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中考數學專項復習訓練《有關直線形翻折問題》
例題分析
1、（2012天津）已知一個矩形紙片，將該紙片放置在平面直角坐標系中，點，點，點為邊上的動點（點不與點、重合），經過點、折疊該紙片，得點和折痕．設．
（Ⅰ）如圖①，當時，求點的坐標；

（Ⅱ）如圖②，經過點再次折疊紙片，使點落在直線上，得點和折痕，若，試用含有的式子表示；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當點恰好落在邊上時，求點的坐標（直接寫出結果即可）．
解：（Ⅰ）根據題意，，，
在中，由，，得．
根據勾股定理，，
即 ，解得（舍去）．∴ 點的坐標為．
（Ⅱ）∵ 、分別是由、折疊得到的，
有≌，≌．
∴ ，．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
又，
∴ ∽，有．
由題設，，，，則，．
∴ ． ∴ （）即為所求．
（Ⅲ）點的坐標為或．
2、（2012深圳）如圖，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點C與點A重合，折痕交AD于點E，交BC于點F，連接AF、CE。
（1）求證：四邊形AFCE為菱形；
（2）設AE＝a，ED＝b ，DC＝c，請寫出一個a、b、c三者之間的數量關系式。
解（1）∵△AEF與△CEF關于直線EF成軸對稱
∴△AEF≌△CEF
∴AE＝CE，AF＝CF，∠1＝∠2
在矩形ABCD中，AD∥BC
∴∠2＝∠3
∴∠1＝∠3
∴AE＝AF
∴AE＝EC＝CF＝FA
∴四邊形AECF為菱形
（2）AE＝a，ED＝b，DC＝c，AE＝CE＝a
∵ED2＋CD2＝CE2
∴b2＋c2＝a2
3、（2012廣東）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿對角線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于點G；E、F分別是C′D和BD上的點，線段EF交AD于點H，把△FDE沿EF折疊，使點D落在D′處，點D′恰好與點A重合．
（1）求證：△ABG≌△C′DG；
（2）求tan∠ABG的值；
（3）求EF的長．
考點：翻折變換（折疊問題）；全等三角形的判定與性質；矩形的性質；解直角三角形。
解答：（1）證明：∵△BDC′由△BDC翻折而成，
∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，
∴∠ABG=∠ADE，
在：△ABG≌△C′DG中，
∵，
∴△ABG≌△C′DG；
（2）解：∵由（1）可知△ABG≌△C′DG，
∴GD=GB，
∴AG+GB=AD，設AG=x，則GB=8﹣x，
在Rt△ABG中，
∵AB2+AG2=BG2，即62+x2=（8﹣x）2，解得x=，
∴tan∠ABG===；
（3）解：∵△AEF是△DEF翻折而成，
∴EF垂直平分AD，
∴HD=AD=4，
∴tan∠ABG=tan∠ADE=，
∴EH=HD×=4×=，
∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，
∴HF是△ABD的中位線，
∴HF=AB=×6=3，
∴EF=EH+HF=+3=．
4、如圖11，一張矩形紙片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿對角線BD折疊，
點C落在點C′的位置，BC′交AD于點G.
（1）求證：AG=C′G；
（2）如圖12，再折疊一次，使點D與點A重合，的折痕EN，EN角AD于M，求EM的長.
解（1）證明：如圖4，由對折和圖形的對稱性可知，
CD＝C′D，∠C＝∠C′＝90°
在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°
∴AB＝C’D，∠A＝∠C’, 在△ABG和△C’DG中，
∵AB＝C’D，∠A＝∠C’，∠AGB＝∠C’GD
∴△ABG≌△C’DG（AAS）, ∴AG＝C’G
（2）解：如圖5，設EM＝x，AG＝y，則有：
C’G＝y，DG＝8－y， DM=AD=4cm
在Rt△C’DG中，∠DC’G＝90°，C’D＝CD＝6，
∴即：,解得：
∴C’G＝cm，DG＝cm
又∵△DME∽△DC’G
∴， 即： 解得：, 即：EM＝（cm）
∴所求的EM長為cm。
5、（2012德州）如圖所示，現有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．
（1）求證：∠APB=∠BPH；
（2）當點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發生變化？并證明你的結論；
（3）設AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數關系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．
考點：
翻折變換（折疊問題）；二次函數的最值；全等三角形的判定與性質；正方形的性質。
分析：
（1）根據翻折變換的性質得出∠PBC=∠BPH，進而利用平行線的性質得出∠APB=∠PBC即可得出答案；
