資源簡介

高中數學必修+選修知識點歸納
新課標人教A版
魯甸縣文屏鎮中學高三第一輪復習資料引言
1.課程內容：
必修課程由5個模塊組成：
必修1：集合、函數概念與基本初等函數（指、對、冪函數）
必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。
必修3：算法初步、統計、概率。
必修4：基本初等函數（三角函數）、平面向量、三角恒等變換。
必修5：解三角形、數列、不等式。
以上是每一個高中學生所必須學習的。
上述內容覆蓋了高中階段傳統的數學基礎知識和基本技能的主要部分，其中包括集合、函數、數列、不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打好基礎的同時，進一步強調了這些知識的發生、發展過程和實際應用，而不在技巧與難度上做過高的要求。
此外，基礎內容還增加了向量、算法、概率、統計等內容。
選修課程有4個系列：
系列1：由2個模塊組成。
選修1—1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導數及其應用。
選修1—2：統計案例、推理與證明、數系的擴充與復數、框圖
系列2：由3個模塊組成。
選修2—1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、
空間向量與立體幾何。
選修2—2：導數及其應用，推理與證明、數系的擴充與復數
選修2—3：計數原理、隨機變量及其分布列，統計案例。
系列3：由6個專題組成。
選修3—1：數學史選講。
選修3—2：信息安全與密碼。
選修3—3：球面上的幾何。
選修3—4：對稱與群。
選修3—5：歐拉公式與閉曲面分類。
選修3—6：三等分角與數域擴充。
系列4：由10個專題組成。
選修4—1：幾何證明選講。
選修4—2：矩陣與變換。
選修4—3：數列與差分。
選修4—4：坐標系與參數方程。
選修4—5：不等式選講。
選修4—6：初等數論初步。
選修4—7：優選法與試驗設計初步。
選修4—8：統籌法與圖論初步。
選修4—9：風險與決策。
選修4—10：開關電路與布爾代數。
2．重難點及考點：
重點：函數，數列，三角函數，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導數
難點：函數、圓錐曲線
高考相關考點：
⑴集合與簡易邏輯:集合的概念與運算、簡易邏輯、充要條件
⑵函數：映射與函數、函數解析式與定義域、值域與最值、反函數、三大性質、函數圖象、指數與指數函數、對數與對數函數、函數的應用 　
⑶數列：數列的有關概念、等差數列、等比數列、數列求和、數列的應用
⑷三角函數：有關概念、同角關系與誘導公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡、證明、三角函數的圖象與性質、三角函數的應用
⑸平面向量：有關概念與初等運算、坐標運算、數量積及其應用
⑹不等式：概念與性質、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對值不等式、不等式的應用
⑺直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關系、線性規劃、圓、直線與圓的位置關系
⑻圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關系、軌跡問題、圓錐曲線的應用
⑼直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向量
⑽排列、組合和概率：排列、組合應用題、二項式定理及其應用
⑾概率與統計：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態分布
⑿導數：導數的概念、求導、導數的應用
⒀復數：復數的概念與運算
必修1數學知識點
第一章：集合與函數概念
§1.1.1、集合
1、 把研究的對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。集合三要素：確定性、互異性、無序性。
2、 只要構成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合相等。
3、 常見集合：正整數集合：或，整數集合：，有理數集合：，實數集合：.
4、集合的表示方法：列舉法、描述法.
§1.1.2、集合間的基本關系
1、 一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，則稱集合A是集合B的子集。記作.
2、 如果集合，但存在元素，且，則稱集合A是集合B的真子集.記作：AB.
3、 把不含任何元素的集合叫做空集.記作：.并規定：空集合是任何集合的子集.
4、 如果集合A中含有n個元素，則集合A有個子集，個真子集.
§1.1.3、集合間的基本運算
1、 一般地，由所有屬于集合A或集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集.記作：.
2、 一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集.記作：.
3、全集、補集？
§1.2.1、函數的概念
1、 設A、B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系，使對于集合A中的任意一個數，在集合B中都有惟一確定的數和它對應，那么就稱為集合A到集合B的一個函數，記作：.
2、 一個函數的構成要素為：定義域、對應關系、值域.如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，則稱這兩個函數相等.
§1.2.2、函數的表示法
1、 函數的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法.
§1.3.1、單調性與最大（小）值
1、注意函數單調性的證明方法：
(1)定義法：設那么
上是增函數；
上是減函數.
步驟：取值—作差—變形—定號—判斷
格式：解：設且，則：=…
(2)導數法：設函數在某個區間內可導，若，則為增函數；
若，則為減函數.
§1.3.2、奇偶性
1、 一般地，如果對于函數的定義域內任意一個，都有，那么就稱函數為偶函數.偶函數圖象關于軸對稱.
2、 一般地，如果對于函數的定義域內任意一個，都有，那么就稱函數為奇函數.奇函數圖象關于原點對稱.
知識鏈接：函數與導數
1、函數在點處的導數的幾何意義：
函數在點處的導數是曲線在處的切線的斜率，相應的切線方程是.
2、幾種常見函數的導數
①；②； ③； ④；
⑤； ⑥； ⑦；⑧
3、導數的運算法則
（1）.
（2）.
（3）.
4、復合函數求導法則
復合函數的導數和函數的導數間的關系為，即對的導數等于對的導數與對的導數的乘積.
解題步驟:分層—層層求導—作積還原.
5、函數的極值
(1)極值定義：
極值是在附近所有的點，都有＜，則是函數的極大值；
極值是在附近所有的點，都有＞，則是函數的極小值.
(2)判別方法：
圖
象
性
質
(1)定義域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）過定點（0，1），即x=0時，y=1
（4）在 R上是增函數
（4）在R上是減函數
(5);
(5);
①如果在附近的左側＞0，右側＜0，那么是極大值；
②如果在附近的左側＜0，右側＞0，那么是極小值.
6、求函數的最值
(1)求在內的極值（極大或者極小值）
(2)將的各極值點與比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為極小值。
注：極值是在局部對函數值進行比較（局部性質）；最值是在整體區間上對函數值進行比較(整體性質)。
第二章：基本初等函數（Ⅰ）
§2.1.1、指數與指數冪的運算
1、 一般地，如果，那么叫做 的次方根。其中.
2、 當為奇數時，；
當為偶數時，.
3、 我們規定：
⑴
；
　　⑵；
4、 運算性質：
⑴；
⑵；
⑶.
§2.1.2、指數函數及其性質
1、記住圖象：
2、性質：
§2.2.1、對數與對數運算
1、指數與對數互化式：；
2、對數恒等式：.
3、基本性質：，.
4、運算性質：當時：
⑴；
⑵；
⑶.
5、換底公式：
.
6、重要公式：
7、倒數關系：.
§2..2.2、對數函數及其性質
1、記住圖象：
2、性質：
圖
象
性
質
(1)定義域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）過定點（1，0），即x=1時，y=0
（4）在 （0，+∞）上是增函數
（4）在（0，+∞）上是減函數
(5)；
(5)；
§2.3、冪函數
1、幾種冪函數的圖象：
第三章：函數的應用
§3.1.1、方程的根與函數的零點
1、方程有實根
函數的圖象與軸有交點
函數有零點.
2、 零點存在性定理：
如果函數在區間 上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有，那么函數在區間內有零點，即存在，使得，這個也就是方程的根.
§3.1.2、用二分法求方程的近似解
1、掌握二分法.
§3.2.1、幾類不同增長的函數模型
§3.2.2、函數模型的應用舉例
1、解決問題的常規方法：先畫散點圖，再用適當的函數擬合，最后檢驗.
必修2數學知識點
