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深究本源，方能通透，一道幾何壓軸題的深入分析
2022寶安區二模第15題
如圖，在 ABCD中，對角線AC、BD交于點O，AF平分∠BAC，交BD于點E，交BC于點F，若BE=BF=2，則AD=___________
分析：本題以平行四邊形為依托，考查角平分線、等腰三角形、相似三角形，解法方向有蠻多，這是因為由已知條件可進行不同方向的聯想，且每個方向都可有效的進行突破，解決問題.
方向一：等腰三角形
解：易知ADE亦為等腰三角形，設∠OAE=ɑ，∠OAD=β，則∠BAF=ɑ，∠AEO=ɑ+β，故∠ABD=β，故DAO~DBA，設AD=x，則OD=，而，故，x=2+2
點評：由等腰三角形得到一系列角度關系，通過角度關系得到相似三角形.這個突破點屬于比較常規的，當不知如何解答時，推導角度關系明顯不失為一種很好的方式.
另法：角平分線定理
由角度關系可得比較多的相似三角形，易知相似比為.
解：ABO~ACB，得即有，由角平分線定理知，故CF=2，AD=2+2
(亦可由ABE~ACF求得CF的長度)此結論可作為后續解法的基本結論.
方向二：角平分線
由角平分線可以聯想到角平分線的性質、對稱圖形、全等三角形，因為題目本身呈現出好幾個等腰三角形，更易往全等三角形的方向聯想.通過輔助線，構造全等三角形解決線段長問題.
解法1：在AB延長線上取一點G，使AG=AC，易知AFGAFC，∠AGF=∠ACF，而∠ABE=∠ACB，故∠ABE=∠AGF，得BE||GF，得GF=2，故AD=2+2
解法2：在AC上取一點G，使AG=AB，易知ABFAGF，∠AFG=∠AFB，而∠AFB=∠BEF，故∠AEO=∠AFG，得BE||GF，，而得CF=2
解法3：延長CA至點G，使AG=AB，易知AF||BG，，得CF=2，故AD=2+2
解法4：延長BA至點H，使AH=AC，易知AF||CH，，得CF=2，故AD=2+2
方向三：由中點構造中位線、平行線
解法5：過點O作OH||BC，得OE=，而OH=OE，故CF=2，AD=2+2
解法6：過點C作CG||OB，得OE=，而CH=CG，故CF=2，AD=2+2
解法7：過點O作OG||AB，易知ABO~OCG，，CG=+1，故AD=BC=2+2
解法8：過點E作EG||BC，易知ABEAGE，，EG=，CF=2，故AD=2+2
解法9：過點C作CG||AF，易知AOECOG，易知BCG為等腰三角形，EG=CF，而OE=OG=，故CF=2，AD=2+2
解法10：作BM AF，CN AF，易知ABM~ACN，，而BMF~CNF，，故CF=2，AD=2+2
“解題的價值不是答案本身，而在于弄清是怎樣想到這個解法的”.也就是國人所說的“知其然，知其所以然”.在數學學習過程中，不僅要弄懂“怎么做”的問題，還要弄懂“為什么這么做”、“還能怎么做”的問題.提升解題能力的關鍵在于解題的基礎知識、思維底層邏輯的形成，多角度思考問題的習慣，反思、優化解題方法的習慣.

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