資源簡介

高考數(shù)學沖刺點睛
目 錄
TOC \o "1-2" \h \z \u 高考數(shù)學應試答題技巧 1
輕松考試六步曲 1
第一講：集合、簡易邏輯 4
今天，我怕誰之一 課本基礎篇 4
今天，我怕誰之二 常考題型篇 4
今天，我怕誰之三 歷年真題剖析篇 5
今天，我怕誰之四 拓展延伸篇 5
今天，我怕誰之五 規(guī)律與技巧總結篇 5
第二講：函數(shù) 6
今天，我怕誰之一 課本基礎篇 6
今天，我怕誰之二 常考題型篇 6
今天，我怕誰之三 歷年真題剖析篇 7
今天，我怕誰之四 拓展延伸篇 9
今天，我怕誰之五 規(guī)律與技巧總結篇 10
第三講：數(shù)列 10
今天，我怕誰之一 課本基礎篇 10
今天，我怕誰之二 常考題型篇 11
今天，我怕誰之三 歷年真題剖析篇 13
今天，我怕誰之四 拓展延伸篇 16
今天，我怕誰之五 規(guī)律與技巧總結篇 18
第四講：三角函數(shù) 18
今天，我怕誰之一 課本基礎篇 18
今天，我怕誰之二 常考題型篇 24
今天，我怕誰之三 歷年真題剖析篇 25
今天，我怕誰之四 拓展延伸篇 28
今天，我怕誰之五 規(guī)律與技巧總結篇 32
第五講：平面向量 33
今天，我怕誰之一 課本基礎篇 33
今天，我怕誰之二 常考題型篇 34
今天，我怕誰之三 歷年真題剖析篇 35
今天，我怕誰之四 拓展延伸篇 35
今天，我怕誰之五 規(guī)律與技巧總結篇 36
第六講：不等式 37
今天，我怕誰之一 歷年真題剖析篇 37
今天，我怕誰之二 拓展延伸篇 37
第七講：直線和圓的方程 38
今天，我怕誰之一 歷年真題剖析篇 38
今天，我怕誰之二 拓展延伸篇 40
今天，我怕誰之三 規(guī)律與技巧總結篇 41
第八講：圓錐曲線 42
今天，我怕誰之一 常考題型篇 42
今天，我怕誰之二 歷年真題剖析篇 43
今天，我怕誰之三 拓展延伸篇 49
今天，我怕誰之四 規(guī)律與技巧總結篇 55
第九講：立體幾何 56
今天，我怕誰之一 常考題型篇 56
今天，我怕誰之二 歷年真題剖析篇 61
今天，我怕誰之三 拓展延伸篇 71
今天，我怕誰之四 規(guī)律與技巧總結篇 80
第十講：排列、組合和二項式定理 81
今天，我怕誰之一 歷年真題剖析篇 81
今天，我怕誰之二 拓展延伸篇 82
今天，我怕誰之三 規(guī)律與技巧總結篇 83
第十一講：概率與統(tǒng)計 83
今天，我怕誰之一 基本知識篇 83
今天，我怕誰之二 歷年真題剖析篇 84
今天，我怕誰之三 拓展延伸篇 87
今天，我怕誰之四 規(guī)律與技巧總結篇 91
第十二講：導數(shù) 91
今天，我怕誰之一 核心知識篇 91
今天，我怕誰之二 歷年真題剖析篇 92
今天，我怕誰之三 拓展延伸篇 95
今天，我怕誰之四 規(guī)律與技巧總結篇 97
高考數(shù)學應試答題技巧
最易導致心理緊張、焦慮和恐懼的是入場后與答卷前的“臨戰(zhàn)”階段，此時保持心態(tài)平衡是非常重要的.剛拿到試卷，一般心情比較緊張，不忙匆匆作答，可先通覽全卷，盡量從卷面上獲取最多的信息，為實施正確的解題策略作全面調查，一般可在十分鐘之內做完下面三件事.
1.解答那些一眼看得出結論的簡單選擇或填空題（一旦解出，情緒會立即穩(wěn)定）.
2.其他不能立即作答的題目，可一邊通覽，一邊粗略分為A、B兩類:A類指題型比較熟悉、預計上手比較容易的題目;B類是題型比較陌生、自我感覺比較困難的題目.
3.做到三個心中有數(shù):對全卷一共有幾道大小題有數(shù)，防止漏做題，對每道題各占幾分心中有數(shù)，大致區(qū)分一下哪些屬于代數(shù)題，哪些屬于三角題，哪些屬于綜合型的題.
通覽全卷是克服“前面難題做不出，后面易題沒時間做”的有效措施，也從根本上防止了“漏做題”.對于同一道題目，有的人理解的深，有的人理解的淺，有的人解決的多，有的人解決的少.為了區(qū)分這種情況，高考的閱卷評分辦法是懂多少知識就給多少分.這種方法我們叫它“分段評分”，或者“踩點給分”——踩上知識點就得分，踩得多就多得分.
“分段得分”的基本精神是，會做的題目力求不失分，部分理解的題目力爭多得分.
1.對于會做的題目，要解決“會而不對，對而不全”這個老大難問題.有的考生拿到題目，明明會做，但最終答案卻是錯的——會而不對.有的考生答案雖然對，但中間有邏輯缺陷或概念錯誤，或缺少關鍵步驟——對而不全.因此，會做的題目要特別注意表達的準確、考慮的周密、書寫的規(guī)范、語言的科學，防止被“分段扣點分”.經驗表明，對于考生會做的題目，閱卷老師則更注意找其中的合理成分，分段給點分，所以“做不出來的題目得一二分易，做得出來的題目得滿分難”.
2.對絕大多數(shù)考生來說，更為重要的是如何從拿不下來的題目中分段得點分.我們說，有什么樣的解題策略，就有什么樣的得分策略.把你解題的真實過程原原本本寫出來，就是“分段得分”的全部秘密.
（1）缺步解答.如果遇到一個很困難的問題，確實啃不動，一個聰明的解題策略是，將它們分解為一系列的步驟，或者是一個個小問題，先解決問題的一部分，能解決多少就解決多少，能演算幾步就寫幾步，尚未成功不等于失敗.特別是那些解題層次明顯的題目，或者是已經程序化了的方法，每一步得分點的演算都可以得分，最后結論雖然未得出，但分數(shù)卻已過半，這叫“大題拿小分”.
（2）跳步答題.解題過程卡在某一過渡環(huán)節(jié)上是常見的.這時，我們可以先承認中間結論，往后推，看能否得到結論.如果不能，說明這個途徑不對，立即改變方向;如果能得出預期結論，就回過頭來，集中力量攻克這一“卡殼處”.由于考試時間的限制，“卡殼處”的攻克如果來不及了，就可以把前面的寫下來，再寫出“證實某步之后，繼續(xù)有……”一直做到底.也許，后來中間步驟又想出來，這時不要亂七八糟插上去，可補在后面.若題目有兩問，第一問想不出來，可把第一問作“已知”，“先做第二問”，這也是跳步解答.
（3）退步解答.“以退求進”是一個重要的解題策略.如果你不能解決所提出的問題，那么，你可以從一般退到特殊，從抽象退到具體，從復雜退到簡單，從整體退到部分，從較強的結論退到較弱的結論.總之，退到一個你能夠解決的問題.為了不產生“以偏概全”的誤解，應開門見山寫上“本題分幾種情況”.這樣，還會為尋找正確的、一般性的解法提供有意義的啟發(fā).
（4）輔助解答.一道題目的完整解答，既有主要的實質性的步驟，也有次要的輔助性的步驟.實質性的步驟未找到之前，找輔助性的步驟是明智之舉.如:準確作圖，把題目中的條件翻譯成數(shù)學表達式，設應用題的未知數(shù)等.答卷中要做到穩(wěn)扎穩(wěn)打，字字有據(jù)，步步準確，盡量一次成功，提高成功率.試題做完后要認真做好解后檢查，看是否有空題，答卷是否準確，所寫字母與題中圖形上的是否一致，格式是否規(guī)范，尤其是要審查字母、符號是否抄錯，在確信萬無一失后方可交卷.
輕松考試六步曲
如何在考試中發(fā)揮正常水平、考出好成績，獲取較高的分數(shù) 平時的知識積累和考試時的靈活運用固然重要，但非智力因素發(fā)揮得如何，也具有特別重要意義。下述考試六步曲可謂拋磚引玉，以之參考借鑒。
一、一個公式
一個公式就是:信心十專心十細心=勝利。這好比作戰(zhàn)一樣，戰(zhàn)略上要蔑視敵人〔高考并沒有什么可怕的〕，戰(zhàn)術上要重視敵人〔要認真地對待每一道題目〕，斗志上要壓倒敵人〔考試信心百倍〕，這樣才能打一場勝仗〔考得好〕。做任何事情，都必須有信心，考試更不例外，這是前提;“專心”和“細心”是方法和技巧問題。這“三心“必須用到考試中去。
二、注意“二意”
〔1〕要正確審出題意。這是正確解題的前提。必須逐字逐句經過大腦“過濾”，千萬不要“想當然”。審題，實際上是分析問題和解決問題的思維過程，要保持清醒的頭腦，有清浙的思路。在歷年大的考試中，常見審題方面出現(xiàn)的毛病是:(1)拿到試卷，急于作答，審題不細，導致漏筆或不按要求作答，導致失分;(2)審錯題，答案不切題意要求，答案錯誤。這些毛病應該克服。審題，一方面要看清題目要求。比如，做選擇題，就要看清是選正確的還是選錯誤的，是選單項還是雙項等。另一方面是看清題目本身。數(shù)理化等學科要看清符號，英語要看清單詞，語文要看清字詞等，如考作文題是《世上不只媽媽好》，不少考生寫成《世上只有媽媽好》，一字這差，離題萬遠。
〔2〕要有解題立意。從哪個角度、哪個方位入手，架起“已知”與“未知”的橋梁，尋求解題的有效途徑。
三、三快三慢
〔1〕做題要快，審題要慢。因為審題是關鍵的第一步，力求準確無誤，因而這一步不圖快。一但有了解題立意，就要快速地書寫，其次是先做容易的題目，以贏得時間。
〔2〕思維要快，交卷要慢。要保持清醒的頭腦，有清浙的思路，一旦某道題目的解答被“卡殼”時，不要緊張，要馬上變換思維方式，換個角度、換個方位去思考，不要自己判定為“死刑“而匆匆交卷。
〔3〕行文要快，復查要慢。有了解題思路，書寫文字要快，以贏得時間。復查的時候要特別注意，一是不要全部檢查，因時間不允許;二是瀏覽全卷。對全卷作個粗略的檢查，從總體上了解一下是不是所有題目都答了，是不是按要求做了，有沒有弄錯題號的。特別是選擇題，最容易把答案填錯。三是要有針對性地檢查一先檢查是否漏答，再根據(jù)草稿紙上記錄的題號檢查疑惑題目并爭取在這里補上分數(shù)。四是不要重復原來的思路。五是不僅要檢查答案，而且還要檢查問題的性質，看看自己是否真的把題目弄清楚了。五是千萬不要回頭檢查選擇題，因為考生在高度緊張的選擇中，第一反應住住是最正確的。不要在一道題上選來選去，實在不會的，不妨“蒙”一個答案。
四、處理好“四個”關系
〔1〕審題與解題的關系。有的考生對審題重視視不夠，匆匆一看急于下筆，以致題目的條件與要求都沒有吃透，至于如何從題目中挖掘隱含條件、啟發(fā)解題思路就更無從談起，這樣解題出錯自然多。只有耐心仔細地審題，準確地把握題目中的關鍵詞與量(如“至少”，“a>0”，自變量的取值范圍等)，從中獲取盡可能多的信息，才能迅速找準解題方向。
〔2〕“會做”與“得分”的關系。要將你的解題略轉化為得分點，主要靠準確完整的數(shù)學語言表述，這一點住住被一些考生所忽視，因此卷面上大量出現(xiàn)“會而不對”、“對而不全”的情況，考生自己的估分與實際得分差之甚遠。許多考生“心中有數(shù)”卻說不清楚，扣分者也不在少數(shù)。只有重視解題過程的語言表述，“會做”的題才能“得分”。