第一章：空間幾何體
1、空間幾何體的結構
⑴常見的多面體有：棱柱、棱錐、棱臺；常見的旋轉體有：圓柱、圓錐、圓臺、球。
⑵棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。
⑶棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺。
2、空間幾何體的三視圖和直觀圖
把光由一點向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影線交于一點；把在一束平行光線照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影線是平行的。
3、空間幾何體的表面積與體積
⑴圓柱側面積；
⑵圓錐側面積：
⑶圓臺側面積：
⑷體積公式：
；；
⑸球的表面積和體積：
.
第二章：點、直線、平面之間的位置關系
1、公理1：如果一條直線上兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內。
2、公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。
3、公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。
4、公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.
5、定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。
6、線線位置關系：平行、相交、異面。
7、線面位置關系：直線在平面內、直線和平面平行、直線和平面相交。
8、面面位置關系：平行、相交。
9、線面平行：
⑴判定：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行（簡稱線線平行，則線面平行）。
⑵性質：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行（簡稱線面平行，則線線平行）。
10、面面平行：
⑴判定：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行（簡稱線面平行，則面面平行）。
⑵性質：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行（簡稱面面平行，則線線平行）。
11、線面垂直：
⑴定義：如果一條直線垂直于一個平面內的任意一條直線，那么就說這條直線和這個平面垂直。
⑵判定：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直（簡稱線線垂直，則線面垂直）。
⑶性質：垂直于同一個平面的兩條直線平行。
12、面面垂直：
⑴定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。
⑵判定：一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面垂直（簡稱線面垂直，則面面垂直）。
⑶性質：兩個平面互相垂直，則一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面。（簡稱面面垂直，則線面垂直）。
第三章：直線與方程
1、傾斜角與斜率：
2、直線方程：
⑴點斜式：
⑵斜截式：
⑶兩點式：
⑷截距式：
⑸一般式：
3、對于直線：
有：
⑴；
⑵和相交；
⑶和重合；
⑷.
4、對于直線：
有：
⑴；
⑵和相交；
⑶和重合；
⑷.
5、兩點間距離公式：
6、點到直線距離公式：
7、兩平行線間的距離公式：
：與：平行，則
第四章：圓與方程
1、圓的方程：
⑴標準方程：
其中圓心為，半徑為.
⑵一般方程：.
其中圓心為，半徑為.
2、直線與圓的位置關系
直線與圓的位置關系有三種:
;
;
.
弦長公式：
3、兩圓位置關系：
⑴外離：；
⑵外切：；
⑶相交：；
⑷內切：；
⑸內含：.
3、空間中兩點間距離公式：
必修3數學知識點
第一章：算法
1、算法三種語言：
自然語言、流程圖、程序語言；
2、流程圖中的圖框：
起止框、輸入輸出框、處理框、判斷框、流程線等規范表示方法；
3、算法的三種基本結構：
順序結構、條件結構、循環結構
⑴順序結構示意圖：
（圖1）
⑵條件結構示意圖：
①IF-THEN-ELSE格式：
（圖2）
②IF-THEN格式：
（圖3）
⑶循環結構示意圖：
①當型（WHILE型）循環結構示意圖：
（圖4）
②直到型（UNTIL型）循環結構示意圖：
（圖5）
4、基本算法語句：
①輸入語句的一般格式：INPUT“提示內容”；變量
②輸出語句的一般格式：PRINT“提示內容”；表達式
③賦值語句的一般格式：變量＝表達式
（“=”有時也用“←”）.
④條件語句的一般格式有兩種：
IF—THEN—ELSE語句的一般格式為：
IF—THEN語句的一般格式為：
⑤循環語句的一般格式是兩種：
當型循環（WHILE）語句的一般格式：
直到型循環（UNTIL）語句的一般格式：
⑹算法案例：
①輾轉相除法—結果是以相除余數為0而得到
利用輾轉相除法求最大公約數的步驟如下：
ⅰ）：用較大的數m除以較小的數n得到一個商和一個余數；
ⅱ）：若＝0，則n為m，n的最大公約數；若≠0，則用除數n除以余數得到一個商和一個余數；
ⅲ）：若＝0，則為m，n的最大公約數；若≠0，則用除數除以余數得到一個商和一個余數；……
依次計算直至＝0，此時所得到的即為所求的最大公約數。
②更相減損術—結果是以減數與差相等而得到
利用更相減損術求最大公約數的步驟如下：
ⅰ）：任意給出兩個正數；判斷它們是否都是偶數。若是，用2約簡；若不是，執行第二步。
ⅱ）：以較大的數減去較小的數，接著把較小的數與所得的差比較，并以大數減小數。繼續這個操作，直到所得的數相等為止，則這個數（等數）就是所求的最大公約數。
③進位制
十進制數化為k進制數—除k取余法
k進制數化為十進制數
第二章：統計
1、抽樣方法：
①簡單隨機抽樣（總體個數較少）
②系統抽樣（總體個數較多）
③分層抽樣（總體中差異明顯）
注意：在N個個體的總體中抽取出n個個體組成樣本，每個個體被抽到的機會（概率）均為。
2、總體分布的估計：
⑴一表二圖：
①頻率分布表——數據詳實
②頻率分布直方圖——分布直觀
③頻率分布折線圖——便于觀察總體分布趨勢
注：總體分布的密度曲線與橫軸圍成的面積為1。
⑵莖葉圖：
①莖葉圖適用于數據較少的情況，從中便于看出數據的分布，以及中位數、眾位數等。
②個位數為葉，十位數為莖，右側數據按照從小到大書寫，相同的數據重復寫。
3、總體特征數的估計：
⑴平均數：；
取值為的頻率分別為，則其平均數為；
注意：頻率分布表計算平均數要取組中值。
⑵方差與標準差：一組樣本數據
方差：；
標準差：
注：方差與標準差越小，說明樣本數據越穩定。
平均數反映數據總體水平；方差與標準差反映數據的穩定水平。
⑶線性回歸方程
①變量之間的兩類關系：函數關系與相關關系；
②制作散點圖，判斷線性相關關系
③線性回歸方程：（最小二乘法）
注意：線性回歸直線經過定點。
第三章：概率
1、隨機事件及其概率：
⑴事件：試驗的每一種可能的結果，用大寫英文字母表示；
⑵必然事件、不可能事件、隨機事件的特點；
⑶隨機事件A的概率：.
2、古典概型：
⑴基本事件：一次試驗中可能出現的每一個基本結果；
⑵古典概型的特點：
①所有的基本事件只有有限個；
②每個基本事件都是等可能發生。
⑶古典概型概率計算公式：一次試驗的等可能基本事件共有n個，事件A包含了其中的m個基本事件，則事件A發生的概率.
3、幾何概型：
⑴幾何概型的特點：
①所有的基本事件是無限個；
②每個基本事件都是等可能發生。
⑵幾何概型概率計算公式：；
其中測度根據題目確定，一般為線段、角度、面積、體積等。
4、互斥事件：
⑴不可能同時發生的兩個事件稱為互斥事件；
⑵如果事件任意兩個都是互斥事件，則稱事件彼此互斥。
⑶如果事件A，B互斥，那么事件A+B發生的概率，等于事件A，B發生的概率的和，
即：
⑷如果事件彼此互斥，則有：
⑸對立事件：兩個互斥事件中必有一個要發生，則稱這兩個事件為對立事件。
①事件的對立事件記作
②對立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是對立事件。
必修4數學知識點
第一章：三角函數
§1.1.1、任意角
1、 正角、負角、零角、象限角的概念.
2、 與角終邊相同的角的集合：
.
§1.1.2、弧度制
1、 把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.
2、 .
3、弧長公式：.
4、扇形面積公式：.
§1.2.1、任意角的三角函數
1、 設是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點，那么：
2、 設點為角終邊上任意一點，那么：（設）
，，，
3、 ，，在四個象限的符號和三角函數線的畫法.
正弦線：MP;
余弦線：OM;
正切線：AT
5、 特殊角0°，30°，45°，60°，
90°，180°，270等的三角函數值.
0
§1.2.2、同角三角函數的基本關系式
1、 平方關系：.
2、 商數關系：.
3、 倒數關系：
§1.3、三角函數的誘導公式
（概括為“奇變偶不變，符號看象限”）
1、 誘導公式一：
（其中：）
2、 誘導公式二：

