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數(shù)列的綜合應(yīng)用
INCLUDEPICTURE "考向一J.TIF" INCLUDEPICTURE "考向一J.TIF" \* MERGEFORMAT 等差(比)數(shù)列的
判斷與證明　
【典例1】(2021·全國(guó)乙卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，bn為數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)積，已知＋＝2.
(1)證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
(2)求{an}的通項(xiàng)公式．
【思維點(diǎn)撥】
(1) 明思路：證明等差數(shù)列，定義法！找關(guān)系：利用Sn，bn的關(guān)系式建立{bn}的遞推關(guān)系；定方向：確定整理的方向——等差數(shù)列定義式就是目標(biāo)式！
(2) 求bn：由(1)定性，直接求通項(xiàng)；求Sn：代入已知關(guān)系式求解； 求an：由和式求通項(xiàng)，分段求
【規(guī)范解答】(1)由已知可得：＋＝2，＝Sn(n≥2) ＋＝2(n≥2) 2bn－1＋1＝2bn(n≥2) bn－bn－1＝(n≥2)，b1＝.
故{bn}是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．………………6分
易錯(cuò)點(diǎn) 不能根據(jù)Sn，bn的關(guān)系式建立{bn}的遞推關(guān)系
障礙點(diǎn) 不能利用前n項(xiàng)之積bn表示數(shù)列的通項(xiàng)Sn
學(xué)科素養(yǎng) 邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算
評(píng)分細(xì)則 用bn表示出Sn，求出b1各得1分；求出遞推關(guān)系得3分，寫(xiě)出所證得1分．注意不寫(xiě)bn＋1≠0不扣分；不寫(xiě)n∈N*不扣分
(2)由(1)知bn＝＋(n－1)＝，
則＋＝2 Sn＝.9分
n＝1時(shí)，a1＝S1＝.
n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－＝－.
故an＝12分
易錯(cuò)點(diǎn) 由Sn求an，忽視首項(xiàng)的求解與檢驗(yàn)
障礙點(diǎn) 解決和式與項(xiàng)的關(guān)系時(shí)易遺漏首項(xiàng)
學(xué)科素養(yǎng) 邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算
評(píng)分細(xì)則 求出bn得2分；求出Sn得1分；求n＝1與n≥2分別得1分；檢驗(yàn)與結(jié)論得1分
1．證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列或等比數(shù)列的兩種基本方法
(1)利用定義，證明an＋1－an或(n∈N*)為一常數(shù)；
(2)利用等差中項(xiàng)，即證明2an＝an－1＋an＋1；等比中項(xiàng)a＝an－1an＋1(n≥2).
2．“累加(積)法”破解數(shù)列通項(xiàng)公式
數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，主要是利用通項(xiàng)公式法，對(duì)于形如an＋1－an＝f(n)或＝f(n) 的遞推關(guān)系，求其通項(xiàng)公式應(yīng)根據(jù)遞推關(guān)系的結(jié)構(gòu)特征分別利用累加法或累積法求解．
求解過(guò)程注意兩點(diǎn)：
(1)累加或累積的最后一個(gè)式子：求通項(xiàng)公式時(shí)，要注意最后一個(gè)遞推關(guān)系應(yīng)為an－an－1或，這樣運(yùn)算的結(jié)果才可以得到an的表達(dá)式，否則得到的就是an＋1的表達(dá)式；
(2)累加或累積的結(jié)果：若第一行寫(xiě)出首項(xiàng)a1，就前n個(gè)式子的和或積就是數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；若第一行沒(méi)有寫(xiě)出首項(xiàng)，則就變?yōu)榍皀－1個(gè)式子的和或積，其運(yùn)算的結(jié)果應(yīng)為an－a1或.
　
設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
【解析】(1)由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝S2＝4a1＋2.所以a2＝5，所以b1＝a2－2a1＝3.
又
①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，
所以an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2).