（2）首先證明△ABP≌△QBP，進而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；
（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，進而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函數的最值求出即可．
解答：
（1）解：如圖1，∵PE=BE，
∴∠EBP=∠EPB．
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP．
即∠PBC=∠BPH．
又∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH．
（2）△PHD的周長不變為定值8．
證明：如圖2，過B作BQ⊥PH，垂足為Q．
由（1）知∠APB=∠BPH，
又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，
∴△ABP≌△QBP．
∴AP=QP，AB=BQ．
又∵AB=BC，
∴BC=BQ．
又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，
∴△BCH≌△BQH．
∴CH=QH．
∴△PHD的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．
（3）如圖3，過F作FM⊥AB，垂足為M，則FM=BC=AB．
又∵EF為折痕，
∴EF⊥BP．
∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，
∴∠EFM=∠ABP．
又∵∠A=∠EMF=90°，
∴△EFM≌△BPA．
∴EM=AP=x．
∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2．
解得，．
∴．
又四邊形PEFG與四邊形BEFC全等，
∴．
即：．
配方得，，
∴當x=2時，S有最小值6．
點評：
此題主要考查了翻折變換的性質以及全等三角形的判定與性質和勾股定理、二次函數的最值問題等知識，熟練利用全等三角形的判定得出對應相等關系是解題關鍵．
6．（2011?河池）如圖1，在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB為一邊，在△OAB外作等邊三角形OBC，D是OB的中點，連接AD并延長交OC于E．
（1）求點B的坐標；
（2）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；
（3）如圖2，將圖1中的四邊形ABCO折疊，使點C與點A重合，折痕為FG，求OG的長．
考點：
翻折變換（折疊問題）；坐標與圖形性質；等邊三角形的性質；平行四邊形的判定與性質．
分析：
（1）由在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，根據三角函數的知識，即可求得AB與OA的長，即可求得點B的坐標；
（2）首先可得CE∥AB，D是OB的中點，根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可證得BD=AD，∠ADB=60°，又由△OBC是等邊三角形，可得∠ADB=∠OBC，根據內錯角相等，兩直線平行，可證得BC∥AE，繼而可得四邊形ABCD是平行四邊形；
（3）首先設OG的長為x，由折疊的性質可得：AG=CG=8﹣x，然后根據勾股定理可得方程（8﹣x）2=x2+（4）2，解此方程即可求得OG的長．
解答：
（1）解：在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，∴OA=OB?cos30°=8×=4，
AB=OB?sin30°=8×=4，∴點B的坐標為（4，4）；
（2）證明：∵∠OAB=90°，∴AB⊥x軸，∵y軸⊥x軸，∴AB∥y軸，即AB∥CE，
∵∠AOB=30°，∴∠OBA=60°，∵DB=DO=4∴DB=AB=4∴∠BDA=∠BAD=120°÷2=60°，
∴∠ADB=60°，∵△OBC是等邊三角形，∴∠OBC=60°，∴∠ADB=∠OBC，即AD∥BC，
∴四邊形ABCE是平行四邊形；
（3）解：設OG的長為x，∵OC=OB=8，∴CG=8﹣x，
由折疊的性質可得：AG=CG=8﹣x，在Rt△AOG中，AG2=OG2+OA2，
即（8﹣x）2=x2+（4）2，解得：x=1，即OG=1．
點評：
此題考查了折疊的性質，三角函數的性質，平行四邊形的判定，等邊三角形的性質，以及勾股定理等知識．此題難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想與方程思想的應用，注意折疊中的對應關系．
　
7．（2009?遵義）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，E為BC上一點，將紙片沿AE翻折，使點E與CD邊上的點F重合．
（1）求線段EF的長；
（2）若線段AF上有動點P（不與A、F重合），如圖（2），點P自點A沿AF方向向點F運動，過點P作PM∥EF，PM交AE于M，連接MF，設AP=x（cm），△PMF的面積為y（cm）2，求y與x的函數關系式；