3、誘導公式三：

4、誘導公式四：

5、誘導公式五：

6、誘導公式六：

§1.4.1、正弦、余弦函數的圖象和性質
1、記住正弦、余弦函數圖象：
2、能夠對照圖象講出正弦、余弦函數的相關性質：定義域、值域、最大最小值、對稱軸、對稱中心、奇偶性、單調性、周期性.
3、會用五點法作圖.
在上的五個關鍵點為：

§1.4.3、正切函數的圖象與性質
1、記住正切函數的圖象：
2、記住余切函數的圖象：
3、能夠對照圖象講出正切函數的相關性質：定義域、值域、對稱中心、奇偶性、單調性、周期性.
周期函數定義：對于函數，如果存在一個非零常數T，使得當取定義域內的每一個值時，都有，那么函數就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期.
圖表歸納：正弦、余弦、正切函數的圖像及其性質
圖象
定義域
值域
[-1,1]
[-1,1]
最值
無
周期性
奇偶性
奇
偶
奇
單調性
在上單調遞增
在上單調遞減
在上單調遞增
在上單調遞減
在上單調遞增
對稱性
對稱軸方程：
對稱中心
對稱軸方程：
對稱中心
無對稱軸
對稱中心
§1.5、函數的圖象
1、對于函數：
有：振幅A，周期，初相，相位，頻率.
2、能夠講出函數的圖象與
的圖象之間的平移伸縮變換關系.
先平移后伸縮：
平移個單位
（左加右減）
橫坐標不變
縱坐標變為原來的A倍
縱坐標不變
橫坐標變為原來的倍
平移個單位
（上加下減）
先伸縮后平移：
橫坐標不變
縱坐標變為原來的A倍
縱坐標不變
橫坐標變為原來的倍
平移個單位
（左加右減）
平移個單位
（上加下減）
3、三角函數的周期，對稱軸和對稱中心
函數，x∈R及函數，x∈R(A,,為常數，且A≠0)的周期；函數，(A,ω,為常數，且A≠0)的周期.
對于和來說，對稱中心與零點相聯系，對稱軸與最值點聯系.
求函數圖像的對稱軸與對稱中心，只需令與
解出即可.余弦函數可與正弦函數類比可得.
4、由圖像確定三角函數的解析式
利用圖像特征：，.
要根據周期來求,要用圖像的關鍵點來求.
§1.6、三角函數模型的簡單應用
1、 要求熟悉課本例題.
第三章、三角恒等變換
§3.1.1、兩角差的余弦公式
記住15°的三角函數值：
§3.1.2、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
1、
2、
3、
4、
5、.
6、.
§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、，
變形： .
2、
.
變形如下：
升冪公式：
降冪公式：
3、.
4、
§3.2、簡單的三角恒等變換
注意正切化弦、平方降次.
2、輔助角公式