因?yàn)閎n＝an＋1－2an，所以bn＝2bn－1(n≥2)，故{bn}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列．
(2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，所以－＝，故是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．
所以＝＋(n－1)·＝，
故an＝(3n－1)·2n－2.
數(shù)列與概率的交匯
【典例2】棋盤(pán)上標(biāo)有第0，1，2，…，100站，棋子開(kāi)始時(shí)位于第0站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲．若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到跳到第99站(勝利大本營(yíng))或第100站(失敗集中營(yíng))時(shí)游戲結(jié)束．設(shè)棋子跳到第n站的概率為Pn.
(1)求P3的值；
(2)證明：Pn＋1－Pn＝－(Pn－Pn－1)(2≤n≤98).
【思維點(diǎn)撥】
(1) 怎樣才能到達(dá)目的地，要看上一步到達(dá)的地點(diǎn)
(2) 遞推關(guān)系要依據(jù)上一步所到的位置確定
【解析】(1)由題意，P0＝1；P1＝；
P2＝P0＋P1＝×1＋×＝.
依題意，棋子要到第3站，有兩種情況：
由第2站跳1站得到，其概率為P2；
可以由第1站跳2站得到，其概率為P1.
所以P3＝P1＋P2＝×＋×＝.
(2)依題意，當(dāng)2≤n≤98時(shí)，棋子要到第(n＋1)站，有兩種情況：
由第n站跳1站得到，其概率為Pn；
可以由第(n－1)站跳2站得到，其概率為Pn－1.
所以Pn＋1＝Pn＋Pn－1.
同時(shí)減去Pn得，Pn＋1－Pn＝－Pn＋Pn－1＝－(Pn－Pn－1)(2≤n≤98).
　該題中，試求出Pn并比較游戲結(jié)束時(shí)，進(jìn)入勝利大本營(yíng)還是失敗集中營(yíng)的可能性大．
【解析】依照典例的分析，數(shù)列是首項(xiàng)為P2－P1＝，公比為－的等比數(shù)列，
所以Pn＋1－Pn＝·n－1＝n＋1，
所以P99＝P1＋(P2－P1)＋(P3－P2)＋…＋(P99－P98)＝＋(－)2＋(－)3＋…＋(－)99＝＋＝(1－)，
又P99－P98＝(－)99＝－，則P98＝.
又P100＝P98＝，
顯然P100　
某植物學(xué)家培養(yǎng)出一種觀賞性植物，會(huì)開(kāi)出紅花或黃花，已知該植物第一代開(kāi)紅花和黃花的概率都是，從第二代開(kāi)始，若上一代開(kāi)紅花，則這一代開(kāi)紅花的概率是，開(kāi)黃花的概率是；若上一代開(kāi)黃花，則這一代開(kāi)紅花的概率是，開(kāi)黃花的概率是.記第n代開(kāi)紅花的概率為pn，第n代開(kāi)黃花的概率為qn.
(1)求p2；
(2)①證明：數(shù)列(n∈N*)為等比數(shù)列；
②第n(n∈N*，n≥2)代開(kāi)哪種顏色花的概率更大？
【解析】(1)第二代開(kāi)紅花包含兩個(gè)互斥事件：
即第一代開(kāi)紅花后第二代也開(kāi)紅花；第一代開(kāi)黃花后第二代開(kāi)紅花，
故由p1＝，得p2＝p1·＋(1－p1)·＝；
(2)①由題意可知，第n代開(kāi)紅花的概率與第(n－1)代的開(kāi)花的情況相關(guān)，
故有pn＝pn－1·＋(1－pn－1)·＝－pn－1＋，則有pn－＝－(pn－1－)，
又p1－＝－＝.
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以－為公比的等比數(shù)列．
②由①知pn－＝×(－)n－1，故pn＝＋×(－)n－1≤＋＝，
故有當(dāng)n∈N*時(shí)，pn≤.
