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函數與導數-指對冪的大小比較
專題綜述
比較冪或對數的大小是指數函數、對數函數和冪函數性質的重要應用，也是高考的高頻考點.比較大小的方法有：（1）常用：①底數相同借助單調性；②底數不同，指數或真數相同時，借助冪函數或換底公式；③底數不同，指數或真數也不同時，借助中間量（常數）.（2）構造函數：利用函數與方程的思想，構造函數，結合導數研究其單調性，比較大小.（3）圖象法：轉化為比較兩函數圖象交點的坐標.（4）輔助：特殊值法、估算法、放縮法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法等. 比較大小時，應先觀察要比較的數的特征再選用合適的方法.本專題從構造函數借助單調性，圖象比較大小的角度出發，理清解題思路與方法.
專題探究
探究1：借助抽象函數單調性比較大小
指對冪比較大小與函數的單調性應用相結合考查：
答題思路：
第一步: 設為需要比較大小的冪值或對數值，用上述常用方法或輔助方法比較大小；
第二步: 判斷抽象函數的單調性
①定義法判斷函數單調性；
②利用導數四則運算法則，結合題干含有與的不等式，構造函數，判斷的單調性；
第三步: 利用的單調性比較函數值大小.
（2021.江蘇南京月考）已知函數滿足，時，成立，若，， ，則的大小關系是（ ）
A. B. C. D.
【審題視點】
題干沒有具體的解析式結合性質研究抽象函數；結合導數的四則運算法則，構造函數，研究新函數的單調性；的結構一致可看作三個函數值，即利用新構造函數的單調性比較大小.
【思維引導】
根據的結構一致，可以推出研究的函數為，結合研究其單調性；在區間上單調遞減；結合函數奇偶性在區間上單調遞增；結合單調性比較大小.
【規范解析】
解：函數為偶函數
設，則為奇函數
在區間上單調遞減
在區間上單調遞減
即在上單調遞減，則，，
，
，
故選：
【探究總結】
結合抽象函數的單調性比較大小的題目思路是：結合題干中含有導函數的關系式，構造函數；利用導數符號及函數奇偶性得出單調性；比較冪值、對數值的大??；利用單調性比較函數值大小.處理這類問題的關鍵是處理好函數性質的綜合應用.
（2021.山東青島期中考試）已知是定義在上的奇函數，對任意兩個不相等的正數，，都有，記，，，則的大小關系__________.
探究2：構造具體函數比較大小
比較大小的數的結構上具有一致性或相似性,針對給出的結構適當變形，構造函數：
答題思路：
第一步:觀察結構，構造函數；
①若都為指數結構，可以同時取對數（通常是取以為底）；將變形為化指數為系數；
② 結構相同，直接構造函數；若不同，可通過作差、作商變形為相同結構，構造函數；
第二步: 求，判斷的單調性；
第三步: 利用單調性比較函數值大小.
（2021.江蘇南通月考）已知，，，則， ，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【審題視點】
這是一道比較大小的題目，均為指數結構且較大，無法利用常用的方法，如借助指數函數的單調性、圖象、常數等比較大小，那么就要考慮變形，構造函數解決.
【思維引導】
①結構相同，均為指數結構對每個式子同時取對數，轉化為對數結構；②構造函數比較轉化后的式子，若結構相同直接構造函數，若不同，兩式結合適當變形.
【規范解析】
解：由題意得：，
，
又，
令，則
當時，
在區間上單調遞減
，即
即
同理令，則
設，則
當時，在區間上單調遞減
即當時，當時，
在區間上單調遞減，
即，即
綜上所述，故選：.
【探究總結】
構造具體函數比較大小的問題，關鍵是變形，變形的過程可能會用到輔助的方法，取對數、作差、作商、放縮、平方等.要觀察幾個式子的結構，作適當變形.構造函數以后，求導研究函數單調性.
（2021.廣東省惠州市模擬）已知正數滿足，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．以上均不對
探究3：圖象法比較大小
條件出現含有指對結構的方程，常規的方法無法解方程，研究方程的根轉化為研究圖象的交點.比較大小在同一坐標系中作出多個函數的圖象，根據交點的位置，比較交點橫坐標的大小.
(2021.江西南昌模擬)已知，則的大小關系是（ ）
A. B. C. D.
【審題視點】
題干條件給出了一組方程，無法解出方程的根，就要轉化為圖象交點問題.
【思維引導】
①將方程,轉化為,方程的根即為函數與圖象交點的橫坐標.其它方程的轉化方式同理可得.②在同一坐標系中畫出所有函數的圖象,比較大小.
【規范解析】
解： ，
，，
則分別為函數，，
與函數圖象交點的橫坐標
又，則函數在函數的圖象下方
在同一直角坐標系中作出函數，，
，的
圖象如圖所示：
由圖可知，，
故選
【探究總結】
解題時出現方程問題，若不能用常規方法解決，就要利用函數與方程思想，轉化為圖象解決.將方程轉化為兩個函數相等，作出函數圖象，作圖時圖象要準確.
(2021.湖北襄陽月考）已知，，，則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
專題升華
指對冪的比較大小問題，經常以選擇填空題的形式出現，可選擇的方法較多，做題時要能夠結合條件選擇合適的方法求解.比較大小的幾個數，若結構不統一，冪值、對數、三角函數值等 “混搭”的情況下，借助指數函數、對數函數的單調性、換底公式、借助常數等方法就能解決，難度較小；若結構一致或相似，數值較大，或無法估計范圍時，利用函數的圖象與性質，配合放縮、基本不等式等方法解決，難度較大.專題探究構造函數，借助函數的單調性及圖象比較大小的思路方法，遇到此類題目，“以不變應萬變”.
【答案詳解】
變式訓練1：
【解析】解：由題意得：
，
設函數，則在上單調遞減
又為上的奇函數，則為定義在上的偶函數
，
即
故答案為：.
變式訓練2：
【解析】解：由，得，則，
得，則，，
令，則，函數在上單調遞增，
，，即
又，，
綜上所述：，
故選：.
變式訓練3：
【解析】解：，，
為與的兩個交點的橫坐標且，，
，
如下圖所示：
由得：，，解得：，
當時，，
（當且僅當時取等號），
.
故選：.

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