（其中輔助角所在象限由點的象限決定, ).
第二章：平面向量
§2.1.1、向量的物理背景與概念
1、 了解四種常見向量：力、位移、速度、加速度.
2、 既有大小又有方向的量叫做向量.
§2.1.2、向量的幾何表示
1、 帶有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個要素：起點、方向、長度.
2、 向量的大小，也就是向量的長度（或稱模），記作；長度為零的向量叫做零向量；長度等于1個單位的向量叫做單位向量.
3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共線向量）.規定：零向量與任意向量平行.
§2.1.3、相等向量與共線向量
1、 長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
§2.2.1、向量加法運算及其幾何意義
1、 三角形加法法則和平行四邊形加法法則.
2、≤.
§2.2.2、向量減法運算及其幾何意義
1、 與長度相等方向相反的向量叫做的相反向量.
2、 三角形減法法則和平行四邊形減法法則.
§2.2.3、向量數乘運算及其幾何意義
1、 規定：實數與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘.記作：，它的長度和方向規定如下：
⑴,
　　⑵當時, 的方向與的方向相同；當時, 的方向與的方向相反.
2、 平面向量共線定理：向量與 共線，當且僅當有唯一一個實數，使.
§2.3.1、平面向量基本定理
1、 平面向量基本定理：如果是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內任一向量，有且只有一對實數，使.
§2.3.2、平面向量的正交分解及坐標表示
1、 .
§2.3.3、平面向量的坐標運算
1、 設，則：
⑴，
⑵，
⑶，
⑷.
2、 設，則：
.
§2.3.4、平面向量共線的坐標表示
1、設，則
⑴線段AB中點坐標為，
⑵△ABC的重心坐標為.
§2.4.1、平面向量數量積的物理背景及其含義
1、 .
2、 在方向上的投影為：.
3、 .
4、 .
5、 .
§2.4.2、平面向量數量積的坐標表示、模、夾角
1、 設，則：
⑴
⑵
⑶
⑷
2、 設，則：
.
兩向量的夾角公式

4、點的平移公式
平移前的點為（原坐標），平移后的對應點為（新坐標），平移向量為， 則
函數的圖像按向量平移后的圖像的解析式為
§2.5.1、平面幾何中的向量方法
§2.5.2、向量在物理中的應用舉例
知識鏈接：空間向量
空間向量的許多知識可由平面向量的知識類比而得.下面對空間向量在立體幾何中證明，求值的應用進行總結歸納.
1、直線的方向向量和平面的法向量
⑴．直線的方向向量： 　　若A、B是直線上的任意兩點，則為直線的一個方向向量；與平行的任意非零向量也是直線的方向向量.⑵．平面的法向量：　　若向量所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量.
⑶．平面的法向量的求法（待定系數法）：
①建立適當的坐標系．
②設平面的法向量為．
③求出平面內兩個不共線向量的坐標．
④根據法向量定義建立方程組.
⑤解方程組，取其中一組解，即得平面的法向量.
（如圖）

用向量方法判定空間中的平行關系
⑴線線平行
設直線的方向向量分別是，則要證明∥，只需證明∥，即.
　即：兩直線平行或重合兩直線的方向向量共線。⑵線面平行
①（法一）設直線的方向向量是，平面的法向量是，則要證明∥，只需證明，即.
即：直線與平面平行直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外
②（法二）要證明一條直線和一個平面平行，也可以在平面內找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可.
⑶面面平行
若平面的法向量為，平面的法向量為，要證∥，只需證∥，即證.
即：兩平面平行或重合兩平面的法向量共線。3、用向量方法判定空間的垂直關系⑴線線垂直
設直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即.
即：兩直線垂直兩直線的方向向量垂直。⑵線面垂直
①（法一）設直線的方向向量是，平面的法向量是，則要證明，只需證明∥，即.
②（法二）設直線的方向向量是，平面內的兩個相交向量分別為，若
即：直線與平面垂直直線的方向向量與平面的法向量共線直線的方向向量與平面內兩條不共線直線的方向向量都垂直。
⑶面面垂直
若平面的法向量為，平面的法向量為，要證，只需證，即證.
即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直。4、利用向量求空間角
⑴求異面直線所成的角
已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，　　則
⑵求直線和平面所成的角
①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角
②求法：設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，　則為的余角或的補角的余角.即有：
⑶求二面角
①定義：平面內的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面
二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點O，分別在兩個半平面內作射線，則為二面角的平面角.
如圖：
②求法：設二面角的兩個半平面的法向量分別為，再設的夾角為，二面角的平面角為，則二面角為的夾角或其補角
根據具體圖形確定是銳角或是鈍角：
◆如果是銳角，則，
即；
如果是鈍角，則，
即.
5、利用法向量求空間距離
⑴點Q到直線距離
若Q為直線外的一點,在直線上，為直線的方向向量，=，則點Q到直線距離為
⑵點A到平面的距離
若點P為平面外一點，點M為平面內任一點，
平面的法向量為，則P到平面的距離就等于在法向量方向上的投影的絕對值.
即

⑶直線與平面之間的距離
當一條直線和一個平面平行時，直線上的各點到平面的距離相等。由此可知，直線到平面的距離可轉化為求直線上任一點到平面的距離，即轉化為點面距離。

即
⑷兩平行平面之間的距離
利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉化為求點面距離。
即
⑸異面直線間的距離
設向量與兩異面直線都垂直，則兩異面直線間的距離就是在向量方向上投影的絕對值。
即
6、三垂線定理及其逆定理
⑴三垂線定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直
推理模式：
概括為：垂直于射影就垂直于斜線.
⑵三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直
推理模式：
概括為：垂直于斜線就垂直于射影.
7、三余弦定理
設AC是平面內的任一條直線，AD是的一條斜線AB在內的射影，且BD⊥AD，垂足為D.設AB與 (AD)所成的角為， AD與AC所成的角為， AB與AC所成的角為．則.
8、 面積射影定理
已知平面內一個多邊形的面積為，它在平面內的射影圖形的面積為，平面與平面所成的二面角的大小為銳二面角，則