（3）在題（2）的條件下，△FME能否是等腰三角形？若能，求出AP的值，若不能，請說明理由．
考點：
翻折變換（折疊問題）．
專題：
壓軸題．
分析：
（1）根據折疊的性質知AB=AF=10cm，可在Rt△ADF中根據勾股定理求出DF的長，進而可求出CF的值；在Rt△CEF中，根據折疊的性質知BE=EF，可用EF表示出CE，進而由勾股定理求出EF的長；
（2）由于PM∥EF，而∠AFE=∠ABE=90°，因此PM⊥AF；在（1）中已經求得AF、EF的長，易證得△APM∽△AFE，根據相似三角形所得比例線段即可求得PM的表達式；知道了Rt△PMF兩條直角邊的長，即可求出其面積，由此可得到關于y、x的函數關系式；
（3）在Rt△PMF中，根據PM、MF的表達式，即可由勾股定理求得MF的表達式；若△FME是等腰三角形，則可能有三種情況：①MF=ME，②MF=EF，③ME=EF；可根據上述三種情況所得不同等量關系求出x的值．
解答：
解：（1）根據折疊的性質知：∠ABE=∠AFE=90°，AB=AF=10cm，EF=BE；
Rt△ADF中，AF=10cm，AD=8cm；由勾股定理得：DF=6cm；
∴CF=CD﹣DF=10﹣6=4cm；
在Rt△CEF中，CE=BC﹣BE=BC﹣EF=8﹣EF，由勾股定理得：
EF2=CF2+CE2，即EF2=42+（8﹣EF）2，解得EF=5cm；
（2）∵PM∥EF，
∴PM⊥AF，△APM∽△AFE；∴，即，PM=；
在Rt△PMF中，PM=，PF=10﹣x；則S△PMF=（10﹣x）?=﹣x2+x；（0＜x＜10）
（3）在Rt△PMF中，由勾股定理，得：MF==；
同理可求得AE==5，AM==x；∴ME=5﹣x；
若△FME能否是等腰三角形，則有：
①MF=ME，則MF2=ME2，即：x2﹣20x+100=（5﹣x）2，解得x=5；
②MF=EF，則MF2=EF2，即：x2﹣20x+100=25，化簡得：x2﹣16x+60=0，解得x=6，x=10（舍去）；
③ME=EF，則有：5﹣x=5，解得x=10﹣2；
綜上可知：當AP的長為5cm或6cm或（10﹣2）cm時，△FME是等腰三角形．
點評：
此題考查了矩形的性質、圖形的折疊變換、相似三角形的判定和性質、勾股定理以及等腰三角形的判定等重要知識點，在等腰三角形的腰和底不明確的情況下，一定要分類討論，以免漏解．
8．（2009?浙江）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，點P在線段AB上運動，設AP=x，現將紙片折疊，使點D與點P重合，得折痕EF（點E、F為折痕與矩形邊的交點），再將紙片還原．
（1）當x=0時，折痕EF的長為　3　；當點E與點A重合時，折痕EF的長為　　；
（2）請寫出使四邊形EPFD為菱形的x的取值范圍，并求出當x=2時菱形的邊長；
（3）令EF2=y，當點E在AD、點F在BC上時，寫出y與x的函數關系式．當y取最大值時，判斷△EAP與△PBF是否相似？若相似，求出x的值；若不相似，請說明理由．溫馨提示：用草稿紙折折看，或許對你有所幫助哦！
考點：
翻折變換（折疊問題）；二次函數綜合題；相似三角形的性質．
專題：
代數幾何綜合題．
分析：
（1）當x=0時，點A與點P重合，則折痕EF的長等于矩形ABCD中的AB，當點E與點A重合時，折痕是一個直角的角平分線，可求EF=；
（2）由題意可知，EF垂直平分線段DP，要想使四邊形EPFD為菱形，則EF也應被DP平分，所以點E必須要在線段AB上，點F必須在線段DC上，即可確定x的取值范圍．再利用勾股定理確定菱形的邊長．
（3）構造直角三角形，利用相似三角形的對應線段成比例確定y的值，再利用二次函數的增減性確定y的最大值．
解答：
解：（1）當x=0時，折痕EF=AB=3，當點E與點A重合時，折痕EF==．
（2）1≤x≤3．當x=2時，如圖，連接DE、PF．∵EF為折痕，∴DE=PE，
令PE為m，則AE=2﹣m，DE=m，在Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2
∴1+（2﹣m）2=m2，解得m=；此時菱形邊長為．
（3）如圖2，過E作EH⊥BC；∵△EFH∽△DPA，∴，∴FH=3x；∴y=EF2=EH2+FH2=9+9x2；
當F與點C重合時，如圖3，連接PF；
∵PF=DF=3，∴PB=，∴0≤x≤3﹣2；
∵函數y=9+9x2的值在y軸的右側隨x的增大而增大，∴當x=3﹣2時，y有最大值，
此時∠EPF=90°，△EAP∽△PBF．
綜上所述，當y取最大值時△EAP∽△PBF，x=3﹣2．
中考數學專項復習訓練《有關直線形翻折問題》練習
1、如圖，等邊△ABC的邊長為1 cm，D、E分別是AB、
AC上的點，將△ADE沿直線DE折疊，點A落在點
處，且點在△ABC外部，則陰影部分圖形的周長
為 cm．
解：由折疊可得AD=A′D；AE=A′E， ∴陰影部分圖形的周長為AB+BC+AC=3cm．
2、如圖，D,E為兩邊AB,AC的中點，將沿線段DE折疊，使點A落在點F處，若，則 .
解：∵D、E為△ABC兩邊AB、AC的中點，即DE是三角形的中位線．∴DE∥BC∴∠ADE=∠B=55°∴∠EDF=∠ADE=55°∴∠BDF=180-55-55=70°．
3、直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6，8，現將如圖那樣折疊，使點與點 重合，折痕為，則DE的值是 .