〔3〕快與準的關系。在目前題量大、時間緊的情況下，“準”字則尤為重要。只有“準”才能得分，只有“準”你才可不必考慮再花時間檢查，而“快”是平時習”練的結果，不是考場上所能解決的問題，一味求快，只會落得錯誤百出。適當?shù)芈稽c、準一點，可得多一點分;相反，快一點，錯一片，花了時間還得不到分。
〔4〕難題與容易題的關系。拿到試卷后，應將全卷通覽一遍，一般來說應按先易后難、先簡后繁的順序作答。近年來考題的順序并不完全是難易的順序，因此在答題時要合理安排時間，不要在某個卡住的題上打 “持久戰(zhàn)”，那樣既耗費時間又拿不到分，會做的題又被耽誤了。
五、悟出“五感”
〔1〕考前一個月要有“題感”。要了解、掌握要考學科的考試題目類型以及基本的解題方法，清理復習中的記憶線索，以便在考試中有一個清晰的回憶“通道”。
〔2〕考前一周要有“臨場感“。大致在升學考試的前一周，一般基本都是停止系統(tǒng)的復習，進入一個“適應考試“階段，形成考試的臨場感。這就要求按照升學考試的日程，每夭做兩份“準模擬“題。所謂“準模擬“，就是因為做題的時間與升學考試一致，但難度不大，這樣既能適應考試的氣氛，又能給自己增加信心。當你去教室上課時，就把它當作是去參加考試;當你坐在教室里，就可以想像自己就是在考場上;當你做練習時，就當作自己是在考試。這樣就可以避免考試的怯場現(xiàn)象。
〔3〕考試前一夭要有“正常感”。不要因為要參加考試而加班加點，也不要因此而提前睡眠。要保持正常的生活習慣。
〔4〕考試時要有“輕松感”。每考完一科后，千萬不要與老師、同學對答案。因為無論答對與否，已經是客觀存在的。不要把一些無謂的痛苦來摧殘自己的心靈。每考完一科，就想到輕松了一科，即使有的科目自己覺得沒考好，也一定要著眼于未來，力爭把下一科考好。
〔5〕要有“滿足感”。考生務必恰當定位，不被“不會做，做不完、做不對”所嚇倒，爭取達到最佳競技狀態(tài)。即使這科是你的優(yōu)勢，你只可定位在120分，這是你實力的體現(xiàn)，而多拿了1分，就是你超越的表現(xiàn)。有了這種“滿足感“不僅消除緊張的心理，而且還有可“超常“發(fā)揮。
六、確定符合自己的五個立足點
〔1〕立足于易題。容易的題目，力爭快、準、規(guī)范答題，確保穩(wěn)拿分數(shù)。〔2〕立足于基礎題。屬于基礎的題目，并不都是容易的題目，要認真對待，確保基礎題都得分。〔3〕立足于中檔的題目。因為中檔試題占八成，即占卷面150分的120分，優(yōu)秀生可在難題上得分，但事實上，真正拉開檔次的是中低檔題。也就是說，將中檔題拿下來，你就是把競爭對手打去了三分之二。這是考試也是復習的第二戰(zhàn)略。(4)立足于平常的心理。選拔考試不僅是智力的競賽，更是心理素質的較量。良好的心理素質、良好的競技狀態(tài)下，才能正常地發(fā)揮水平。(5〕立足于自己的優(yōu)勢。在其它科與別人平平的清況下，力爭在自己特長和優(yōu)勢的一兩個科目提高自己的分數(shù)，把同水平的人甩開，由此拉開檔次。
七、良好的解題習慣可以避免許多不該發(fā)生的事，把能拿到的拿回來。
1．分析條件，弄清問題
（1）讀題多遍，弄清題意．（2）數(shù)一數(shù)有幾個條件，揭示每一個條件的本質．（3）條件之間加強聯(lián)系．（4）選擇一個（認為）恰當使用方法．
2．明確任務，制訂策略
（5）明確任務，明確“干什么”，突出“目標意識”．（6）能否化歸成另一個任務？能否分解成幾個小的任務．（7）為什么不畫個圖，列個表呢？（8）與已知條件之間的關系．（9）見過類似的問題嗎？
3．規(guī)范表達，實施計劃
（10）運算準確，推理嚴密，不跳步驟．（11）表達規(guī)范，步驟完整．
4．驗算結果，回顧反思
（12）有歸納、總結性語言．（13）是否利用了所有條件（或發(fā)現(xiàn)多余條件）？（14）結論合理嗎？檢查驗證．（15）有沒有其他更簡便的方法？
第一講：集合、簡易邏輯
今天，我怕誰之一 課本基礎篇
今天，我怕誰之二 常考題型篇
【題型1】 集合及其運算
例1、 （陜西理2）已知全集U＝{1，2，3， 4，5}，集合A＝,則集合CuA等于
（A）　　 （B） (C) (D) （　　）
解析：A={2，3，4}，CuA={1，5}，選C
【題型 2】 邏輯聯(lián)結詞與四種命題充要條件
例2、 （2007，山東理7） 命題“對任意的，”的否定是（ ）
（A）不存在， （B）存在，
（C）存在， （D）對任意的，
【答案】C【分析】：注意三點：1）全稱命題變?yōu)樘胤Q命題；2）只對結論進行否定；3）對一些常用詞的正面敘述的否定的理解，如 “至多有一個”，“至少有一個”，“都是”，“任意的”，“都是”等。
例3、 （海、寧理1文2）已知命題，，則（　　）
Ａ．， Ｂ．，
Ｃ．， Ｄ．，
【答案】C 【分析】：是對的否定，故有：
【題型 3】 一元二次不等式和絕對值不等式、指數(shù)、對數(shù)不等式
例4、 （北京卷）已知集合，．若A∩B=，則實數(shù)的取值范圍是 ．
解：集合={x| a－1≤x≤a+1}，={x| x≥4或x≤1 }．又，∴ ，解得2例5、 （山東文理2）已知集合，則M∩N=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】：求。
【題型 4】 與不等式有關的范圍問題
例6、 （浙江理17）設為實數(shù)，若，
則的取值范圍是 ．
【分析】：作圖易知,設若不成立;故當且斜率大于等于時方成立.
今天，我怕誰之三 歷年真題剖析篇
1. (2010年全國卷Ⅰ文2)設全集，集合，，則 （ ）
A. B. C. D.
【解析】.故選C
2.（09全國卷Ⅰ文 1）設集合A=｛4，5，6，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集=AB，則集合中的元素共有（ ）
(A) 3個 （B） 4個 （C）5個 （D）6個
解：，故選A。也可用摩根律：
3.（07全國卷I文1）設，，則（　　）D
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4.（06全國卷I文2）設集合，，則（ ）B
A．M∩N= B． M∩N=M C． D．
5．（05全國卷Ⅱ文10）已知集合則為 （ ）A
(A) (B)
(C) (D)
6. (2010年全國卷Ⅰ文13)不等式的解集是 .
今天，我怕誰之四 拓展延伸篇
1. （2010年全國卷Ⅱ文1）設全集U=，集合A={1,3}。B={3,5},則（　　）C
（Ａ）｛１，４｝　　　　（ｂ）｛１，５｝　　　（Ｃ）｛２，４｝　（Ｄ）｛２，４｝
2.（09全國卷Ⅱ文1）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，則Cu( M N )= ( )C
A.{5，7} B.{2，4} C. {2.4.8} D. {1，3，5，6，7}
3.（08年全國卷Ⅱ文2）設集合，N={nZ-1n3}, 則M∩N =（ B ）
A． B． C． D．
4．（07年全國Ⅱ卷文1）設集合，則（ ）C
A． B． C． D．
5.（2006年全國卷II）已知集合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|log2x＞1｝，則M∩N＝ ( D )
（A） （B）｛x|0＜x＜3｝ （C）｛x|1＜x＜3｝ （D）｛x|2＜x＜3｝
6．（05年全國卷Ⅰ文2）設為全集，是的三個非空子集，且，則下面論斷正確的是 （　　　　）Ｃ
（A） （B）
（C） （D）
解：∵所表示的部分是圖中藍色的部分，
所表示的部分是圖中除去的部分，∴，故選C．
今天，我怕誰之五　規(guī)律與技巧總結篇
第二講：函數(shù)
今天，我怕誰之一 課本基礎篇
今天，我怕誰之二 常考題型篇
1、求定義域（使函數(shù)有意義）
分母 0
偶次根號0
對數(shù) x>0，a>0且a1
三角形中 0<<180, 最大角>60，最小角<60
2、求值域
判別式法 △0
不等式法
導數(shù)法
特殊函數(shù)法
換元法 反函數(shù)法
題型：
題型一：
法一：
法二：圖像法（對有效
題型二：
題型三：
題型四：
題型五
反函數(shù)
1、反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域（反x=原y）
2、反函數(shù)的值域是原函數(shù)的定義域（反y=原x）
3、原函數(shù)的圖像與原函數(shù)關于直線y=x對稱
題型
周期性
對稱
今天，我怕誰之三 歷年真題剖析篇
1.（2010年全國卷Ⅰ文10）設a=2，b=In2，c=，則 （ ）C
（A）a2.(2010年全國卷Ⅰ文7)已知函數(shù).若且，則的取值范圍是（ ）
(A) (B)(C) (D)
3.（09全國卷Ⅰ文）已知函數(shù)的反函數(shù)為，則（ C ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
4.（08全國卷Ⅰ文1)函數(shù)的定義域為（　D　）
（A） （B）
（C） （D）
5.（(08全國卷Ⅰ文2）汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程看作時間的函數(shù)，其圖像可能是（ A ）
6.（08全國卷文Ⅰ8）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，則（ A ）
A． B． C． D．
7.（07全國Ⅰ文8）設，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為，則（ A）
A． B．2 C． D．4
8.（07全國Ⅰ文9）設，是定義在R上的函數(shù)，，則“，均為偶函數(shù)”是“為偶函數(shù)”的（ B ）
A．充要條件 B．充分而不必要的條件
C．必要而不充分的條件 D．既不充分也不必要的條件
9.（07全國Ⅰ文14）函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，則__________。
10.（06全國Ⅰ文）已知函數(shù)y = ex的圖像與函數(shù)y = f（x）的圖像關于直線 y =x對稱，則（ D ）
A． B．
C． D．
11.（06全國Ⅰ文）已知函數(shù)，若f（x）為奇函數(shù)，則a =
函數(shù)若為奇函數(shù)，則，即，a=.