9、一個結論
長度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為，夾角分別為,則有 .
（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.
必修5數學知識點
第一章：解三角形
1、正弦定理：
.
（其中為外接圓的半徑）
用途：⑴已知三角形兩角和任一邊，求其它元素；
⑵已知三角形兩邊和其中一邊的對角，求其它元素。
2、余弦定理：
用途：⑴已知三角形兩邊及其夾角，求其它元素；
⑵已知三角形三邊，求其它元素。
做題中兩個定理經常結合使用.
3、三角形面積公式：
4、三角形內角和定理：
在△ABC中，有
.
5、一個常用結論：
在中，
若特別注意，在三角函數中，不成立。
第二章：數列
1、數列中與之間的關系：
注意通項能否合并。
2、等差數列：
⑴定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d ，（n≥2，n∈N），
那么這個數列就叫做等差數列。
⑵等差中項：若三數成等差數列
⑶通項公式：
或
⑷前項和公式：
⑸常用性質：
①若，則；
②下標為等差數列的項，仍組成等差數列；
③數列（為常數）仍為等差數列；
④若、是等差數列，則、 (、是非零常數)、、，…也成等差數列。
⑤單調性：的公差為，則：
ⅰ）為遞增數列；
ⅱ）為遞減數列；
ⅲ）為常數列；
⑥數列{}為等差數列（p,q是常數）
⑦若等差數列的前項和，則、、… 是等差數列。
3、等比數列
⑴定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列就叫做等比數列。
⑵等比中項：若三數成等比數列（同號）。反之不一定成立。
⑶通項公式：
⑷前項和公式：
⑸常用性質
①若，則；
②為等比數列，公比為(下標成等差數列,則對應的項成等比數列)
③數列（為不等于零的常數）仍是公比為的等比數列；正項等比數列；則是公差為的等差數列；
④若是等比數列，則
是等比數列，公比依次是
⑤單調性：
為遞增數列；為遞減數列；
為常數列；
為擺動數列；
⑥既是等差數列又是等比數列的數列是常數列。
⑦若等比數列的前項和，則、、… 是等比數列.
4、非等差、等比數列通項公式的求法
類型Ⅰ 觀察法：已知數列前若干項，求該數列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規律，從而根據規律寫出此數列的一個通項。
類型Ⅱ 公式法：若已知數列的前項和與的關系，求數列的通項可用公式 構造兩式作差求解。
用此公式時要注意結論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個表達，（要先分和兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統一）。
類型Ⅲ 累加法：
形如型的遞推數列（其中是關于的函數）可構造：
將上述個式子兩邊分別相加，可得：
①若是關于的一次函數，累加后可轉化為等差數列求和;
② 若是關于的指數函數，累加后可轉化為等比數列求和;
③若是關于的二次函數，累加后可分組求和;
④若是關于的分式函數，累加后可裂項求和.
類型Ⅳ 累乘法：
形如型的遞推數列（其中是關于的函數）可構造：
將上述個式子兩邊分別相乘，可得：
有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。
類型Ⅴ 構造數列法：
㈠形如（其中均為常數且）型的遞推式：
（1）若時，數列{}為等差數列;
（2）若時，數列{}為等比數列;
（3）若且時，數列{}為線性遞推數列，其通項可通過待定系數法構造等比數列來求.方法有如下兩種：
法一：設,展開移項整理得,與題設比較系數（待定系數法）得,即構成以為首項，以為公比的等比數列.再利用等比數列的通項公式求出的通項整理可得
法二：由得兩式相減并整理得即構成以為首項，以為公比的等比數列.求出的通項再轉化為類型Ⅲ（累加法）便可求出
㈡形如型的遞推式：
⑴當為一次函數類型（即等差數列）時：
法一：設，通過待定系數法確定的值，轉化成以為首項，以為公比的等比數列，再利用等比數列的通項公式求出的通項整理可得
法二：當的公差為時，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉化為類型Ⅴ㈠求出 ，再用類型Ⅲ（累加法）便可求出
⑵當為指數函數類型（即等比數列）時：
法一：設，通過待定系數法確定的值，轉化成以為首項，以為公比的等比數列，再利用等比數列的通項公式求出的通項整理可得
法二：當的公比為時，由遞推式得：——①，，兩邊同時乘以得——②，由①②兩式相減得，即，在轉化為類型Ⅴ㈠便可求出
法三：遞推公式為（其中p，q均為常數）或（其中p，q, r均為常數）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以，得：，引入輔助數列（其中），得：再應用類型Ⅴ㈠的方法解決。
⑶當為任意數列時，可用通法：
在兩邊同時除以可得到，令，則，在轉化為類型Ⅲ（累加法），求出之后得.
類型Ⅵ 對數變換法：
形如型的遞推式：
在原遞推式兩邊取對數得，令得：，化歸為型，求出之后得（注意：底數不一定要取10，可根據題意選擇）。
類型Ⅶ 倒數變換法：
形如（為常數且）的遞推式：兩邊同除于，轉化為形式，化歸為型求出的表達式，再求；
還有形如的遞推式，也可采用取倒數方法轉化成形式，化歸為型求出的表達式，再求.
類型Ⅷ 形如型的遞推式：
用待定系數法，化為特殊數列的形式求解。方法為：設，比較系數得，可解得，于是是公比為的等比數列，這樣就化歸為型。
總之，求數列通項公式可根據數列特點采用以上不同方法求解，對不能轉化為以上方法求解的數列，可用歸納、猜想、證明方法求出數列通項公式
5、非等差、等比數列前項和公式的求法
⑴錯位相減法
①若數列為等差數列，數列為等比數列，則數列的求和就要采用此法.
②將數列的每一項分別乘以的公比，然后在錯位相減，進而可得到數列的前項和.
此法是在推導等比數列的前項和公式時所用的方法.
⑵裂項相消法
一般地，當數列的通項 時，往往可將變成兩項的差，采用裂項相消法求和.
可用待定系數法進行裂項：
設，通分整理后與原式相比較，根據對應項系數相等得，從而可得
常見的拆項公式有：
①
②
③
④
⑤
⑶分組法求和
有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可.一般分兩步：①找通向項公式②由通項公式確定如何分組.
⑷倒序相加法
如果一個數列，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，則可用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到了一個常數列的和，這種求和方法稱為倒序相加法。特征：
⑸記住常見數列的前項和：
①
②
③
第三章：不等式
§3.1、不等關系與不等式
1、不等式的基本性質
①（對稱性）
②（傳遞性）
③（可加性）
（同向可加性）
（異向可減性）
④（可積性）
⑤（同向正數可乘性）
（異向正數可除性）
⑥（平方法則）
⑦（開方法則）
⑧（倒數法則）
2、幾個重要不等式
①,（當且僅當時取號）. 變形公式：
②（基本不等式） ,（當且僅當時取到等號）.
變形公式：
用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”.
③（三個正數的算術—幾何平均不等式）（當且僅當時取到等號）.
④
（當且僅當時取到等號）.
⑤
（當且僅當時取到等號）.
⑥（當僅當a=b時取等號）
（當僅當a=b時取等號）
⑦
其中
規律：小于1同加則變大，大于1同加則變小.
⑧
⑨絕對值三角不等式
3、幾個著名不等式
①平均不等式：
,（當且僅當時取號）.
（即調和平均幾何平均算術平均平方平均）.
變形公式：