（2題） （3題）
矩形紙片ABCD中，AD=4cm,AB=10cm,按如圖的方式折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則DE= cm.

5、如圖，中，，將沿DE折疊，使點C落在AB邊上的C’處，并且C’D//BC,則CD的長是（ ）
A. B. C. D.

（5題）
6、將如圖①的矩形ABCD紙片沿EF折疊得到圖②，折疊后DE與BF相交于點P，如果∠BPE=130°，則∠PEF的度數為( )A．60° B．65° C．70° D．75°
7、如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，若將矩形折疊，使B點與D點重合，則折痕EF的長為 。
8、如圖，將兩張長為8，寬為2的矩形紙條交叉，使重疊部分是一個菱形，容易知道當兩張紙條垂直時，菱形的周長有最小值8，那么菱形周長的最大值是 ．
9、如圖，已知矩形紙片ABCD，點E是AB的中點，點G是BC上的一點，∠BEG＞60o. 現沿直線E將紙片折疊,使點B落在紙片上的點H處，連接AH，則與∠BEG相等的角的個數為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1

10、如圖，將矩形紙片ABCD沿AE向上折疊，使點B落在DC邊上的F點。若△AFD的周長為9，△ECF的周長為3，則矩形ABCD的周長為_______.
解：由折疊的性質知，AF=AB，EF=BE．所以矩形的周長等于△AFD和△CFE的周長的和為9+3=12．故矩形ABCD的周長為12．
11、如圖，把一張矩形紙片沿折疊后，點
分別落在的位置上，交于點．
已知，那么 ．
12、如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使AD邊 與對角線BD重合，折痕為DG，則AG的長為（ ）C
A．1 B． C． D．2
13、如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8cm.把矩形紙片沿直線AC折疊，點B落在點E處，AE交DC于點F，AF=cm,則AD的長為（ C ）A 4cm B 5cm C 6cm D 7cm

13題 14題
14、矩形紙片ABCD中，AD=4cm,AB=10cm,按如圖的方式折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則DE= ___________cm.29/5
15．如圖5，四邊形ABCD為矩形紙片，把紙片ABCD折疊，使點B恰好落在CD邊的中點E處，折痕為AF，若CD=6，則AF等于（ ）
(A) 4 (B) 3 (C) 4 (D) 8

16、將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，AE、EF為折痕，∠BAE＝30°，AB＝，折疊后，點C落在AD邊上的C1處，并且點B落在EC1邊上的B1處．則BC的長為（ ）．
A、 B、2 C、3 D、
（17題圖）
17、如圖所示，折疊長方形一邊AD，點D落在BC邊的點F處，已知BC=10厘米，AB=8厘米，求FC和EF的長 4 __、_____5_
18、如圖所示，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D，C分別落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，則∠AED′等于 （ ） C
（A） 70° （B） 65° （C） 50° （D） 25°