12. (05全國卷Ⅱ文3) 函數(shù) 反函數(shù)是( )B
(A) (B)= -
(C)= (D)=-
今天，我怕誰之四 拓展延伸篇
1. （2010年全國卷Ⅱ文4）函數(shù)y=1+ln（x-1）(x>1)的反函數(shù)是 ( )D
（A）y=-1(x>0) (B) y=+1(x>0)
（C）y=-1(x R) (D）y=+1 (x R)
2.（09全國卷Ⅱ文2）函數(shù)y=(x0)的反函數(shù)是 ( B )
（A）（x0） （B）（x0）
（B）（x0） （D）（x0）
3.（09全國卷Ⅱ文3）函數(shù)的圖像 ( A )
（A） 關于原點對稱 （B）關于主線對稱
（C） 關于軸對稱 （D）關于直線對稱
4.（09全國卷Ⅱ文7）設則 ( B )
（A） （B） （C） （D）
5.（08全國Ⅱ文4）函數(shù)的圖像關于（ C ）
A．軸對稱 B．直線對稱 C．坐標原點對稱 D．直線對稱
6.（08全國Ⅱ文5）若，則（ C ）
A．<< B．<< C． << D． <<
7.（07全國卷Ⅱ文4）下列四個數(shù)中最大的是（ ）D
A． B． C． D．
8.（06全國卷II 文4）如果函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關于坐標原點對稱，則的表達式為 ( )D
（A）　　（B） （C）　（D）
解：以－y，－x代替函數(shù)中的x，，得 的表達式為，選D
9.（06全國卷II 文8）已知函數(shù)，則的反函數(shù)為( )
（A）　　　　（B）
（C）　　　　（D）
解：所以反函數(shù)為故選B
10.（05全國Ⅰ文8）函數(shù)的反函數(shù)是( )
（A）（B）
（C）（D）
解：由得,∴函數(shù)的反函數(shù)是
y,選(B)
11.（05全國卷Ⅰ文9）設，函數(shù)，則使的的取值范圍是（ ）B
（A） （B） （C） （D）
12. （05全國卷Ⅰ文19）已知二次函數(shù)的二次項系數(shù)為，且不等式的解集為。
（Ⅰ）若方程有兩個相等的根，求的解析式；
（Ⅱ）若的最大值為正數(shù)，求的取值范圍。
本小題主要考查二次函數(shù)、方程的根與系數(shù)關系，考查運用數(shù)學知識解決問題的能力.
解：（Ⅰ）
①
由方程 ②
因為方程②有兩個相等的根，所以，
即
由于代入①得的解析式
（Ⅱ）由
及
由 解得
故當?shù)淖畲笾禐檎龜?shù)時，實數(shù)a的取值范圍是
今天，我怕誰之五　規(guī)律與技巧總結篇
第三講：數(shù)列
今天，我怕誰之一 課本基礎篇
必考核心公式
1. 數(shù)列的同項公式與前n項的和的關系
( 數(shù)列的前n項的和為).
2. 等差數(shù)列
通項公式:
前n項和公式: 或
3. 等比數(shù)列
通項公式：
前n項的和公式： 或.
4. 等差中項：
等比中項：
5. 等差數(shù)列： am=an+ (n－m)d, ；
等比數(shù)列：; q=;
6. 當m+n=p+q（m、n、p、q∈N＊）時，
等差數(shù)列｛an｝：am+an=ap+aq；
等比數(shù)列｛an｝：aman=apaq；
7. 對等差數(shù)列｛an｝,當項數(shù)為2n時，S偶—S奇＝nd；項數(shù)為2n－1時，S奇－S偶＝a中（n∈N*）；
8. 首項為正（或為負）的遞減（或遞增）的等差數(shù)列前n項和的最大（或最小）問題，轉化為解不等式解決；
9. 由Sn求an，an={ 注意驗證a1是否包含在后面an 的公式中，若不符合要單獨列出。一般已知條件中含an與Sn的關系的數(shù)列題均可考慮用上述公式；
10. 分期付款(按揭貸款)
每次還款元(貸款元,次還清,每期利率為).
今天，我怕誰之二 常考題型篇
（熟記等差數(shù)列，等比數(shù)列的基本公式，掌握其通項公式和求和公式的推導過程）
等差數(shù)列：
等比數(shù)列：
通項公式的求法
1、
2、
3、
求和:
1、拆項法
2、疊減法（注意，這幾個題型是近幾年高考的常見題型，應牢牢掌握）
(是等差數(shù)列，是等比數(shù)列) （①式）
步驟：⑴等式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比q，得（②式）
⑵①式-②式得，
⑶當時，
當時，=
⑷化簡，特別注意（1-q）為負的時候。
例：求
解：令（①式）
則2（②式）
①式-②式得，-=
∴
今天，我怕誰之三 歷年真題剖析篇
1. （2010年全國卷Ⅰ文4）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{}，=5，=10，則=（ ）A
(A) (B) 7 (C) 6 (D)
【解析】由等比數(shù)列的性質知，10,所以,
所以
2.（08全國Ⅰ文7）已知等比數(shù)列滿足，則（ A ）
A．64 B．81 C．128 D．243
3.（06全國Ⅰ文5）設是等差數(shù)列{}的前n項和，若，則（ D ）
A、8 B、7 C、6 D、5
4.（05年全國Ⅱ文７）如果數(shù)列是等差數(shù)列，即（ ）B
（A）＋＋ （B）＋＝＋ （C）＋＋ （D）＝
解：因為對于等差數(shù)列{an}有：如果m,n,p,q都是非零的自然數(shù),且m+n=p+q,則必有am+an=ap+aq,故選(B)
5.（09全國卷Ⅰ文14） 設等差數(shù)列的前項和為，若,則= 。
解: 由,得.
6. （07全國Ⅰ文16）等比數(shù)列的前n項和為，已知，，成等差數(shù)列，則的公比為______．
7.（05全國Ⅱ文13）在和之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個數(shù)的乘積為_____．
解：a1=,a5=,a2a3a4=(a1a5)1.5=63=216.
8. （2010年全國卷Ⅰ文17）記等差數(shù)列的前的和為，設，且成等比數(shù)列，求.
9.（09全國卷Ⅰ文17）設等差數(shù)列{}的前項和為，公比是正數(shù)的等比數(shù)列{}的前項和為，已知的通項公式。
解：依題意得，
10. (08全國Ⅰ文19)在數(shù)列中，，．
（Ⅰ）設．證明：數(shù)列是等差數(shù)列； （Ⅱ）求數(shù)列的前項和．
解：（1），，，則為等差數(shù)列，，，．
（2）
兩式相減，得
11. （07全國1文21）設是等差數(shù)列，是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，
（Ⅰ）求，的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列的前n項和．
解：（Ⅰ）設的公差為，的公比為，則依題意有且
解得，．所以，
．
（Ⅱ）．
，①
，②
②－①得，
．
12.（06全國Ⅰ文17）已知{}為等比數(shù)列，，求{}的通項公式。
解: 設等比數(shù)列{an}的公比為q, 則q≠0, a2= = , a4=a3q=2q
所以 + 2q= , 解得q1= , q2= 3,
當q1=, a1=18.所以 an=18×()n－1= = 2×33－n.
當q=3時, a1= , 所以an=×3n－1=2×3n－3.
13.（05年全國Ⅱ文19）已知是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，、、成等差數(shù)列．又，…．
（Ⅰ）證明為等比數(shù)列；
（Ⅱ）如果數(shù)列前３項的和等于，求數(shù)列的首項和公差．
本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本知識以及運用這些知識的能力。滿分12分。
（1）證明：
成等差數(shù)列，即
又設等差數(shù)列的公差為d，則
這樣從而
這時是首項，公比為的等比數(shù)列
（II）解：
所以
今天，我怕誰之四 拓展延伸篇
1. （2010年全國卷Ⅱ文6）如果等差數(shù)列{an} 中，a4+a5+a6=12，那么 a1+a2+……+ an= （　　）C
(A) 14 (B) 21 (C) 28 (D)35
2.（06全國卷II 文6）已知等差數(shù)列中，，則前10項的和＝( )
（A）100 (B)210 (C)380 (D)400
解：d＝，＝3，所以 ＝210，選B
3.（09全國卷Ⅱ文13）設等比數(shù)列{}的前n項和為。若，則=
解析：本題考查等比數(shù)列的性質及求和運算，由得q3=3故a4=a1q3=3。
4.（07全國Ⅱ文14）已知數(shù)列的通項，則其前項和 ．
5. （2010全國卷Ⅱ文18）已知{}是各項均為正數(shù)的等比例數(shù)列，且＋＝20，
(Ⅰ)求{}的通項公式； （Ⅱ）設，求數(shù)列{}的前N項和
6.（09全國卷Ⅱ文17）已知等差數(shù)列{}中，求{}前n項和.
解析：本題考查等差數(shù)列的基本性質及求和公式運用能力，利用方程的思想可求解。
解：設的公差為，
即
解得
因此
7.（08全國Ⅱ文18）等差數(shù)列 ( http: / / www. )中，且成等比數(shù)列，求數(shù)列前20項的和．
解：設數(shù)列的公差為，則
，， ．
由成等比數(shù)列得，
即，
整理得，
解得或．當時，．當時，，
于是．
8.（07全國Ⅱ文17）設等比數(shù)列的公比，前項和為．已知，求的通項公式．
解：由題設知，
則 ②
由②得，，，
因為，解得或．
當時，代入①得，通項公式；
當時，代入①得，通項公式．
9.（06全國卷II 文18）設等比數(shù)列的前n項和為，求通項公式。
解：設的公比為q，由，所以得
…① …②
由①、②式得 整理得解得 所以 q＝2或q＝－2
將q＝2代入①式得，所以
將q＝－2代入①式得，所以
10. (05全國卷Ⅰ文21) 設正項等比數(shù)列的首項，前n項和為，且。
（Ⅰ）求的通項； （Ⅱ）求的前n項和。
解：（Ⅰ）由 得
即
可得
因為，所以 解得，因而
（Ⅱ）因為是首項、公比的等比數(shù)列，故
則數(shù)列的前n項和
前兩式相減，得
即
今天，我怕誰之五　規(guī)律與技巧總結篇
第四講：三角函數(shù)
今天，我怕誰之一 課本基礎篇
知識梳理
1. ①與（0°≤＜360°）終邊相同的角的集合（角與角的終邊重合）：
②終邊在x軸上的角的集合：
③終邊在y軸上的角的集合：
④終邊在坐標軸上的角的集合：
⑤終邊在y=x軸上的角的集合：
⑥終邊在軸上的角的集合：
⑦若角與角的終邊關于x軸對稱，則角與角的關系：
⑧若角與角的終邊關于y軸對稱，則角與角的關系：
⑨若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關系：
⑩角與角的終邊互相垂直，則角與角的關系：
2. 角度與弧度的互換關系：360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.
、弧度與角度互換公式： 1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝≈0.01745（rad）
3、弧長公式：. 扇形面積公式：
4、三角函數(shù)：設是一個任意角，在的終邊上任取（異于原點的）一點P（x,y）P與原點的距離為r，則 ； ； ； ； ；. .
5、三角函數(shù)在各象限的符號：（一全二正弦，三切四余弦）
6、三角函數(shù)線
正弦線：MP; 余弦線：OM; 正切線： AT.
7. 三角函數(shù)的定義域：
三角函數(shù) 定義域
sinx
cosx
tanx
cotx
secx
cscx
8、同角三角函數(shù)的基本關系式：
9、誘導公式：
“奇變偶不變，符號看象限”
三角函數(shù)的公式：（一）基本關系
公式組二 公式組三
公式組四 公式組五 公式組六
（二）角與角之間的互換
公式組一 公式組二
公式組三 公式組四 公式組五
,,,.
10. 正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質：
（A、＞0）
定義域 R R R
值域 R R
周期性
奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 奇函數(shù) 當非奇非偶當奇函數(shù)
單調性 上為增函數(shù)；上為減函數(shù)（） ；上為增函數(shù)上為減函數(shù)（） 上為增函數(shù)（） 上為減函數(shù)（） 上為增函數(shù)；上為減函數(shù)（）
注意：①與的單調性正好相反；與的單調性也同樣相反.一般地，若在上遞增（減），則在上遞減（增）.
②與的周期是.
③或（）的周期.
的周期為2（，如圖，翻折無效）.
④的對稱軸方程是（），對稱中心（）；的對稱軸方程是（），對稱中心（）；的對稱中心（）.
⑤當·；·.
⑥與是同一函數(shù),而是偶函數(shù)，則
.
