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解析幾何-直線與圓有關的綜合問題
專題綜述
從近三年的高考情況來看, 直線與圓的方程考查的重點是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關的問題，有時候會結合其他知識點綜合考查直線與圓有關的位置關系（特別是弦長問題），面積問題，最值問題等，一般以選填題的形式出現(xiàn)。解題時應認真體會數(shù)形結合思想，培養(yǎng)充分利用圓的簡單幾何性質簡化運算的能力。
專題探究
探究1：直線與圓的方程問題
直線與圓的方程問題是高考中的熱點問題之一，解決這類問題主要以方程思想和數(shù)形結合的方法來處理，求圓的方程或找圓心坐標和半徑的常用方法是待定系數(shù)法及配方法，還應注意恰當運用平面幾何知識對其進行求解。
解決直線的方程問題的三個注意點：
（1）求解兩條直線平行的問題時，在利用建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的可能性．
（2）要注意直線方程每種形式的局限性，點斜式、兩點式、斜截式要求直線不能與x軸垂直，而截距式方程即不能表示過原點的直線，也不能表示垂直于坐標軸的直線．
（3）討論兩直線的位置關系時，要注意直線的斜率是否存在．
解決圓的方程問題一般有兩種方法：
（1）幾何法：利用圓的性質、直線與圓、圓與圓的位置關系，數(shù)形結合直接求出圓心坐標、半徑，進而求出圓的方程;
（2）待定系數(shù)法：先設出圓的方程，再由條件構建系數(shù)滿足的方程（組）求得各系數(shù)，進而求出圓的方程。
(2021湖北省襄陽市聯(lián)考)圓關于直線對稱的圓的方程為
A. B.
C. D.
【審題視點】
如何理解圓關于直線對稱？
【思維引導】
求出圓心關于直線的對稱點的坐標，即可求得對稱圓的方程．
【規(guī)范解析】
圓的圓心為，設關于直線對稱的點為，
則，解得
故圓關于直線對稱的圓的方程為，
即．故選B．
【探究總結】
求圓的方程時，應根據(jù)條件選用合適的圓的方程．一般來說，求圓的方程有兩種方法：
（1）幾何法，通過研究圓的性質進而求出圓的基本量，常用到的三個性質：
①圓心在過切點且垂直切線的直線上；
②圓心在任一弦的中垂線上；
③相切兩圓的連心線經(jīng)過切點；
（2）代數(shù)法，即設出圓的方程，用待定系數(shù)法求解，若由已知條件易求得圓心坐標、半徑或需要用圓心坐標列方程，常選用標準方程；如果已知條件與圓心坐標、半徑無直接關系，常選用一般方程。
(2020河北省衡水市期中)若圓與圓關于直線對稱，過點的圓與軸相切，則圓心的軌跡方程為
A. B.
C. D.
探究2：直線與圓、圓與圓的位置關系
直線(不全為0)與圓的位置關系的判斷方法：
（1）幾何法:圓心到直線的距離為，
直線與圓相交；直線與圓相切；直線與圓相離.
（2）代數(shù)法:由聯(lián)立消元，得到的一元二次方程的判別式為，則直線與圓相交；直線與圓相切；直線與圓相離.
圓與圓的位置關系的判斷(圓，圓的半徑分別為)
（1）兩圓外離，
（2）兩圓外切，
（3）兩圓相交，
（4）兩圓內(nèi)切，
（5）兩圓內(nèi)含.
直線與圓相切問題的解題策略：
直線與圓相切時利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關于切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點斜式．過圓外一點求解切線段長的問題，可先求出圓心到圓外點的距離，再結合半徑利用勾股定理計算。
(2021四川省成都市)對圓上任意一點，
都與，無關，則的取值范圍為
A. B. C. D.
【審題視點】
如何根據(jù)條件“為定值”聯(lián)想到點到直線的距離是解題關鍵。
【思維引導】
可以看作點到直線：與直線
：距離之和的倍，結合圖形分析，可知圓在兩直線之間，由點到直線的距離公式求解直線與圓相切時的值。
【規(guī)范解析】
因為，
所以可以看作點到
直線：與直線：距離之和的倍，
的取值與，無關，
這個距離之和與點在圓上的位置無關，
如圖所示，可知當直線平移時，
點與直線，的距離之和均為，的距離，
此時圓在兩直線之間．
當直線與圓相切時，，
解得或舍去，故，
故選：．
【探究總結】
解決直線與圓的位置關系的問題，要充分運用數(shù)形結合的思想，既要充分運用平面幾何中有關圓的性質，又要結合待定系數(shù)法運用直線方程中的基本度量關系，養(yǎng)成勤畫圖的良好習慣。
(2021湖北省武漢市)若圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則直線的傾斜角的取值范圍是
A. B. C. D.
探究3：與圓有關的弦長問題
有關弦長問題的兩種求法：
設直線被圓截得的弦長為，圓的半徑為，圓心到直線的距離為，則弦長公式：.