②冪平均不等式：
③二維形式的三角不等式：
④二維形式的柯西不等式： 當且僅當時，等號成立.
⑤三維形式的柯西不等式：
⑥一般形式的柯西不等式：
⑦向量形式的柯西不等式：
設是兩個向量，則當且僅當是零向量，或存在實數，使時，等號成立.
⑧排序不等式（排序原理）：
設為兩組實數.是的任一排列，則
（反序和亂序和順序和）
當且僅當或時，反序和等于順序和.
⑨琴生不等式:（特例:凸函數、凹函數）
若定義在某區間上的函數,對于定義域中任意兩點有
則稱f(x)為凸（或凹）函數.
4、不等式證明的幾種常用方法
常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；
其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等.
常見不等式的放縮方法：
①舍去或加上一些項，如
②將分子或分母放大（縮小），如

等.
5、一元二次不等式的解法
求一元二次不等式
解集的步驟：
一化：化二次項前的系數為正數.
二判：判斷對應方程的根.
三求：求對應方程的根.
四畫：畫出對應函數的圖象.
五解集：根據圖象寫出不等式的解集.
規律：當二次項系數為正時，小于取中間，大于取兩邊.
6、高次不等式的解法：穿根法.
分解因式，把根標在數軸上，從右上方依次往下穿（奇穿偶切），結合原式不等號的方向，寫出不等式的解集.
7、分式不等式的解法：先移項通分標準化，則
（時同理）
規律：把分式不等式等價轉化為整式不等式求解.
8、無理不等式的解法：轉化為有理不等式求解
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
規律：把無理不等式等價轉化為有理不等式，訣竅在于從“小”的一邊分析求解.
9、指數不等式的解法：
⑴當時,
⑵當時,
規律：根據指數函數的性質轉化.
10、對數不等式的解法
⑴當時,
⑵當時,
規律：根據對數函數的性質轉化.
11、含絕對值不等式的解法：
⑴定義法：
⑵平方法：
⑶同解變形法，其同解定理有：
①
②
③
④
規律：關鍵是去掉絕對值的符號.
12、含有兩個（或兩個以上）絕對值的不等式的解法：
規律：找零點、劃區間、分段討論去絕對值、每段中取交集，最后取各段的并集.
13、含參數的不等式的解法
解形如且含參數的不等式時，要對參數進行分類討論，分類討論的標準有：
⑴討論與0的大小；
⑵討論與0的大小；
⑶討論兩根的大小.
14、恒成立問題
⑴不等式的解集是全體實數（或恒成立）的條件是：
①當時
②當時
⑵不等式的解集是全體實數（或恒成立）的條件是：
①當時
②當時
⑶恒成立
恒成立
⑷恒成立
恒成立
15、線性規劃問題
⑴二元一次不等式所表示的平面區域的判斷：
法一：取點定域法：
由于直線的同一側的所有點的坐標代入后所得的實數的符號相同.所以，在實際判斷時，往往只需在直線某一側任取一特殊點（如原點），由的正負即可判斷出或表示直線哪一側的平面區域.
即：直線定邊界，分清虛實；選點定區域，常選原點.
法二：根據或，觀察的符號與不等式開口的符號，若同號，或表示直線上方的區域；若異號，則表示直線上方的區域.即：同號上方，異號下方.
⑵二元一次不等式組所表示的平面區域：
不等式組表示的平面區域是各個不等式所表示的平面區域的公共部分.
⑶利用線性規劃求目標函數為常數）的最值：
法一：角點法：
如果目標函數 （即為公共區域中點的橫坐標和縱坐標）的最值存在，則這些最值都在該公共區域的邊界角點處取得，將這些角點的坐標代入目標函數，得到一組對應值，最大的那個數為目標函數的最大值，最小的那個數為目標函數的最小值
法二：畫——移——定——求：
第一步，在平面直角坐標系中畫出可行域；第二步，作直線 ，平移直線（據可行域，將直線平行移動）確定最優解；第三步，求出最優解；第四步，將最優解代入目標函數即可求出最大值或最小值 .
第二步中最優解的確定方法：
利用的幾何意義：,為直線的縱截距.
①若則使目標函數所表示直線的縱截距最大的角點處，取得最大值，使直線的縱截距最小的角點處，取得最小值；
②若則使目標函數所表示直線的縱截距最大的角點處，取得最小值，使直線的縱截距最小的角點處，取得最大值.
⑷常見的目標函數的類型：
①“截距”型：
②“斜率”型：或
③“距離”型：或
或
在求該“三型”的目標函數的最值時，可結合線性規劃與代數式的幾何意義求解，從而使問題簡單化.
選修數學知識點
專題一：常用邏輯用語
1、命題：可以判斷真假的語句叫命題；
邏輯聯結詞：“或”“且”“非”這些詞就叫做邏輯聯結詞；
簡單命題：不含邏輯聯結詞的命題;
復合命題：由簡單命題與邏輯聯結詞構成的命題.
常用小寫的拉丁字母，，，，……表示命題.
2、四種命題及其相互關系
四種命題的真假性之間的關系：
⑴、兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；
⑵、兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．
3、充分條件、必要條件與充要條件
⑴、一般地，如果已知，那么就說：是的充分條件，是的必要條件；
若，則是的充分必要條件，簡稱充要條件．
⑵、充分條件，必要條件與充要條件主要用來區分命題的條件與結論之間的關系：
Ⅰ、從邏輯推理關系上看：
①若，則是充分條件，是的必要條件；
②若，但 ，則是充分而不必要條件;
③若 ，但，則是必要而不充分條件;
④若且，則是的充要條件；
⑤若 且 ，則是的既不充分也不必要條件.
Ⅱ、從集合與集合之間的關系上看：
已知滿足條件，滿足條件：
①若,則是充分條件；
②若,則是必要條件；
③若A B，則是充分而不必要條件;
④若B A，則是必要而不充分條件;
⑤若，則是的充要條件；
⑥若且，則是的既不充分也不必要條件.
4、復合命題
⑴復合命題有三種形式：或（）；且（）；非（）.
⑵復合命題的真假判斷
“或”形式復合命題的真假判斷方法：一真必真；
“且”形式復合命題的真假判斷方法：一假必假；
“非”形式復合命題的真假判斷方法：真假相對.
5、全稱量詞與存在量詞
⑴全稱量詞與全稱命題
短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示.含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題.
⑵存在量詞與特稱命題
短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示.含有存在量詞的命題，叫做特稱命題.
⑶全稱命題與特稱命題的符號表示及否定
①全稱命題：，它的否定：全稱命題的否定是特稱命題．
②特稱命題：，它的否定：特稱命題的否定是全稱命題.
專題二：圓錐曲線與方程
1．橢圓
焦點的位置
焦點在軸上
焦點在軸上
圖形
標準方程
第一定義
到兩定點的距離之和等于常數2，即（）
第二定義
與一定點的距離和到一定直線的距離之比為常數，即
范圍
且
且
頂點
、
、
、
、
軸長
長軸的長 短軸的長
對稱性
關于軸、軸對稱，關于原點中心對稱
焦點
、
、
焦距
離心率