⑦函數(shù)在上為增函數(shù).（×） [只能在某個單調區(qū)間單調遞增. 若在整個定義域，為增函數(shù)，同樣也是錯誤的].
⑧定義域關于原點對稱是具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個條件：一是定義域關于原點對稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù)：，奇函數(shù)：）
奇偶性的單調性：奇同偶反. 例如：是奇函數(shù)，是非奇非偶.（定義域不關于原點對稱）
奇函數(shù)特有性質：若的定義域，則一定有.（的定義域，則無此性質）
⑨不是周期函數(shù)；為周期函數(shù)（）；
是周期函數(shù)（如圖）；為周期函數(shù)（）；
的周期為（如圖），并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，例如：
.
⑩ 有.
11、三角函數(shù)圖象的作法：
１）、幾何法：
２）、描點法及其特例——五點作圖法（正、余弦曲線），三點二線作圖法（正、余切曲線）.
３）、利用圖象變換作三角函數(shù)圖象．
三角函數(shù)的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等．
函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期，頻率，相位初相（即當x＝0時的相位）．（當A＞0，ω＞0 時以上公式可去絕對值符號），
四大平移法則：（必考）
◆法則一：由y＝sinx的圖象上的點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長（0＜|ω|＜1）或縮短（|ω|＞1）到原來的倍，得到y(tǒng)＝sinω x的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換．(用ωx替換x)（小1伸，大1縮）
◆法則二：由y＝sinx的圖象上所有的點向左（當φ＞0）或向右（當φ＜0）平行移動｜｜個單位，得到y(tǒng)＝sin（x＋φ）的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移．(用x＋φ替換x)（左“+”，右“-”）
◆法則三：由y＝sinx的圖象上所有的點向上（當b＞0）或向下（當b＜0）平行移動｜b｜個單位，得到y(tǒng)＝sinx＋b的圖象叫做沿y軸方向的平移．（用y+(-b)替換y）（上“+”，下“-”）
◆法則四：由y＝sinx的圖象上的點的橫坐標保持不變，縱坐標伸長（當|A|＞1）或縮短（當0＜|A|＜1）到原來的|A|倍，得到y(tǒng)＝Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換．（用y/A替換y）（大1伸，小1縮）
由y＝sinx的圖象利用圖象變換作函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的圖象，要特別注意：當周期變換和相位變換的先后順序不同時，原圖象延x軸量伸縮量的區(qū)別。
4、反三角函數(shù)：
函數(shù)y＝sinx，的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作y＝arcsinx，它的定義域是［－1，1］，值域是．
函數(shù)y＝cosx，（x∈［0，π］）的反應函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作y＝arccosx，它的定義域是［－1，1］，值域是［0，π］．
函數(shù)y＝tanx，的反函數(shù)叫做反正切函數(shù)，記作y＝arctanx，它的定義域是（－∞，＋∞），值域是．
函數(shù)y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函數(shù)叫做反余切函數(shù)，記作y＝arcctgx，它的定義域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．
解斜三角形必考公式
1. A+B+C=，A+B=-C
2.
3.
（三）思想方法
1.三角函數(shù)恒等變形的基本策略。
（1）常值代換：特別是用“1”的代換，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
（2）項的分拆與角的配湊。如分拆項：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配湊角：α=（α+β）－β，β=－等。
（3）降次與升次。即倍角公式降次與半角公式升次。
（4）化弦（切）法。將三角函數(shù)利用同角三角函數(shù)基本關系化成弦（切）。
（5）引入輔助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，這里輔助角所在象限由a、b的符號確定，角的值由tan=確定。
（6）萬能代換法。巧用萬能公式可將三角函數(shù)化成tan的有理式。
2.證明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式進行化名，化角，改變運算結構，使等式兩邊化為同一形式。
（2）證明方法：綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數(shù)學歸納法。
3.證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)的單調性，利用正、余弦函數(shù)的有界性，利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。
4.解答三角高考題的策略。
（1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運算間的差異，即進行所謂的“差異分析”。
（2）尋找聯(lián)系：運用相關公式，找出差異之間的內在聯(lián)系。
（3）合理轉化：選擇恰當?shù)墓剑偈共町惖霓D化。
（四）注意事項
對于三角函數(shù)進行恒等變形，是三角知識的綜合應用，其題目類型多樣，變化似乎復雜，處理這類問題，注意以下幾個方面：
1．三角函數(shù)式化簡的目標：項數(shù)盡可能少，三角函數(shù)名稱盡可能少，角盡可能小和少，次數(shù)盡可能低，分母盡可能不含三角式，盡可能不帶根號，能求出值的求出值．
2．三角變換的一般思維與常用方法．
注意角的關系的研究，既注意到和、差、倍、半的相對性，如
．也要注意題目中所給的各角之間的關系．
注意函數(shù)關系，盡量異名化同名、異角化同角，如切割化弦，互余互化，常數(shù)代換等．
熟悉常數(shù)“1”的各種三角代換：
等．
注意萬能公式的利弊：它可將各三角函數(shù)都化為的代數(shù)式，把三角式轉化為代數(shù)式．但往往代數(shù)運算比較繁．
熟悉公式的各種變形及公式的范圍，如
sin α = tan α · cos α ，，等．
利用倍角公式或半角公式，可對三角式中某些項進行升降冪處理，如，，等．從右到左為升冪，這種變形有利用根式的化簡或通分、約分；從左到右是降冪，有利于加、減運算或積和（差）互化．
3．幾個重要的三角變換：
sin α cos α可湊倍角公式； 1±cos α可用升次公式；
1±sin α 可化為，再用升次公式；
（其中 ）這一公式應用廣泛，熟練掌握．
4. 單位圓中的三角函數(shù)線是三角函數(shù)值的幾何表示，四種三角函數(shù)y = sin x、y = cos x、y = tan x、y = cot x的圖象都是“平移”單位圓中的三角函數(shù)線得到的，因此應熟練掌握三角函數(shù)線并能應用它解決一些相關問題．
5. 三角函數(shù)的圖象的掌握體現(xiàn)在：把握圖象的主要特征（頂點、零點、中心、對稱軸、單調性、漸近線等）；應當熟練掌握用“五點法”作圖的基本原理以及快速、準確地作圖．
6.三角函數(shù)的奇偶性
“函數(shù)y = sin (x＋φ) （φ∈R）不可能是偶函數(shù)”．是否正確．
分析：當時，，這個函數(shù)顯然是偶函數(shù)．因此，這個判斷是錯誤的．我們容易得到如下結論：
① 函數(shù)y = sin (x＋φ)是奇函數(shù)．
② 函數(shù)y = sin (x＋φ)是偶函數(shù)．
③ 函數(shù)y =cos (x＋φ)是奇函數(shù)．
④ 函數(shù)y = cos (x＋φ)是偶函數(shù)．
7.三角函數(shù)的單調性
“正切函數(shù)f (x) = tan x，是定義域上的增函數(shù)”，是否正確．
分析：我們按照函數(shù)單調性的定義來檢驗一下：
任取，，顯然x1＜x2，但f (x1 )＞0＞f (x2 )，與增函數(shù)的定義相違背，因此這種說法是不正確的．
觀察圖象可知：在每一個區(qū)間上，f (x ) = tan x都是增函數(shù)，但不能說f (x ) = tan x在其定義域上是增函數(shù)．
今天，我怕誰之二 常考題型篇
1、
奇變偶不變 （對k而言）
符號看象限 （看原函數(shù)）
2、1的應用
（1）
例：
（2）已知tanα=2，求sin2α+sinαcosα-3cos2α
解：
今天，我怕誰之三 歷年真題剖析篇
1. (2010年全國卷Ⅰ文1)（ ）C
(A) (B)- (C) (D)
2. （09全國卷Ⅰ文1）的值為（ ）
(A) (B) (C) (D)
【解析】本小題考查誘導公式、特殊角的三角函數(shù)值，基礎題。
解：，故選擇A。
3.（09全國卷Ⅰ文4）已知tan=4,cot=,則tan(a+)=（ ）
(A) (B) (C) (D)
【解析】本小題考查同角三角函數(shù)間的關系、正切的和角公式，基礎題。
解：由題，，故選擇B。
4.（09全國卷Ⅰ文10）如果函數(shù)的圖像關于點中心對稱，那么的最小值為（ ）
(A) (B) (C) (D)
解: ∵函數(shù)的圖像關于點中心對稱
由此易得.故選A
5.（08全國卷Ⅰ文6）是（ D ）
A．最小正周期為的偶函數(shù) B．最小正周期為的奇函數(shù)
C．最小正周期為的偶函數(shù) D．最小正周期為的奇函數(shù)
6.（08全國卷Ⅰ文9）為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖像（ C ）
A．向左平移個長度單位 B．向右平移個長度單位
C．向左平移個長度單位 D．向右平移個長度單位
7.（07全國卷1文2）是第四象限角，，（　　）B
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8.（07全國卷1文10）函數(shù)的一個單調增區(qū)間是（ D ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
9.（06全國卷1文8）△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c。若a、b、c成等比數(shù)列，且c = 2a，則cosB =( B )
A、 B、 C、 D、
10.（06全國卷1文12）用長度分別為2、3、4、5、6（單位：cm）的5根細木棒圍成一個三角形（允許連接，但是不允許折斷），能夠得到的三角形的最大面積為（ ）B
A、 cm2 B、 cm2 C、 cm2 D、20cm2
用2、5連接，3、4連接各為一邊，第三邊長為6組成三角形，此三角形面積最大，面積為，選B.
11.（05年全國2文１）函數(shù)的最小正周期是( )
（A）（B）（C）（D）
解：∵f(x)=|sinx+cosx|=|sin(x+)|,∴T=,的最小正周期是π.選(C)
12. (2010年全國卷Ⅰ文14)已知為第一象限的角，,則 .
13. (2010年全國卷Ⅰ文18)已知的內角，及其對邊，滿足，
求內角．
14.（09全國卷Ⅰ文18）在中，內角A、B、C的對邊長分別為、、，已知，且 求b
分析:此題事實上比較簡單,但考生反應不知從何入手.對已知條件(1)左側是二次的右側是一次的,學生總感覺用余弦定理不好處理,而對已知條件(2) 過多的關注兩角和與差的正弦公式,甚至有的學生還想用現(xiàn)在已經不再考的積化和差,導致找不到突破口而失分.
解法一：在中則由正弦定理及余弦定理有:化簡并整理得：.又由已知.解得.