若斜率為的直線與圓交于,兩點，
則,
（其中），特別地，當時，；
當斜率不存在時，.
(2021湖南省長郡十五校聯(lián)考)已知,，是拋物線上的三點，如果直線，被圓截得的兩段弦長都等于，則直線的方程為
A. B.
C. D.
【審題視點】
如何通過直線與圓的弦長找到等量關系？
【思維引導】
先求出拋物線方程，設出點坐標，點坐標，可表示出直線的方程，由點到直線的距離及垂徑定理得出直線的斜率，進而得出直線的方程。
【規(guī)范解析】
在拋物線上，
故，即，拋物線方程為，
設，易得直線的斜率存在，
，
直線的方程為，
即，
易得直線的斜率存在，
設直線的方程為：，
即，
依題意圓心到直線的距離，
解得，
不妨設得，
同理，，
故直線的方程為，
故選：．
【探究總結】
研究直線與圓有關的弦長問題時最常用的解題方法為幾何法，將代數(shù)問題幾何化，利用數(shù)形結合思想解題，即利用圓的半徑為，圓心到直線的距離為，以及半弦長，構成直角三角形的三邊，利用勾股定理求解。
(2021江蘇省南京市高三模擬)若雙曲線：的一條漸近線被圓所截得的弦長為，則的離心率為
A. B. C. D.
探究4：與圓有關的最值問題
與圓有關的最值問題及直線與圓相結合的題目是近年來高考高頻小考點。與圓有關的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點到直線的距離的最值，求相關參數(shù)的最值等方面．解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質將問題轉化;直線與圓的綜合問題主要包括弦長問題,切線問題及組成圖形面積問題,解決方法主要依據(jù)圓的幾何性質。
(2021江西省南昌市三模)已知直線與軸相交于點，過直線上的動點作圓的兩條切線，切點分別為，兩點，記是的中點，則的最小值為
A. B. C. D.
【審題視點】
如何求解點的軌跡？
【思維引導】
為定點，求的最小值需先找到點的軌跡，設，則以為直徑的圓的方程為，化簡與聯(lián)立，可得所在直線方程：，直線過定點，由題意得，，為直線上的一個定點，則點在以為直徑的圓上，可得點的軌跡為：，圓心，半徑，由題可知，可得答案。
【規(guī)范解析】
如圖：設，
則以為直徑的圓為，
化簡得，與聯(lián)立，
可得所在直線方程：，
易得，直線過定點，
由題意得，，為直線上的一個定點，
則點在以為直徑的圓上，
可得：點的軌跡為：，
圓心，半徑．
由題可知，．
線段長的最小值為．
故選A．
【探究總結】
研究與圓有關的最值問題時，可借助圖形的性質，利用數(shù)形結合求解。求兩圓相交時的公共弦的方程，只需將兩圓方程作差，消去二次項所得的直線方程即可，而在求兩圓公共弦長時，應注意數(shù)形結合思想的靈活運用。
(2021.四川省成都市期末)已知圓：的圓心為，為直線上的動點，過點作圓的切線，切點為，則的最小值為 ．
專題升華
圓的切線方程常用結論
過圓上一點的圓的切線方程為.
過圓上一點的圓的切線方程為:
.
過圓外一點作圓的兩條切線,則兩切點所在直線方程為:
.
易錯點防范
求圓的弦長時，注意應用圓的幾何性質解題，即垂徑定理與勾股定理．
過一點求圓的切線、圓的割線方程時，應注意斜率的討論，一般地，過圓外一點可求兩條切線，若求出一條要注意考慮該點是在圓上或漏掉了斜率不存在的情況．
【答案詳解】
變式訓練1【答案】
【解析】圓的圓心，
因為圓與圓關于直線對稱，
所以滿足直線方程，解得，
過點的圓與軸相切，圓心的坐標為,
所以， 解得：，
故圓心的軌跡方程為：．
故選：．
變式訓練2【答案】
【解析】由題得圓的標準方程為，圓心是半徑為，
依題意，可知當圓心到直線的距離不超過時，
滿足圓上至少有個不同的點到直線的距離為，
所以圓心到直線的距離，顯然，
化簡得，解得，
又，所以直線的傾斜角的取值范圍是，
故選B．
變式訓練3【答案】
【解析】雙曲線：的一條漸近線不妨設為：，
圓的圓心，半徑為，
由雙曲線：的一條漸近線被圓所截得的弦長為，
可得圓心到的距離為，即，
又，可得，即．
故選A．
變式訓練4【答案】16
【解析】如圖所示,，
又，，
設，在直線上，，，，
，
當時，的最小值為，即的最小值為．
故答案為：．

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