（19題） （20題）
19、將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，AE、EF為折痕，∠BAE＝30°，AB＝，折疊后，點C落在AD邊上的C1處，并且點B落在EC1邊上的B1處．則BC的長為（ ）．C
A、 B、2 C、3 D、
20、如圖矩形紙片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一點E，ED＝2cm，AD上有一點P，PD＝3cm，過P作PF⊥AD交BC于F，將紙片折疊，使P點與E點重合，折痕與PF交于Q點，則PQ的長是____________cm.
21、如圖，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm．點E、F分別在AB、
CD上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點A、D分別落在矩形ABCD
外部的點A1、D1處，則整個陰影部分圖形的周長為（ ）B
A．18cm B．36cm C．40cm D．72cm
22、矩形紙片ABCD中，AB＝3，AD＝4，將紙片折疊，使點B落在邊CD上的B’處，折痕為AE．在折痕AE上存在一點P到邊CD的距離與到點B的距離相等，則此相等距離為________．
23、如圖，小章利用一張左、右兩邊已經破損的長方形紙片ABCD做折
紙游戲，他將紙片沿EF折疊后，D、C兩點分別落在D ′、C ′的位
置，并利用量角器量得∠EFB＝65°，則∠AED ′等于 ▲ 度．
24、正方形ABCD邊長為a，點E、F分別是對角線BD上的兩點，過點E、F分別作AD、AB的平行線，如圖所示，則圖中陰影部分的面積之和等于 ．

25題圖
25、如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，折痕為DG，則AG的長為（ ）C
A．1 B． C． D．2
26、矩形ABCD中，E、F、M為AB、BC、CD邊上的點，且AB=6,BC=7,AE=3,DM=2,EF⊥FM,則EM的長為（ B ）
A．5 B． C．6 D．
27、如圖，點P是矩形ABCD的邊AD上的一個動點，矩形的兩條邊AB、AC的
長分別為3和4，那么點P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和是（ ）A
A． B． C． D．不確定
28、如圖，將矩形ABCD紙片沿EF折疊，使D點與BC邊的中點D’重合，若BC=8，CD=6，則CF=____________.5/3
29、矩形紙片ABCD的邊長AB=4，AD=2．將矩形紙片沿EF折疊，使點A與點C重合，折疊后在其一面著色（如圖），則著色部分的面積為（ ）B
A． 8 B．
C． 4 D．
30、如圖，將邊長為8㎝的正方形ABCD折疊，使點D落在BC邊的中點E處，點A落在F處，折痕為MN，則線段CN的長是（ ）C
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm


 31題
31、如圖所示，正方形的面積為12，是等邊三角形，點在正方形內，在對角線上有一點，使的和最小，則這個最小值為（ ） A
A． B． C．3 D．
32、如圖①，矩形ABCD，AB=12cm，AD=16cm，現將其按下列步驟折疊：
（1）將△BAD對折，使AB落在AD上，得到折痕AF，如圖②
（2）將△AFB沿BF折疊，AF與DC交點G，如圖③
則所得梯形BDGF的周長等于（ ）
A.12+2 B.24+2 C.24+4 D.12+4

33、把長為8cm的矩形按虛線對折，按圖中的虛線剪出一個直角梯形，打開得到一個等腰梯形，剪掉部分的面積為6cm2，則打開后梯形的周長是（ ）

34、如圖所示，如果將矩形紙沿虛線①對折后，沿虛線②剪開，剪出一個
直角三角形，展開后得到一個等腰三角形.則展開后三角形的周長是（ B ）.
A．2＋ B．2＋2 C．12 D．18
35、在矩形中，如圖，，，將矩形折疊，使點與點重合，求折痕的長_________． 15/4
　
35題 36題 37題
36、如圖，矩形ABCD的邊長AB＝6，BC＝8，將矩形沿EF折疊，使C點與A點重合，則折痕EF的長是（?? A? ）　A．7．5?? ????????B．6? ?????????C．10? ?????????D．5
37、如圖，在梯形ABCD中，∠DCB=90°，AB∥CD,AB=25,BC=24.將該梯形折疊，點A恰好與點D重合，BE為折痕，那么AD的長度為_______________.30
38、如圖，斜折一頁書的一角，使點A落在同一頁書內的A′處，DE為折痕，作DF平分∠A′DB，試猜想∠FDE等于多少度，并說明理由．90度
39、矩形中，點、分別在、上，為等腰直角三角形，求的長．4
40、如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，使點B落到點B′的位置，AB′與CD交于點E.
（1）試找出一個與△AED全等的三角形，并加以證明.
（2）若AB=8，DE=3，P為線段AC上的任意一點，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，試求PG+PH的值，并說明理由.
41、小明嘗試著將矩形紙片ABCD（如圖①，AD>CD）沿過A點的直線折疊，使得B點落在AD邊上的點F處，折痕為AE（如圖②）；再沿過D點的直線折疊，使得C點落在DA邊上的點N處，E點落在AE邊上的點M處，折痕為DG（如圖③）．如果第二次折疊后，M點正好在∠NDG的平分線上，那么矩形ABCD長與寬的比值為 ．