解法二:由余弦定理得: .又,。
所以…………………………………①
又，
，即
由正弦定理得，故………………………②
由①，②解得。
15.（08全國Ⅰ文17）設的內角所對的邊長分別為，且，．
（Ⅰ）求邊長；
（Ⅱ）若的面積，求的周長．
解：（1）由與兩式相除，有：
又通過知：，
則，，則．
（2）由，得到．
由，解得：， 最后．
16.（07全國卷1文17）設銳角三角形ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若，，求b．
（Ⅰ）由，根據(jù)正弦定理得，所以，
由為銳角三角形得．
（Ⅱ）根據(jù)余弦定理，得．
所以，．
17.（06年全國1文18）△ABC的三個內角A、B、C，求當A為何值時，取得最大值，并求出這個最大值。
解: 由A+B+C=π, 得 = － , 所以有cos =sin .
cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin2 + 2sin
=－2(sin － )2+
當sin = , 即A=時, cosA+2cos取得最大值為
18.（05全國2文17）已知為第二象限的角，，為第一象限的角，．求的值．
解法一：
為第二象限的角，，所以
所以
為第一象限的角，，所以
所以
解法二：為第二象限角，，所以
為第一象限角，，所以
故
所以
今天，我怕誰之四　拓展延伸篇
1.（2010年全國卷Ⅱ文3）已知，則 （ ）B
(A) (B) (C) (D)
2.（09全國卷Ⅱ文4）已知△ABC中，，則（ ）
(A) (B) (C) (D)
解析：本題考查同角三角函數(shù)關系應用能力，先由cotA=知A為鈍角，cosA<0排除A和B，再由選D
3. （09全國卷Ⅱ文9）若將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后，與函數(shù)的圖像重合，則的最小值為（ ）D
(A) (B) (C) (D) 21世紀教育網
答案：D 解析：本題考查正切函數(shù)圖像及圖像平移，由平移及周期性得出ωmin=
4. (08全國卷2文1 ( http: / / www. ))若且是，則是（ C ）
A．第一象限角 B． 第二象限角 C． 第三象限角 D． 第四象限角
5.（08全國卷2文 10）．函數(shù)的最大值為（ B ）
A．1 B． C． D．2
6.（07全國卷2理2）函數(shù)的一個單調增區(qū)間是（ ）C
A． B． C． D．
7.（07全國卷2文1）（ ）C
A． B． C． D．
8.（06全國卷2文3）函數(shù)的最小正周期是 ( )D
（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）
9.（06全國卷2文10）若則 ( )
（A）　（B） （C）　　（D）
解：
所以,因此故選C
10.（05全國卷1文6）當時，函數(shù)的最小值為 （ ）C
（A）2 （B） （C）4 （D）
解：
，當且僅當，即時，取“”，∵，∴存在使，這時，故選(C)．
11.（05全國卷1文10）在中，已知，給出以下四個論斷：
1 ②
③ ④
其中正確的是（ ）
（A）①③ （B）②④ （C）①④ （D）②③
解：∵，，
∴，∴，
∵，∴①不一定成立，
∵，∴，∴②成立，
∵，∴③不一定成立，
∵，∴④成立，故選B．
12. （2010年全國卷Ⅱ文13）已知a是第二象限的角則___________.
13.（2010年全國卷Ⅱ文17）中，為邊上的一點，，，，
求．
解析：由與的差求出，根據(jù)同角關系及差角公式求出的正弦，在三角形ABD中，由正弦定理可求得AD=25
14.（09全國卷Ⅱ文18）設△ABC的內角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，,，求B.
解析：本題考查三角函數(shù)化簡及解三角形的能力，關鍵是注意角的范圍對角的三角函數(shù)值的制約，并利用正弦定理得到sinB=(負值舍掉)，從而求出B=。
解：由 cos（AC）+cosB=及B=π（A+C）得
cos（AC）cos（A+C）=，cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=,
sinAsinC=.
又由=ac及正弦定理得21世紀教育網
故 ， 或 （舍去），
于是 B= 或 B=. 又由 知或 所以 B=。
15.（08全國卷2文17 ( http: / / www. )）在中，，．
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設，求的面積．
解：（Ⅰ）由，得，
由，得．所以．
（Ⅱ）由正弦定理得．
所以的面積．
16.（07全國卷2文18）在中，已知內角，邊．設內角，周長為．
（1）求函數(shù)的解析式和定義域； （2）求的最大值．
解：（1）的內角和，由得．
應用正弦定理，知
， ．
因為， 所以，
（2）因為，
所以，當，即時，取得最大值．
17.（06全國卷2文17）在,求
（1）
（2）若點
解：（1）由
由正弦定理知
（2）
由余弦定理知
18.（05全國卷1文17）設函數(shù)圖像的一條對稱軸是直線。
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求函數(shù)的單調增區(qū)間；
（Ⅲ）畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖像。
今天，我怕誰之五　規(guī)律與技巧總結篇
第五講：平面向量
今天，我怕誰之一 課本基礎篇
核心公式
1.平面向量的坐標運算
(1)設a=,b=，則a+b=.
(2)設a=,b=，則a-b=.
(3)設A，B,
則.
(4)設a=，則a=.
(5)設a=,b=，則a·b=.
2.向量的數(shù)量積的運算律：
(1) a·b= b·a （交換律）;
(2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）;
(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.
切記：兩向量不能相除(相約)；向量的“乘法”不滿足結合律，
3.向量平行的坐標表示
設a=,b=，且b0，
則a∥b(b0).
ab(a0)a·b=0
4.a與b的數(shù)量積(或內積)a·b=|a||b|cosθ．
5. a·b的幾何意義
數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．
6.兩向量的夾角公式
(a=,b=).
7.平面兩點間的距離公式(A，B).
=
8.線段的定比分公式
設，，是線段的分點,是實數(shù)，且，則
（）.
9.三角形的重心坐標公式
△ABC三個頂點的坐標分別為、、,則△ABC的重心的坐標是.
10.點的平移公式
注:圖形F上的任意一點P(x，y)在平移后圖形上的對應點為，且的坐標為.
11.“按向量平移”的幾個結論
（1）點按向量a=平移后得
到點.
(2) 函數(shù)的圖象按向量a=平移后得到圖象,則的函數(shù)解析式為
.
(3) 圖象按向量a=平移后得到圖象,若的解析式,則的函數(shù)解析式為.
(4)曲線:按向量a=平移后得到圖象,則的方程為.
(5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然為m=.
注意：（1）函數(shù)按向量平移與平常“左加右減”有何聯(lián)系？（2）向量平移具有坐標不變性，可別忘了啊！
12. 三角形五“心”向量形式的充要條件
設為所在平面上一點，角所對邊長分別為，則
（1）為的外心.
（2）為的重心.
（3）為的垂心
.
（4）為的內心=0.
（5）為的的旁心.
今天，我怕誰之二 常考題型篇
題型1　圖象的平移
例1：（1）已知一個函數(shù)的圖像按向量a=(1,-1)平移后圖象的解析式是y=2x2,,則原來圖象的解析式是
(2)把函數(shù)y=2x2-4x+5的圖象按向量a平移后，得到y(tǒng)=2x2，的圖象。且a⊥b
bc=4,則b=
[啟思]：先利用平移公式求出a;然后設b=（x,y）利用方程思想求出b.
變式一：將函數(shù)y=sinx按向量 a=(,3)平移后的圖象解析式為（ ）
A．y=sin(+3 B.y=sin(-3 C. y=sin(+3, D. y=sin(-3
解題分析：解答此題要把握三點：一是有關圖象平移和坐標平移的常用處理方法；二是熟悉平移公式；熟悉新舊坐標的關系；三是抓住關鍵點。
題型2　平面向量與三角函數(shù)
例2：已知A（3。0），B（1。3），C（cos.sin）
(1)=-1,求sin2的值；
（2）若，有求與的夾角
[解析]：將向量的數(shù)量積及模的坐標運算轉化為三角函數(shù)的化簡、求值。然后運用三角函數(shù)基本關系式求解。
變式二：已知平面向量 a=()，b=（）若存在不為零的實數(shù)K和角。使向量C= a+（sin-3）b,d=-k a+sin b,且C⊥d，試求實數(shù)k的取值范圍
解題分析：解答此題要把握三點：一是向量運算法則；二是正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的有界性；三是二次函數(shù)的最值；
題型3平面向量與解析幾何
例3：設雙曲線C的方程是。點P的坐標為（0。-2）。過P的直線L與雙曲線C交于不同的兩點M，N
（1） 當時，求直線的方程；
（2） 設t=(o為原點)求t的取值范圍。
今天，我怕誰之三 歷年真題剖析篇
1.（09全國卷Ⅰ文8）設非零向量、、滿足，則 （ ）
（A）150°B）120° （C）60° （D）30°
【解析】本小題考查向量的幾何運算、考查數(shù)形結合的思想，基礎題。
解：由向量加法的平行四邊形法則，知、可構成菱形的兩條相鄰邊，且、為起點處的對角線長等于菱形的邊長，故選擇B。
2.（08全國卷1文5）在中，若點滿足，則（ A ）
A． B． C． D．
3.（07全國Ⅰ文3）已知向量，，則與（　A　）
A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向
4.（06全國卷1文1）已知向量、滿足|| = 1，|| = 4，且，則與夾角為 （ ）C
A、 B、 C、 D、
5.（05全國卷2文９）已知點，，．設的平分線與相交于，那么有，其中等于 （ ）
（A） ２ （B） （C）－３ （D）－
解：由已知得,且1+λ<0,即,又∵∴-1-λ=2,∴λ=-3,選(C)
今天，我怕誰之四 拓展延伸篇
1. （2010年全國卷Ⅱ文10）△ABC中，點在上，平方．若，，，，則 ( ) B
（A） （B） （C） （D）
∵ CD為角平分線，∴ ，∵ ，∴ ，∴
2.（09全國卷Ⅱ文6）已知向量a = (2,1)， a·b = 10，︱a + b ︱= ，則︱b ︱= （ ）
（A） （B） （C）5 （D）25
解析：本題考查平面向量數(shù)量積運算和性質，由知（a+b）2=a2+b2+2ab=50，得|b|=5 選C。
3.（08全國卷2文13 ( http: / / www. )）設向量，若向量與向量共線，則 ．2
4.（07全國Ⅱ文5）在中，已知是邊上一點，若，則（ A ）
A． B． C． D．
5.（06全國Ⅱ文1）已知向量＝（4，2），向量＝（，3），且//,則＝( )B
（A）9 (B)6 (C)5 (D)3
6. （05全國卷1文11）點O是三角形ABC所在平面內的一點，滿足，則點O是的( )
（A）三個內角的角平分線的交點 （B）三條邊的垂直平分線的交點
（C）三條中線的交點 （D）三條高的交點
解：,即
得,
即,故,,同理可證,∴O是的三條高的交點,選(D)
今天，我怕誰之五 規(guī)律與技巧總結篇
第六講：不等式
今天，我怕誰之一，歷年真題剖析篇
1. (2010全國卷2文13)不等式的解集是 .
【解析】: ，數(shù)軸標根得：
2.（09全國卷1文3）不等式的解集為（ D ）
（A） （B） （C） （D）
3.（05全國卷1文9）在坐標平面上，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為（ ）
（A） （B） （C） （D）2
解：原不等式化為或，
所表示的平面區(qū)域如右圖所示，，，
∴，故選B
4.（05全國卷1文13）若正整數(shù)m滿足，則m = 。
解：∵，∴，即，
∴，即 ，∴．
今天，我怕誰之二，拓展延伸篇
1.（2010全國卷2文2）不等式＜0的解集為 （ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】A ：本題考查了不等式的解法
∵ ，∴ ，故選A
2．（07全國卷2文5）不等式的解集是（ ）C
A． B． C． D．
第七講：直線和圓的方程
今天，我怕誰之一，歷年真題剖析篇
1.(2010全國卷Ⅰ文3)若變量滿足約束條件則的最大值為 （ ）B
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
【解析】畫出可行域（如右圖），，由圖可知,當直線經過點A(1,-1)時，z最大，且最大值為.
2.（2010全國卷Ⅰ文11）已知圓的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點，那么的最小值為 （ ）D
(A) (B) (C) (D)
【命題意圖】本小題主要考查向量的數(shù)量積運算與圓的切線長定理，著重考查最值的求法——判別式法,同時也考查了考生綜合運用數(shù)學知識解題的能力及運算能力.
【解析1】如圖所示：設PA=PB=,∠APO=,則∠APB=，PO=，，
===，令，則，即，由是實數(shù)，所以
，，解得或.故.此時.
【解析2】設，
換元：，
【解析3】建系：園的方程為，設，
3.（ 08全國卷1文10）若直線與圓x2+y2=1有公共點，則 （ ）D
A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C． D．
4.（07全國卷1文6）下面給出四個點中，位于表示的平面區(qū)域內的點是（　　）C
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5.（06全國卷1文7）從圓外一點P（3，2）向這個圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為（ B ）
A、 B、 C、 D、0
圓的圓心為M(1，1)，半徑為1，從外一點向這個圓作兩條切線，則點P到圓心M的距離等于，每條切線與PM的夾角的正切值等于，所以兩切線夾角的正切值為，該角的余弦值等于，選B.