因此，第n(n∈N*，n≥2)代開(kāi)黃花的概率更大．
數(shù)列與不等式的交匯問(wèn)題
【典例3】若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(an，Sn)在y＝－x的圖象上(x∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若c1＝0，且對(duì)任意正整數(shù)n都有cn＋1－cn＝logan，求證：對(duì)任意正整數(shù)n≥2，總有≤＋＋＋…＋<.
【思維點(diǎn)撥】
(1) 抓住關(guān)系：點(diǎn)(an，Sn)在y＝－x的圖象上
(2) 準(zhǔn)確求和：數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵，求和方法由通項(xiàng)特征定
【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)(an，Sn)在y＝－x的圖象上(n∈N*)，
所以Sn＝－an，
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝－an－1，
所以an＝an－1－an，化為an＝an－1，
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝－a1，解得a1＝.
所以an＝×＝×()n＝()2n＋1.
(2)對(duì)任意正整數(shù)n都有cn＋1－cn＝logan＝2n＋1，所以cn＝(cn－cn－1)＋(cn－1－cn－2)＋…＋(c2－c1)＋c1＝(2n－1)＋(2n－3)＋…＋3
＝＝(n＋1)(n－1).
所以當(dāng)n≥2時(shí)，＝＝(－)，所以＋＋…＋＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1＋－－)＜(1＋)＝，
又＋＋…＋≥＝.
所以≤＋＋＋…＋＜.
數(shù)列中不等式問(wèn)題的處理方法
　(1)函數(shù)法：即構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性、極值等得出關(guān)于正實(shí)數(shù)的不等式，通過(guò)對(duì)關(guān)于正實(shí)數(shù)的不等式特殊賦值得出數(shù)列中的不等式．
(2)放縮法：數(shù)列中不等式可以通過(guò)對(duì)中間過(guò)程或最后的結(jié)果放縮得到．
(3)比較法：作差或者作商比較．
　
(2021·南京三模)在①a3＋b3＝0，②S3＝－19.5，③a3＋a1＝2＋這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的λ存在，求出λ的值；若λ不存在，說(shuō)明理由．
已知等差數(shù)列{an}的公差為d，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，等比數(shù)列{bn}的公比為q(q≠1)，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，________，b1＝1，T3＝3，d＝－q，是否存在正整數(shù)λ，使得關(guān)于k的不等式λ(30＋Sk)≤10有解？
注：如果選擇多個(gè)條件解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【解析】由b1＝1，T3＝b1(1＋q＋q2)＝3，得q＝－2或q＝1(舍去)，
所以bn＝(－2)n－1.
選①，因?yàn)閍3＋b3＝0，所以a3＝－b3＝－4，d＝－q＝2，
所以an＝a3＋2(n－3)＝2n－10，a1＝－8，
所以Sn＝n(n－9)＝－≥－20，
由λ(30＋Sk)≤10得λ≤≤1，
所以λ＝1，
所以當(dāng)λ＝1時(shí)，30＋Sk≤10，解得k＝4或5，故存在λ＝1，使得關(guān)于k的不等式λ(30＋Sk)≤10有解．
選②，因?yàn)镾3＝－19.5，所以a2＝－6.5，d＝－q＝2，所以an＝a2＋2(n－2)＝2n－10.5，a1＝－8.5，
所以Sn＝n(n－9.5)＝－≥－22.5.
由λ(30＋Sk)≤10得λ≤≤＜2，
所以λ＝1，
所以當(dāng)λ＝1時(shí)，30＋Sk≤10，解得k＝4或5或6，故存在λ＝1，使得關(guān)于k的不等式λ(30＋Sk)≤10有解．
選③，因?yàn)閍3＋a1＝2＋＝6，
所以a2＝＝3，d＝－q＝2，
所以an＝a2＋2(n－2)＝2n－1，a1＝1，
所以Sn＝n2，
所以30＋Sk＞10，所以不存在正整數(shù)λ，使得關(guān)于k的不等式λ(30＋Sk)≤10有解．
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