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
探究2：概率統(tǒng)計建模
高考數(shù)學試卷對數(shù)學閱讀能力的考查是全方位的，包括閱讀數(shù)學材料，理解其中的數(shù)學語言，還包括閱讀應用問題的材料，理解生活語言，從中抽象數(shù)量關(guān)系，利用數(shù)學語言進行描述，進而應用數(shù)學方法進行解決．高考對數(shù)學閱讀能力的要求包括讀懂、理清、弄通、會做．統(tǒng)計概率建模問題就是全方位考查數(shù)學閱讀理解能力的重要載體.
（2018全國卷Ⅰ理科T20）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立．
(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為，求的最大值點．
(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用．
（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求；
（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？
【閱讀突破】
文字語言 符號語言
理解商品檢驗中包含的概率思想 的含義
理解相互獨立事件,通過獨立事件構(gòu)建獨立重復試驗模型 的含義
理解問題(ii)包含的最小化檢驗成本的含義，將檢驗成本與概率中的數(shù)學期望聯(lián)系起來，所設計的問題具有現(xiàn)實意義
本題以企業(yè)在銷售過程中的成本控制問題為背景，著眼于“最小化檢驗成本”的決策問 題設計與設問，試題考查了獨立重復試驗概率模型、二項分布的知識和應用、概率的計算、參數(shù)的估計、隨機變量期望的計算與應用，同時考查了考生綜合運用所學知識解決實際問題的能力，試題具有很好的選拔功能，達到了考查閱讀、應用、建模能力的目的。
【解析呈現(xiàn)】
(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為．
因此．
令，得．當時，；
當時，．所以的最大值點為．
(2)由(1)知，．
（i）令表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，
依題意知，，即．
所以．
（ii）如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元．
由于，故應該對余下的產(chǎn)品作檢驗．
（2020廣東佛山模擬）某電子設備廠生產(chǎn)一種電子元件,質(zhì)量控制工程師要在產(chǎn)品出廠前將次品檢出．估計這個廠生產(chǎn)的電子元件的次品率為,且電子元件是否為次品相互獨立.一般的檢測流程是:先把個電子元件串聯(lián)起來成組進行檢驗,若檢測通過,則全部為正品；若檢測不通過，則至少有一個次品，再逐一檢測,直到把所有的次品
找出，若檢驗一個電子元件的花費為5分錢,檢測一組個電子元件的花費為分錢．
當時，估計一組待檢元件中有次品的概率；
設每個電子元件的檢測費用的期望為，求的表達式；
試估計的值，使每個電子元件檢測費用的期望最小．
提示：用進行估算
探究3：數(shù)學模型問題
數(shù)學模型問題基于生產(chǎn)、生活、科研等背景，需要綜合運用生活語言、符號語言、圖形語言等研究其中的數(shù)量關(guān)系.其中生活語言文字類型的應用問題就是包括比較長的用生活語言敘述的關(guān)系，重點是理解生活語言，從中抽象數(shù)量關(guān)系，而復雜數(shù)學關(guān)系類型的試題特點是用比較抽象、嚴謹、規(guī)范的數(shù)學語言敘述問題，解題的重點是對數(shù)學語言的理解，厘清各元素之間的關(guān)系．嚴謹性和抽象性是數(shù)學語言的特征之一，理解數(shù)學語言是數(shù)學閱讀的核心問題．
(2021年新高考1卷T16)某校學生在研究民間剪紙藝術(shù)時,發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折,規(guī)格為的長方形紙,對折次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對折次，那么
【閱讀突破】
文字語言 符號語言
理解剪紙是如何對折的，對折前后規(guī)則型號的變化 的長方形紙
理解剪紙對折后不同規(guī)則型號圖形的面積變化
分析對折次數(shù)與對折后形成不同規(guī)則圖形面積之和的關(guān)系，從中抽象出數(shù)列模型，利用錯位相減法求和.
數(shù)學源于生活，本題以民間剪紙藝術(shù)為載體，通過構(gòu)建數(shù)列模型，歸納出數(shù)列的通項公式，并利用錯位相減法求出數(shù)列的前n項和，考查了閱讀理解能力、邏輯思維能力、數(shù)學建模等能力，考查了理性思維、數(shù)學應用、數(shù)學探索學科素養(yǎng).
【解析呈現(xiàn)】
（1）由對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，
所以對著三次的結(jié)果有：，共4種不同規(guī)格（單位；
故對折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種不同規(guī)格；
（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，
故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如何，
其面積成公比為的等比數(shù)列，首項為120,
第n次對折后的圖形面積為，對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，
根據(jù)（1）的過程和結(jié)論，
猜想為種（證明從略），故得猜想，
則，
兩式作差得：
，
因此，.
故答案為：；.
(2021·全國·模擬預測）放射性元素的原子核有半數(shù)發(fā)生衰變時所需要的時間叫半衰期，這種理論也應用在醫(yī)學上，醫(yī)學上半衰期的具體定義為藥物在生物體內(nèi)濃度下降一半所需要的時間．現(xiàn)有，兩種新研制的藥物，為研究其藥性特點，在兩只身體狀況一致的小白鼠體內(nèi)分別注射藥物，，已知藥物的半衰期為8小時，設經(jīng)過個半衰期，，兩種藥物的濃度分別為，若，經(jīng)過相同的時間后，則藥物的半衰期為（ ）
A．6小時 B．7.5小時 C．10小時 D．12小時
專題升華
學會用數(shù)學眼光觀察世界，用數(shù)學思維思考世界，用數(shù)學語言表達世界，數(shù)學閱讀能力的培養(yǎng)是滲透在平常學習的點點滴滴之中的.
掌握閱讀策略.數(shù)學是一門嚴謹?shù)膶W科，有自己的語言，在閱讀中對不同的素材內(nèi)容，采用不同的策略方法．同時數(shù)學是一種“數(shù)形結(jié)合”的語言，所以閱讀試題通常也需要學生在三種語言之間的頻繁的轉(zhuǎn)換，相互補充，弄清楚試題所表達的意思．
加強邏輯思維能力培養(yǎng).高考試題雖然語言簡潔，但是所包含的內(nèi)容卻十分豐富，要理解這些語言需要有較高的思維能力與閱讀能力．在閱讀中要把重點放在對知識的消化、對試題數(shù)量關(guān)系的分析、理解和抽象之上．
【答案詳解】
變式訓練1 【答案】B
【解析】由，可得，
解得或，所以，
因為方程的有兩解，即與的圖象有兩個交點，
如圖所示：結(jié)合圖象，可得或，
即實數(shù)的取值范圍是.
故選：B.
變式訓練2
【解析】（1）設事件：一組件中有次品，
則事件：一組4件中無次品，即4件產(chǎn)品均正品．
又4件產(chǎn)品是否是次品相互獨立，則，
所以，
（2）設每組個電子元件的檢測費用為，則的所有可能取值為，，
，，
則的分布列為：
所以，
則有
(3)，
，
當且僅當時取等號，此時.
所以，估計當時，每個電子元件平均檢測費用最低，約為分錢．
變式訓練3【答案】B
【解析】設，則，．當藥物的濃度為時，藥物經(jīng)歷了15個半衰期，故藥物，已被注射進小白鼠體內(nèi)小時，設藥物的半衰期為小時，則由題意可得，解得,所以藥物的半衰期為7.5小時．
故選:B

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