6.（09全國卷Ⅰ文16）若直線被兩平行線所截得的線段的長為，則的傾斜角可以是
① ② ③ ④ ⑤
其中正確答案的序號是 .（寫出所有正確答案的序號）
【解析】本小題考查直線的斜率、直線的傾斜角、兩條平行線間的距離，考查數(shù)形結合的思想。
解：兩平行線間的距離為，由圖知直線與的夾角為，的傾斜角為，所以直線的傾斜角等于或。故填寫①或⑤
7.（08全國卷1文13）若滿足約束條件則的最大值為 ．9
8.（06全國卷1文15）設 z = 2y – x ，式中變量x、y滿足條件，則z的最大值為
，在坐標系中畫出圖象，三條線的交點分別是A(0，1)，B(7，1)，C(3，7)，在△ABC中滿足的最大值是點C，代入得最大值等于11.
9. （05全國卷2文14）圓心為(1,2)且與直線相切的圓的方程為_____________．
解：圓心(1,2)到直線5x-12y-7=0的距離r=,故所求的圓的方程為(x-1)2+(y-2)2=4
今天，我怕誰之二，拓展延伸篇
1. (2010全國卷Ⅱ文5)若變量x,y滿足約束條件 則z=2x+y的最大值為 ( )C
（A）1 (B)2 (C)3 (D)4
∵ 作出可行域，作出目標函數(shù)線，可得直線與 與的交點為最優(yōu)解點，∴即為（1，1），當時
2.（2009全國卷Ⅱ文15）已知圓O：和點A（1，2），則過A且與圓O相切的直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積等于
解析：由題意可直接求出切線方程為y-2=(x-1)，即x+2y-5=0,從而求出在兩坐標軸上的截距分別是5和，所以所求面積為。
3.（08全國卷2文）設變量 ( http: / / www. )滿足約束條件：，則的最小值（ D ）
A． B． C． D．
4.（08全國卷2文）等腰三角形 ( http: / / www. )兩腰所在直線的方程分別為與，原點在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為（ A ）
A．3 B．2 C． D．
5.（06全國卷2文）過點（1，）的直線l將圓(x－2)2＋y2＝4分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線l的斜率k＝ ．
解：(數(shù)形結合)由圖形可知點A在圓的內部, 圓心為O(2,0)要使得劣弧所對的圓心角最小,只能是直線,所以
6.（05全國卷1文9）在坐標平面上，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為 （ ）
（A） （B） （C） （D）2
解：原不等式化為或，
所表示的平面區(qū)域如右圖所示，，，
∴，故選B
7.（05全國卷1文12）設直線過點，且與圓相切，則的斜率是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
解：設過點，且與圓相切的直線的斜率為k,則直線的方程為：y-kx+2k=0,k滿足：1=得k=,選(D).
今天，我怕誰之三 規(guī)律與技巧總結篇
第八講：圓錐曲線
今天，我怕誰之一，常考題型篇
1. 已知點P（x.y）在圓x2+y2=1上，
解析幾何一般就這些題型，做的時候注意體會（有時會考上一些基礎性的問題，如第一、第二定義，焦半徑公式等等，要求把公式記牢）若實在不會做，也應先代入，化簡為Ax2+Bx+c=0的形式，并寫出
今天，我怕誰之二，歷年真題剖析篇
1.（2010全國卷Ⅰ文8）已知、為雙曲線C:的左、右焦點，點P在C上，∠=，則
=（ ）B
(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8
【命題意圖】本小題主要考查雙曲線定義、幾何性質、余弦定理，考查轉化的數(shù)學思想，通過本題可以有效地考查考生的綜合運用能力及運算能力.
【解析1】.由余弦定理得
cos∠P=
4
【解析2】由焦點三角形面積公式得：
4
2. (2010全國卷Ⅰ文16)已知是橢圓的一個焦點，是短軸的一個端點，線段的延長線交于點， 且,則的離心率為 .
【命題意圖】本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質、第二定義、平面向量知識，考查了數(shù)形結合思想、方程思想,本題凸顯解析幾何的特點：“數(shù)研究形，形助數(shù)”，利用幾何性質可尋求到簡化問題的捷徑.
【解析1】如圖，,
作軸于點D1,則由，得
,所以,
即,由橢圓的第二定義得
又由,得
【解析2】設橢圓方程為第一標準形式，設，F(xiàn)分 BD所成的比為2，，代入
，
3.（09全國卷Ⅰ文5）設雙曲線（a＞0,b＞0）的漸近線與拋物線y=x2 +1相切，則該雙曲線的離心率等于( C )
（A） （B）2 （C） （D）
解：設切點，則切線的斜率為.由題意有又
解得: .
4.（09全國卷Ⅰ文12）已知橢圓的右焦點為,右準線為，點，線段交于點，若,則=（ ）
(a). (b). 2 (C). (D). 3
解:過點B作于M,并設右準線與x軸的交點為N，易知FN=1.由題意,故.又由橢圓的第二定義,得.故選A
5.（08全國卷1文14）已知拋物線的焦點是坐標原點，則以拋物線與兩坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為 ．
由拋物線的焦點坐標為為坐標原點得，，則
與坐標軸的交點為，則以這三點圍成的三角形的面積為
6.（08全國卷1文15）在中，，．若以為焦點的橢圓經過點，則該橢圓的離心率 ．
設，則
，.
7.（07全國卷1文4）已知雙曲線的離心率為，焦點是，，則雙曲線方程為（　　）A
A． B． C． D．
8.（07全國卷1文12）拋物線的焦點為，準線為，經過且斜率為的直線與拋物線在軸上方的部分相交于點，，垂足為，則的面積是（　　）C
A． B． C． D．
9.（06全國卷文4）雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則（ A ）
A． B． C． D．
10.（06全國卷1文11）拋物線上的點到直線距離的最小值是（ A ）
A． B． C． D．
11. (05全國卷2文5)拋物線上一點A的縱坐標為4,則點A與拋物線焦點的距離為（ ）
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
這里,故點A與拋物線焦點的距離是4+1=5,選(D)
12. (05全國卷2文6)雙曲線的漸近線方程是（ ）
(A) (B) (C) (D)
在雙曲線中將1改為0即得此雙曲線的漸展程y=,選(C)
13. (2010年全國卷Ⅰ文22) 已知拋物線的焦點為F，過點的直線與相交于、兩點，點A關于軸的對稱點為D .
（Ⅰ）證明：點在直線上；
（Ⅱ）設，求的內切圓的方程 .
14.（09全國卷Ⅰ文22） 如圖，已知拋物線與圓相交于、、、四個點。
（I）求得取值范圍；
（II）當四邊形的面積最大時，求對角線、的交點坐標
分析：（I）這一問學生易下手。將拋物線與圓的方程聯(lián)立，消去，整理得．拋物線與圓相交于、、、四個點的充要條件是：方程（＊）有兩個不相等的正根即可.易得.
（II）考綱中明確提出不考查求兩個圓錐曲線的交點的坐標。因此利用設而不求、整體代入的 方法處理本小題是一個較好的切入點．
設四個交點的坐標分別為、、、。
則由（I）根據(jù)韋達定理有，
則
令，則 下面求的最大值。
方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在兩綱中雖不要求，但在處理一些最值問題有時很方便。它的主要手段是配湊系數(shù)或常數(shù)，但要注意取等號的條件，這和二次均值類似。
當且僅當，即時取最大值。經檢驗此時滿足題意。
方法二：利用求導處理，這是命題人的意圖。具體解法略。
下面來處理點的坐標。設點的坐標為：
由三點共線，則得。以下略。
15.（08全國卷1文22）雙曲線的中心為原點，焦點在軸上，兩條漸近線分別為，經過右焦點垂直于的直線分別交于兩點．已知成等差數(shù)列，且與同向．
（Ⅰ）求雙曲線的離心率；
（Ⅱ）設被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程．
解：（1）設，，
由勾股定理 ( http: / / www. )可得：
得：，，
由倍角公式，解得 則離心率．
（2）過直線方程為 與雙曲線方程聯(lián)立
將，代入，化簡有
將數(shù)值代入，有
解得
最后求得雙曲線方程為：．
16．（07全國卷1文22）已知橢圓的左、右焦點分別為，．過的直線交橢圓于兩點，過的直線交橢圓于兩點，且，垂足為．
（Ⅰ）設點的坐標為，證明：； （Ⅱ）求四邊形的面積的最小值．
（Ⅰ）橢圓的半焦距，
由知點在以線段為直徑的圓上，故，
所以，．
（Ⅱ）（ⅰ）當?shù)男甭蚀嬖谇視r，的方程為，代入橢圓方程，并化簡得．
設，，則
，
；
因為與相交于點，且的斜率為，
所以，．
四邊形的面積 ．
當時，上式取等號．
（ⅱ）當?shù)男甭驶蛐甭什淮嬖跁r，四邊形的面積．
綜上，四邊形的面積的最小值為．
17.（06全國卷1文21）設P是橢圓短軸的一個端點，Q為橢圓上一個動點，求的最大值。
解: 依題意可設P(0,1),Q(x,y),則 |PQ|=,又因為Q在橢圓上,
所以,x2=a2(1－y2) , |PQ|2= a2(1－y2)+y2－2y+1=(1－a2)y2－2y+1+a2 =(1－a2)(y－ )2－+1+a2 .
因為|y|≤1,a>1, 若a≥, 則||≤1, 當y=時, |PQ|取最大值;
若118.（05全國卷2文22）P、Q、M、N四點都在橢圓上，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點.已知與 共線， 與共線，且 · = 0.求四邊形PMQN 的面積的最小值和最大值.
解：∵. 即.
當MN或PQ中有一條直線垂直于x軸時，另一條直線必垂直于y軸. 不妨設MN⊥y軸，則PQ⊥x軸.
∵F(0, 1) ∴MN的方程為：y=1，PQ的方程為：x=0分別代入橢圓中得：|MN|=, |PQ|=2.
∴S四邊形PMQN=|MN|·|PQ|=××2=2.
當MN,PQ都不與坐標軸垂直時，設MN的方程為y=kx+1 (k≠0)，代入橢圓中得：(k2+2)x2+2kx-1=0, ∴x1+x2=, x1·x2=.
∴
同理可得：.
∴S四邊形PMQN=|MN|·|PQ|==
(當且僅當即時，取等號).
又S四邊形PMQN =，∴此時, S四邊形PMQN.
綜上可知：(S四邊形PMQN )max=2, (S四邊形PMQN )min=.