準線方程
焦半徑
左焦半徑：
右焦半徑：
下焦半徑：
上焦半徑：
焦點三角形面積
通徑
過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：
（焦點）弦長公式
，
焦點的位置
焦點在軸上
焦點在軸上
圖形
標準方程
第一定義
到兩定點的距離之差的絕對值等于常數，即（）
第二定義
與一定點的距離和到一定直線的距離之比為常數，即
范圍
或，
或，
頂點
、
、
軸長
實軸的長 虛軸的長
對稱性
關于軸、軸對稱，關于原點中心對稱
焦點
、
、
焦距
離心率
準線方程
漸近線方程
焦半徑
在右支
在左支
在上支
在下支
焦點三角形面積
通徑
過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：
2．雙曲線
3．拋物線
圖形
標準方程
定義
與一定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點不在定直線上)
頂點
離心率
對稱軸
軸
軸
范圍
焦點
準線方程
焦半徑
通徑
過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑：
焦點弦長
公式
參數的幾何意義
參數表示焦點到準線的距離，越大，開口越闊
關于拋物線焦點弦的幾個結論：
設為過拋物線焦點的弦，，直線的傾斜角為，則
⑴ ⑵
⑶ 以為直徑的圓與準線相切；
⑷ 焦點對在準線上射影的張角為
⑸ 專題三：定積分
1、定積分的概念
如果函數在區間上連續，用分點將區間等分成個小區間，在每個小區間上任取一點，作和式，當時，上述和式無限接近某個常數，這個常數叫做函數在區間上的定積分.記作，即，這里，與分別叫做積分下限與積分上限，區間叫做積分區間，函數叫做被積函數，叫做積分變量，叫做被積式.
說明：　（1）定積分的值是一個常數，可正、可負、可為零；　（2）用定義求定積分的四個基本步驟：①分割；②近似代替；③求和；④取極限.
2、微積分基本定理(牛頓-萊布尼茲公式)
如果，且在上可積，則
，
【其中叫做的一個原函數，因為】
3、常用定積分公式
⑴（為常數）
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
⑼
⑽
4、定積分的性質
⑴（k為常數）；
⑵；
⑶（其中;
⑷利用函數的奇偶性求定積分:若是上的奇函數,則;若是上的偶函數,則.
5、定積分的幾何意義
定積分表示在區間上的曲線與直線、以及軸所圍成的平面圖形（曲邊梯形）的面積的代數和，即.（在x軸上方的面積取正號,在x軸下方的面積取負號）
6、求曲邊梯形面積的方法與步驟
⑴畫出草圖，在直角坐標系中畫出曲線或直線的大致圖像；⑵借助圖形確定出被積函數，求出交點坐標，確定積分的上、下限；⑶寫出定積分表達式；⑷求出曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對值的和.7、定積分的簡單應用
⑴定積分在幾何中的應用：
幾種常見的曲邊梯形面積的計算方法:
（1）型區域：
①由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（1））；
圖（1）
②由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（2））；
圖（2）
③由一條曲線
【當時，
當時，】
與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：
（如圖（3））；
圖（3）
④由兩條曲線（與直線所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（4））
圖（4）
（2）型區域：
①由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積,可由得，然后利用求出（如圖（5））；
圖（5）
②由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積，可由先求出，然后利用求出（如圖（6））；
圖（6）
③由兩條曲線與直線所圍成的曲邊梯形的面積，可由先分別求出，，然后利用求出（如圖（7））；
圖（7）
⑵定積分在物理中的應用：
①變速直線運動的路程　作變速直線運動的物體所經過的路程，等于其速度函數在時間區間上的定積分，即.②變力作功　物體在變力的作用下做直線運動，并且物體沿著與相同的方向從移動到，那么變力所作的功.
專題四：推理與證明