由于“折疊”和“角平分線的點到兩邊的距離相等”設：NM=MG=EG=CE=a∵∠BAE=∠EAD=45° （折疊形成的角平分線）∴AM=NM÷sin45°=√2*a （三角函數關系） AE=(√2+2)a （AM+MG+GE）∴AB=BE=AE×sin45°=(1+√2)a （用三角函數）∵BC=BE+CE∴BC=(1+√2)a+a=(2+√2)a∴BC:AB=(2+√2)a/(1+√2)a=√2:1矩形ABCD長與寬的比值為 √2:1。最后一題面積沒法算。因為題目沒有給出任何一邊的長度。但可以算：矩形ABCD長與寬的比值為 √2:1。
42、已知：如圖所示的一張矩形紙片（），將紙片折疊一次，使點與重合，再展開，折痕交邊于，交邊于，分別連結和．
（1）求證：四邊形是菱形；（略）
（2）若，的面積為，求的周長；24cm
43、（1）觀察與發現
小明將三角形紙片ABC（AB>AC），沿過點A的直線折疊，便得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片（如圖①），再次折疊該三角形紙片，使點A與點D重合，折痕為EF，展開紙片后得到△AEF（如圖②），小明認為△AEF為等腰三角形，你同意嗎？請說明理由．
（2）實踐與運用
將矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC邊上的點F處，折痕為BE（如圖③），再沿過點E的直線折疊，使點D落在BE上的點D′處，折痕為EG（如圖④），再展開紙片（如圖⑤）求圖中∠α的大小．
（1）是等腰三角形。第一次折疊，AC邊與AB邊對齊，說明AD是∠BAC的平分線；第二次折疊，A和D重疊，則折痕EF垂直平分AD，即AD是三角形AEF的角平分線且垂直于該角對應的邊，所以△AEF是等腰三角形（2）第一次折疊，A點落在BC邊的F點，使得四邊形ABFE是正方形，BE是正方形對角線，則EF垂直ED，∠FED=90度，∠FEB=45度第二次折疊，EG是折痕，則∠GED=∠GEB=∠FEB+∠α=45度+∠α∠α=∠FED-∠GED=90度-（45度+∠α）∠α=22.5度
44、已知：△ABC中，AB=2AC，∠BAC=60°，點P在△ABC內部，PA=，PC=2，PB=5，求△ABC的面積.
分別作出點P關于三邊的三個對稱點，與三個頂點連接，得到邊長分別為根號3，根號3，4，5，5為邊的五邊形，利用三個對稱點之間的連線將五邊形分成一個以5為邊長的等邊三角形，一個以根號3為腰長的等腰三角形，一個以3，4，5為邊長的直角三角形，這三個三角形有面積和就是原直角三角形的面積的2倍.
1.首先證明△ABC是直角三角形。證明過程：假設BC與AC不垂直，則過點B作BD⊥AC交直線AC與點D ∵∠A=60°（已知）∴AB=2AD（直角三角形中30°角的對邊等于斜邊的一半）∵AB=2AC（已知）∴AC=AD（等量代換）這與直線外一點與直線上各點所連成的所有線段中，垂線段最短相矛盾，所以假設錯誤，即AC、AD兩線重合。∴BC⊥AC即△ABC為直角三角形。（直角三角形定義）。2.作全等△AP1C關于直線AC與△APC全等。△BP2C關于直線BC與△BPC全等.。。△BP3A關于直線AB與△BPA全等.。則，∠P2BP3=2∠B=60°，∠P1AP3=2∠A=120°。 ∠P2CP1=2∠C=180°，所以點P2，P1，C 在同一直線上。依次連接點A，P1，C，P2，B，P3，A。得到一個凸五邊形。且五邊形的面積是△ABC的二倍。連接P1，P2，P3，。易得P2P3=BP2=BP=5，P1P2=P1C+P2C=2PC=4，由△AP1P3為等腰△（因為AP3=AP1），且求得∠P1AP3=2∠A=120°。所以S△P1AP3=3√3/4，且P3P1=3，進一步求得（3，4，5 為勾股數）△P1P2P3為直角△。易求S△P2BP3=25√3/4，S△P1P2P3=6。所以S△P2BP3+S△P1P2P3+S△P1AP3=7√3+6所以△ABC=3+7√3/2。

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