今天，我怕誰之三，拓展延伸篇
1.（2010全國卷Ⅱ文12）已知橢圓C：（a>b>0）的離心率為，過右焦點F且斜率為k（k>0）的直線于C相交于A、B兩點，若。則k = （ ）
（A）1 （B） （C） （D）2
【解析】B：，∵ ，∴ ， ∵ ，設，，∴ ，直線AB方程為。代入消去，∴ ，∴ ，
，解得，
2. (2010全國卷Ⅱ文15)已知拋物線C：y2=2px（p>0）的準線l，過M（1,0）且斜率為的直線與l相交于A，與C的一個交點為B，若，則p=_________
【解析】2：本題考查了拋物線的幾何性質
設直線AB：，代入得，又∵ ，∴ ，解得，解得（舍去）
3.（09全國卷Ⅱ文8）雙曲線的漸近線與圓相切，則r= （ ）
（A） （B）2 （C）3 （D）6
答案：A 解析：本題考查雙曲線性質及圓的切線知識，由圓心到漸近線的距離等于r，可求r=
4.（09全國卷Ⅱ文11）已知直線與拋物線C:相交A、B兩點，F(xiàn)為C的焦點。若,則k= （ ）
(A) (B) (C) (D)
答案：D 解析：本題考查拋物線的第二定義，由直線方程知直線過定點即拋物線焦點（2，0），由及第二定義知聯(lián)立方程用根與系數(shù)關系可求k=。
5.（09全國卷Ⅱ文）已知圓O：和點A（1，2），則過A且與圓O相切的直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積等于
答案： 解析：由題意可直接求出切線方程為y-2=(x-1)，即x+2y-5=0,從而求出在兩坐標軸上的截距分別是5和，所以所求面積為。
6.（08全國卷2文11 ( http: / / www. )）設是等腰三角形，，則以為焦點且過點的雙曲線的離心率為（ B ）
A． B． C． D．
7.（08全國卷2文15 ( http: / / www. )）已知是拋物線的焦點，是上的兩個點，線段AB的中點為，則的面積等于 ．2
8.（07全國卷2文11）設分別是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線上存在點，使且，則雙曲線的離心率為（ ）B
A． B． C． D．
9.（07全國卷2文12）設分別是雙曲線的左、右焦點．若點在雙曲線上，且，則（ ）B
A． B． C． D．
10. (06全國卷2文5)已知△ABC的頂點B、C在橢圓＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是（ C ）
（A）2 （B）6 （C）4 （D）12
11.（06全國卷2文9）已知雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，則雙曲線的離心率為（ A ）
（A） (B) (C) (D)
12.（05全國卷1文5）已知雙曲線的一條準線為，則該雙曲線的離心率為 （ ）
（A） （B） （C） （D）
解：由得，∴，拋物線的準線為，因為雙曲線的一條準線與拋物線的準線重合，所以，解得，所以，所以離心率為，故選D．
13.（2010全國卷Ⅱ文22）已知斜率為1的直線1與雙曲線C：相交于B、D兩點，且BD的中點為M（1.3）
（Ⅰ）求C的離心率；
（Ⅱ）設C的右頂點為A，右焦點為F，|DF|·|BF|=17證明：過A、B、D三點的圓與x軸相切。
14.（09全國卷Ⅱ文20）
（Ⅰ）求a,b的值；
（Ⅱ）C上是否存在點P，使得當l繞F轉到某一位置時，有成立？若存在，求出所有的P的坐標與l的方程；若不存在，說明理由。
解析：本題考查解析幾何與平面向量知識綜合運用能力，第一問直接運用點到直線的距離公式以及橢圓有關關系式計算，第二問利用向量坐標關系及方程的思想，借助根與系數(shù)關系解決問題，注意特殊情況的處理。
解：（Ⅰ）設 當?shù)男甭蕿?時，其方程為到的距離為
故 ， 21世紀教育網 由
得 ，=
（Ⅱ）C上存在點，使得當繞轉到某一位置時，有成立。
由 （Ⅰ）知C的方程為+=6. 設
(ⅰ)
　C成立的充要條件是，
且
整理得
故 ①
將
于是 , =, 代入①解得，，此時 于是=， 即 因此， 當時，， ； 當時，， 。
（ⅱ）當垂直于軸時，由知，C上不存在點P使成立。綜上，C上存在點使成立，此時的方程為.
15.（08全國卷2文22）設橢圓 ( http: / / www. )中心在坐標原點，是它的兩個頂點，直線與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）求四邊形面積的最大值．
解答：（Ⅰ）解：依題設得橢圓的方程為，
直線的方程分別為，．
如圖，設，其中，
且滿足方程，
故．①
由知，得；
由在上知，得．
所以，化簡得，解得或．
（Ⅱ）解法一：根據(jù)點到直線的距離公式和①式知，點到的距離分別為，
．又，所以四邊形的面積為
，
當，即當時，上式取等號．所以的最大值為．
解法二：由題設，，．
設，，由①得，，故四邊形的面積為
，當時，上式取等號．所以的最大值為．
16.（07全國卷2文21）在直角坐標系中，以為圓心的圓與直線相切．
（1）求圓的方程；（2）圓與軸相交于兩點，圓內的動點使成等比數(shù)列，求的取值范圍．
（1）依題設，圓的半徑等于原點到直線的距離，即 ． 得圓的方程為．
（2）不妨設．由即得 ．
設，由成等比數(shù)列，得 ，即 ． 由于點在圓內，故由此得．所以的取值范圍為．
17.（06全國卷2文22）已知拋物線x2＝4y的焦點為F，A、B是拋物線上的兩動點，且＝λ（λ＞0）．過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為Ｍ．
（Ⅰ）證明·為定值；（Ⅱ）設△ABM的面積為S，寫出S＝f(λ)的表達式，并求S的最小值．
提示 F點的坐標為(0,1)設A點的坐標為 B點的坐標為
由可得
因此過A點的切線方程為 (1)
過B點的切線方程為 (2)
解(1)( 2)構成的方程組可得點M的坐標,從而得到=0 即為定值2. =0可得三角形面積
所以 當且僅當時取等號
本題主要考察共線向量的關系,曲線的切線方程,直線的交點以及向量的數(shù)量積等知識點
涉及均值不等式,計算較復雜.難度很大
18.（05全國卷1文22）已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，與共線。
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設M為橢圓上任意一點，且，證明為定值。
今天，我怕誰之四，規(guī)律與技巧總結篇
第九講：立體幾何
今天，我怕誰之一 常考題型篇
1、證垂直
（1）幾何法
線線垂直
線面垂直
面面垂直
2、向量法
線線垂直
線面垂直為α的法向量
法向量求法
求平面ABC的法向量，
面面垂直
為α,β的法向量
求角
1、線面夾角
幾何法：做射影，找出二面角，直接計算
向量法：
找出直線及平面α的法向量，
2、線線成角
幾何法：平移（中點平移，頂點平移）
向量法：
a ,b 夾角，
3、面面成角（二面角）
方法一：直接作二面角（需要證明）
方法二：面積法（一定有垂直才能用）
PC ┴ 面ABC，記二面角P—AB—C為θ，則
（先寫公共邊/點，再按垂線依次往后寫，垂足放在分子）
附：使用時，可能會正弦定理與余弦定理搭配使用。
正弦定理：
余弦定理：
方法三：向量法
求，β所成二面角x，先求α ，法向量 所成的角θ
則
求距離
點到平面的距離
方法一：等體積法（注意點的平移，以及體積的等量代換）
例：求點B到PAC的距離h（已知PB┴面ABC)
(注意余弦定理，正弦定理的綜合應用）
方法二：向量法
同上，設面PAC的法向量為n (可以自行求出），在面PAC上任取一點，不妨礙取P，則
空間向量VS立體幾何
今天，我怕誰之二 歷年真題剖析篇
1.（2010年全國卷Ⅰ文9）正方體ABCD-中，B與平面AC所成角的余弦值為 （ ）
A． B. C. D.
2.（2010年全國卷Ⅰ文12）已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點，若AB=CD=2,則四面體ABCD的體積的最大值為（ ）
(A) (B) (C) (D)
【解析】過CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB與P,設點P到CD的距離為,則有,當直徑通過AB與CD的中點時,,故.
3.（09全國卷Ⅰ文9）已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，在底面上的射影為的中點，則異面直線與所成的角的余弦值為（ D ）
（A） （B） （C） (D)
解：設的中點為D，連結D，AD，易知即為異面直線與所成的角,由三角余弦定理，易知.故選D
4.（09全國卷Ⅰ文11）已知二面角α-l-β為 ，動點P、Q分別在面α、β內，P到β的距離為，Q到α的距離為，則P、Q兩點之間距離的最小值為（ C ）
(A) (B)2 (C) (D)4
解:如圖分別作 ，連
，又
當且僅當，即重合時取最小值。故答案選C。
5.（08全國1文11）已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，在底面內的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（ C ）
A． B． C． D．
6.（07全國Ⅰ文7）如圖，正四棱柱中，，則異面直線所成角的余弦值為（ D ）
A． B． C． D．
7.（06全國卷1文7）已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積是 （ ）
A． B． C． D．
正四棱柱高為4，體積為16，底面積為4，正方形邊長為2，正四棱柱的對角線長即球的直徑為2，∴ 球的半徑為，球的表面積是，選C.
8.（05全國卷2文2）正方體中，、、分別是、、的中點．那么，正方體的過、、的截面圖形是 （ ）
(A)三角形 （B）四邊形 （C）五邊形 （D）六邊形
解：如圖, 正方體的過、、的截面圖形是六邊形PMRSQ,選(D)
9.（05全國卷2文12）的頂點B在平面內，、在的同一側，、與所成的角分別是和．若＝３，＝，＝５，則與所成的角為 （ ）
（A） （B） （C） （D）
解：如圖，AE⊥平面α于E,CD⊥平面α于D,EF∥AC,EF交CD于F,則∠ABE=300,
∠CBD=450,由此得CD=4,AE=1.5,∴EF=2.5,而EF=AC=5 ∴∠FED=300,即AC與平面
α所成的角為300,∴選(C)
10.（09全國卷Ⅰ文15）已知為球的半徑，過的中點且垂直于的平面截球面得到圓，若圓的面積為，則球的表面積等于__________________.
【解析】本小題考查球的截面圓性質、球的表面積，基礎題。
解：設球半徑為，圓M的半徑為，則，即由題得，所以。
11.（08全國卷1文16）已知菱形中，，，沿對角線將折起，使二面角為，則點到所在平面的距離等于 ．
12.（07全國卷Ⅰ文15）正四棱錐的底面邊長和各側棱長都為，點S，A，B，C，D都在同一個球面上，則該球的體積為_________．
13.（06全國卷1文14）已知正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為，則側面與底面所成的二面角等于_______________。
正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為，底面邊長為2，底面積為12，所以正四棱錐的高為3，則側面與底面所成的二面角的正切tanα=, ∴ 二面角等于。
14.（05全國卷2文16）下面是關于三棱錐的四個命題：
①底面是等邊三角形，側面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐．
②底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐．
③底面是等邊三角形，側面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐．
④側棱與底面所成的角相等，且側面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐．
其中，真命題的編號是_____________．（寫出所有真命題的編號）
解：正確的命題為①④
15. （2010年全國卷Ⅰ文20）如圖，四棱錐S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上的一點，平面EDC平面SBC .
（Ⅰ）證明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .
(Ⅱ) 由知
. 故為等腰三角形.
取中點F,連接,則.
連接，則. 所以，是二面角的平面角.
連接AG,AG=,,
，所以，二面角的大小為120°.
解法二：
以D為坐標原點，射線為軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系，
，
故.
令，則.
由平面得.
故.
(Ⅱ) 由（Ⅰ）知,取中點F，則,,
故,由此得.
又,故由此得,
向量與的夾角等于二面角的平面角.
于是 ，所以，二面角的大小為120°.
16.（09全國卷Ⅰ文19）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，，點在側棱上，。
（I）證明：是側棱的中點； 求二面角的大小。
【解析】本小題考查空間里的線線關系、二面角，綜合題。
（I）解法一：作∥交于N，作交于E，
連ME、NB，則面，,
設，則,
在中，。在中由解得，從而 M為側棱的中點M.
解法二:過作的平行線.
（II）分析一:利用三垂線定理求解。在新教材中弱化了三垂線定理。這兩年高考中求二面角也基本上不用三垂線定理的方法求作二面角。
過作∥交于,作交于,作交于,則∥,面,面面,面即為所求二面角的補角.
法二：利用二面角的定義。在等邊三角形中過點作交于點，則點為AM的中點，取SA的中點G，連GF，易證，則即為所求二面角.
解法二、分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標系D—xyz，則。
（Ⅰ）設，則
，
，由題得
，即解之個方程組得即
所以是側棱的中點。
法2：設，則
又故，即
，解得，所以是側棱的中點。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，
設分別是平面、的法向量，則
且，即且
分別令得，即
，
∴
二面角的大小。
17.（08全國卷1文18）四棱錐中，底面為矩形，側面底面，，，．
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）設與平面所成的角為，求二面角的大小．
解：（1）取中點，連接交于點，
，，
又面面，面，
．
，
，，即，
面，．
（2）在面內過點作的垂線，垂足為．
，，面，，
則即為所求二面角的平面角．
，，，
，則，
，即二面角的大小．
18.（07全國Ⅰ文19）四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面SBC⊥底面ABCD。已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2，SA＝SB＝。
(Ⅰ)證明：SA⊥BC； (Ⅱ)求直線SD與平面SAB所成角的大小；
解答：解法一：
（Ⅰ）作，垂足為，連結，由側面底面，得底面．
因為，所以，
又，故為等腰直角三角形，，
由三垂線定理，得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依題設，
故，由，，，得
，．
的面積．
連結，得的面積
設到平面的距離為，由于，得
，
解得．
設與平面所成角為，則．
所以，直線與平面所成的我為．
解法二：
（Ⅰ）作，垂足為，連結，由側面底面，得平面．
因為，所以．
又，為等腰直角三角形，．
如圖，以為坐標原點，為軸正向，建立直角坐標系，
，，，，，
，，所以．
（Ⅱ）取中點，，
連結，取中點，連結，．
，，．
，，與平面內兩條相交直線，垂直．
所以平面，與的夾角記為，與平面所成的角記為，則與互余．
，．
，，
所以，直線與平面所成的角為．
19.（06全國卷1文20）如圖，、是互相垂直的異面直線，MN是它們的公垂線線段，
點A、B在上，C在上，AM = MB = MN。
（Ⅰ）證明AC⊥NB；
（Ⅱ）若∠ACB = 60°，求NB與平面ABC所成角的余弦值。
.解法一: (Ⅰ)由已知l2⊥MN, l2⊥l1 , MN∩l1 =M, 可得l2⊥平面ABN.由已知MN⊥l1 , AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB. 又AN為AC在平面ABN內的射影.
∴AC⊥NB
（Ⅱ）∵Rt△CAN≌Rt△CNB, ∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC為正三角形.
∵Rt△ANB≌Rt△CNB, ∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC內的射影H是正三角形ABC的中心,連結BH,∠NBH為NB與平面ABC所成的角.
在Rt△NHB中,cos∠NBH= = = .
解法二: 如圖,建立空間直角坐標系M－xyz.令MN=1, 則有A(－1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),
(Ⅰ)∵MN是 l1、l2的公垂線, l1⊥l2, ∴l(xiāng)2⊥平面ABN. l2平行于z軸. 故可設C(0,1,m).于是 =(1,1,m), =(1,－1,0). ∴·=1+(－1)+0=0 ∴AC⊥NB.
(Ⅱ)∵ =(1,1,m), =(－1,1,m), ∴||=||, 又已知∠ACB=60°,∴△ABC為正三角形,AC=BC=AB=2. 在Rt△CNB中,NB=, 可得NC=,故C(0,1, ).
連結MC,作NH⊥MC于H,設H(0,λ, λ) (λ>0). ∴=(0,1－λ,－λ),
=(0,1, ). · = 1－λ－2λ=0, ∴λ= ,
∴H(0, , ), 可得=(0,, － ), 連結BH,則=(－1,, ),
∵·=0+ － =0, ∴⊥, 又MC∩BH=H,∴HN⊥平面ABC,
∠NBH為NB與平面ABC所成的角.又=(－1,1,0),
∴cos∠NBH= = =
20.（05全國卷2文20）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD垂直于底面ABCD，AD=PD，E、F分別為CD、PB的中點．
（Ⅰ）求證：EF垂直于平面PAB；（Ⅱ）設AB=BC，求AC與平面AEF所成的角的大小．
本小題主要考查直線與平面垂直、直線與平面所成角的有關知識，及思維能力和空間想象能力，考查應用向量知識解決數(shù)學問題的能力。滿分12分。
方法一：
（I）證明：連結EP
DE在平面ABCD內
，又CE＝ED，PD＝AD＝BC
為PB中點
由三垂線定理得
在中，又
PB、FA為平面PAB內的相交直線平面PAB
（II）解：不妨設BC＝1，則AD＝PD＝1
為等腰直角三角形，且PB＝2，F(xiàn)為其斜邊中點，BF＝1，且
與平面AEF內兩條相交直線EF、AF都垂直 平面AEF
連結BE交AC于G，作GH//BP交EF于H，則平面AEF
為AC與平面AEF所成的角
由可知
由可知
與平面AEF所成的角為
方法二：
以D為坐標原點，DA的長為單位，建立如圖所示的直角坐標系
（1）證明：
設E（a，0，0），其中，則C（2a，0，0），A（0，1，0），B（2a，1，0），P（0，0，1），F(xiàn)（a，，）
又平面PAB，平面PAB，
平面PAB
（II）解：由，得
可知異面直線AC、PB所成的角為
又，EF、AF為平面AEF內兩條相交直線平面AEF與平面AEF所成的角為即AC與平面AEF所成的角為
今天，我怕誰之三 拓展延伸篇
1. （2010年全國卷Ⅱ文8）已知三棱錐中，底面ABC為變長等于2的等邊三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直線AB與平面SBC所成的角 的正弦值為 （ ）D
（A） （B） （C） （D）
【解析】D：本題考查了立體幾何的線與面、面與面位置關系及直線與平面所成角。
過A作AE垂直于BC交BC于E，連結SE，過A作AF垂直于SE交SE于F，連BF，∵正三角形ABC，∴ E為BC中點，∵ BC⊥AE，SA⊥BC，∴ BC⊥面SAE，∴ BC⊥AF，AF⊥SE，∴ AF⊥面SBC，∵∠ABF為直線AB與面SBC所成角，由正三角形邊長3，∴ ，AS=3，∴ SE=，AF=，∴
2.（2010全國卷Ⅱ文11）與正方體的三條棱、、所在直線的距離相等的點（　）
（A）有且只有1個 （B）有且只有2個
（C）有且只有3個 （D）有無數(shù)個
【解析】直線上取一點，分別作垂直于于則分別作，垂足分別為M，N，Q，連PM，PN，PQ，由三垂線定理可得，PN⊥PM⊥；PQ⊥AB，由于正方體中各個表面、對等角全等，所以，∴PM=PN=PQ，即P到三條棱AB、CC1、A1D1.所在直線的距離相等所以有無窮多點滿足條件，故選D.
∵到三條兩垂直的直線距離相等的點在以三條直線為軸，以正方體邊長為半徑的圓柱面上，∴三個圓柱面有無數(shù)個交點，
3.（09全國卷Ⅱ文5） 已知正四棱柱中，=，為重點，則異面直線與所形成角的余弦值為 （ ）
（A） (B) (C) (D)
解析：本題考查異面直線夾角求法，方法一：利用平移，CD’∥BA',因此求△EBA'中∠A'BE即可，易知EB=,A'E=1,A'B=,故由余弦定理求cos∠A'BE=，或由向量法可求。
4.（09全國卷Ⅱ文12）紙質的正方體的六個面根據(jù)其方位分別標記為上、下、東、南、西、北。現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開、外面朝上展平，得到右側的平面圖形，則標“△”的面的方位是 （ ）B
（A）南 （B）北 （C）西 （D）下
解析：.此題用還原立體圖方法直接得出結果，使上在正上方依次找到對應面即可。
5.（09全國卷Ⅱ文16）設OA是球O的半徑，M是OA的中點，過M且與OA成45°角的平面截球O的表面得到圓C。若圓C的面積等于，則球O的表面積等于
解析：本題考查立體幾何球面知識，注意結合平面幾何知識進行運算，由
6.（08全國卷2文8）正四棱錐的側棱長為，側棱與底面所成的角為，則該棱錐的體積為（ B ）
A．3 B．6 C．9 D．18
7.（08全國卷2文12）已知球的半徑為2，相互垂直的兩個平面分別截球面得兩個圓．若兩圓的公共弦長為2，則兩圓的圓心距等于（ C ）
A．1 B． C． D．2
8.（08全國卷2文）平面內的一個四邊形為平行四邊形的充要條件有多個，如兩組對邊分別平行，類似地，寫出空間中的一個四棱柱為平行六面體的兩個充要條件：
充要條件① ；
充要條件② ．
（寫出你認為正確的兩個充要條件）
(兩組相對側面分別平行；一組相對側面平行且全等；對角線交于一點；底面是平行四邊形．
注：上面給出了四個充要條件．如果考生寫出其他正確答案，同樣給分．)
9．（07全國卷2文7）已知三棱錐的側棱長的底面邊長的2倍，則側棱與底面所成角的余弦值等于（ ）A
A． B． C． D．
10．（07全國卷2文15）一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2cm的球面上．如果正四棱柱的底面邊長為1cm，那么該棱柱的表面積為 cm．
11.（06全國卷2文7）如圖，平面平面，與兩平面、所成的角分別為和。過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為、若AB=12,則( )
（A）4　　　（B）6 （C）8　　　　（D）9
解：連接,設AB=a,可得AB與平面所成的角為,在,同理可得AB與平面所成的角為,所以,因此在,所以,故選A
12. （06全國卷2文14）圓是以為半徑的球的小圓，若圓的面積和球的表面積的比為，則圓心到球心的距離與球半徑的比 。
解：設圓的半徑為r，則＝，＝，由得r R＝ 3
又，可得1 3
13. （05全國卷1文2）一個與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為，則球的表面積為 （ ）
（A） （B） （C） （D）
解：∵截面圓面積為，∴截面圓半徑， ∴球的半徑為，
∴球的表面積為，故選Ｂ．
14.（05全國卷1文4）如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且均為正三角形，EF∥AB，EF=2，則該多面體的體積為 （ A ）
（A） （B）
（C） （D）
解：如圖,過A、B兩點分別作AM、BN垂直于EF，垂足分別為M、N，連結DM、CN，可證得DM⊥EF、CN⊥EF，多面體ABCDEF分為三部分，多面體的體積V為，∵，，∴，
作NH垂直于點H，則H為BC的中點，則，∴，∴，
，，∴，故選A．
15.（05全國卷1文16）在正方形中，過對角線的一個平面交于E，交于F，
1 四邊形一定是平行四邊形
1 四邊形有可能是正方形
1 四邊形在底面ABCD內的投影一定是正方形
1 四邊形有可能垂直于平面
以上結論正確的為 。（寫出所有正確結論的編號）
解：①平面與相對側面相交，交線互相平行，
∴四邊形一定是平行四邊形；
②四邊形若是正方形，則，又，
∴平面，產生矛盾；
③四邊形在底面ABCD內的投影是正方形；
④當E、F分別是、的中點時，，又平面，
∴四邊形有可能垂直于平面,∴填①③④.
16. （2010年全國卷Ⅱ文19）如圖，直三棱柱中，，，為的中點，為上的一點，．
（Ⅰ）證明：為異面直線與的公垂線；
（Ⅱ）設異面直線與的夾角為45°，求二面角的大小．
解法一：
（I）連接A1B，記A1B與AB1的交點為F.
因為面AA1BB1為正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D為BB1的中點，故DE∥BF，DE⊥AB1。
作CG⊥AB，G為垂足，由AC=BC知，G為AB中點，又由底面ABC⊥面AA1B1B.連接DG，則DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂線定理，得DE⊥CD。所以DE為異面直線AB1與CD的公垂線.
（II）因為DG∥AB 1，故∠CDG為異面直線AB 1與CD的夾角，∠CDG=45°
設AB=2，則AB1=，DG=，CG=，AC=

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