1、歸納推理
把從個別事實中推演出一般性結論的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納).
簡言之,歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理。
歸納推理的一般步驟：
通過觀察個別情況發現某些相同的性質；
從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般命題（猜想）；
證明（視題目要求，可有可無）.
2、類比推理
由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）．
簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.
類比推理的一般步驟：
找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；
用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想；
檢驗猜想。
3、合情推理
歸納推理和類比推理都是根據已有的事實，經過觀察、分析、比較、聯想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理.
歸納推理和類比推理統稱為合情推理，通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理.
4、演繹推理
從一般性的原理出發，推出某個特殊情況下的結論，這種推理稱為演繹推理．
簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理.
演繹推理的一般模式———“三段論”，包括　
　 ⑴大前提-----已知的一般原理；
⑵小前提-----所研究的特殊情況；
⑶結論-----據一般原理，對特殊情況做出的判斷．
用集合的觀點來理解：若集合中的所有元素都具有性質,是的一個子集,那么中所有元素也都具有性質P.
從推理所得的結論來看，合情推理的結論不一定正確，有待進一步證明；演繹推理在前提和推理形式都正確的前提下，得到的結論一定正確.
5、直接證明與間接證明
⑴綜合法：利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立.
框圖表示：
要點：順推證法；由因導果.
⑵分析法：從要證明的結論出發，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.
框圖表示：
要點：逆推證法；執果索因.
⑶反證法：一般地，假設原命題不成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立.的證明方法.它是一種間接的證明方法.
反證法法證明一個命題的一般步驟：
(1)（反設）假設命題的結論不成立；
(2)（推理）根據假設進行推理,直到導出矛盾為止；
(3)（歸謬）斷言假設不成立；
(4)（結論）肯定原命題的結論成立.
6、數學歸納法
數學歸納法是證明關于正整數的命題的一種方法.
用數學歸納法證明命題的步驟;
（1）（歸納奠基）證明當取第一個值時命題成立；
（2）（歸納遞推）假設時命題成立，推證當時命題也成立.
只要完成了這兩個步驟，就可以斷定命題對從開始的所有正整數都成立.
用數學歸納法可以證明許多與自然數有關的數學命題，其中包括恒等式、不等式、數列通項公式、幾何中的計算問題等.
專題五：數系的擴充與復數
1、復數的概念
⑴虛數單位；
⑵復數的代數形式；
⑶復數的實部、虛部，虛數與純虛數.
2、復數的分類
復數
3、相關公式
⑴
⑵
⑶
⑷
指兩復數實部相同，虛部互為相反數（互為共軛復數）.
4、復數運算
⑴復數加減法：；
⑵復數的乘法：；
⑶復數的除法：
（類似于無理數除法的分母有理化虛數除法的分母實數化）
5、常見的運算規律
設是1的立方虛根，則，
6、復數的幾何意義
復平面：用來表示復數的直角坐標系，其中軸叫做復平面的實軸，軸叫做復平面的虛軸.
專題六：排列組合與二項式定理
1、基本計數原理
⑴ 分類加法計數原理：(分類相加)
做一件事情，完成它有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法……在第類辦法中有種不同的方法.那么完成這件事情共有種不同的方法.
⑵ 分步乘法計數原理：(分步相乘)
做一件事情，完成它需要個步驟，做第一個步驟有種不同的方法，做第二個步驟有種不同的方法……做第個步驟有種不同的方法.那么完成這件事情共有種不同的方法.
2、排列與組合
⑴排列定義：一般地，從個不同的元素中任取個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同的元素中任取個元素的一個排列.
⑵組合定義：一般地，從個不同的元素中任取個元素并成一組，叫做從個不同的元素中任取個元素的一個組合.
⑶排列數：從個不同的元素中任取個元素的所有排列的個數，叫做從個不同的元素中任取個元素的排列數，記作.
⑷組合數：從個不同的元素中任取個元素的所有組合的個數，叫做從個不同的元素中任取個元素的組合數，記作.
⑸排列數公式：
①
；
②，規定.
⑹組合數公式：
①或；
②，規定.
⑺排列與組合的區別：排列有順序，組合無順序.
⑻排列與組合的聯系：，即排列就是先組合再全排列. ⑼排列與組合的兩個性質性質
排列；組合.
⑽解排列組合問題的方法
①特殊元素、特殊位置優先法（元素優先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置）.
②間接法（對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉）.
③相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）.
④不相鄰(相間)問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）.
⑤有序問題組合法.
⑥選取問題先選后排法.
⑦至多至少問題間接法.
⑧相同元素分組可采用隔板法.
⑨分組問題：要注意區分是平均分組還是非平均分組，平均分成n組問題別忘除以n！.
3、二項式定理
⑴二項展開公式： .
⑵二項展開式的通項公式：.主要用途是求指定的項.
⑶項的系數與二項式系數
項的系數與二項式系數是不同的兩個概念，但當二項式的兩個項的系數都為1時，系數就是二項式系數.如
在的展開式中，第項的二項式系數為，第項的系數為；而的展開式中的系數等于二項式系數；二項式系數一定為正，而項的系數不一定為正.
⑷的展開式：，
若令，則有
.
二項式奇數項系數的和等于二項式偶數項系數的和.即
⑸二項式系數的性質：
（1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等，即；
（2）增減性與最大值：當時，二項式系數C的值逐漸增大，當時,C的值逐漸減小，且在中間取得最大值。當n為偶數時，中間一項（第＋1項）的二項式系數取得最大值.當n為奇數時，中間兩項（第和＋1項）的二項式系數相等并同時取最大值.
⑹系數最大項的求法
設第項的系數最大，由不等式組
可確定.
⑺賦值法
若
則設 有：
①
②
③
④
⑤
專題七：隨機變量及其分布
1、基本概念
⑴互斥事件：不可能同時發生的兩個事件.
如果事件，其中任何兩個都是互斥事件，則說事件彼此互斥.
當是互斥事件時，那么事件發生（即中有一個發生）的概率，等于事件分別發生的概率的和，即
　　.
⑵對立事件：其中必有一個發生的兩個互斥事件.事件的對立事件通常記著.
對立事件的概率和等于1. .
特別提醒：“互斥事件”與“對立事件”都是就兩個事件而言的，互斥事件是不可能同時發生的兩個事件，而對立事件是其中必有一個發生的互斥事件，因此，對立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件，也就是說“互斥”是“對立”的必要但不充分的條件.
⑶相互獨立事件：事件（或）是否發生對事件（或）發生的概率沒有影響，（即其中一個事件是否發生對另一個事件發生的概率沒有影響）.這樣的兩個事件叫做相互獨立事件.
當是相互獨立事件時，那么事件發生（即同時發生）的概率，等于事件分別發生的概率的積.即
.
若A、B兩事件相互獨立，則A與、與B、與也都是相互獨立的.
⑷獨立重復試驗
①一般地，在相同條件下重復做的次試驗稱為次獨立重復試驗.
②獨立重復試驗的概率公式
如果在1次試驗中某事件發生的概率是，那么在次獨立重復試驗中這個試驗恰好發生次的概率
　　
⑸條件概率：對任意事件A和事件B，在已知事件A發生的條件下事件B發生的概率，叫做條件概率.記作P(B|A)，讀作A發生的條件下B發生的概率.
公式：
2、離散型隨機變量
⑴隨機變量：如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量隨機變量常用字母等表示.
⑵離散型隨機變量:對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.
⑶連續型隨機變量: 對于隨機變量可能取的值，可以取某一區間內的一切值，這樣的變量就叫做連續型隨機變量.
⑷離散型隨機變量與連續型隨機變量的區別與聯系: 離散型隨機變量與連續型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結果；但是離散型隨機變量的結果可以按一定次序一一列出，而連續性隨機變量的結果不可以一一列出.
若是隨機變量，是常數）則也是隨機變量并且不改變其屬性（離散型、連續型）.
3、離散型隨機變量的分布列
⑴概率分布（分布列）
設離散型隨機變量可能取的不同值為，…，，…，，
的每一個值（）的概率，則稱表
…
…
…
…
為隨機變量的概率分布，簡稱的分布列.
性質：① ②
⑵兩點分布
如果隨機變量的分布列為
0
1

則稱服從兩點分布，并稱為成功概率.
⑶二項分布
如果在一次試驗中某事件發生的概率是p，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發生k次的概率是
其中，于是得到隨機變量的概率分布如下：
0
1
…
k
…
n
…
…
我們稱這樣的隨機變量服從二項分布，記作，并稱p為成功概率.
判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關鍵有三點：
①對立性：即一次試驗中事件發生與否二者必居其一；
②重復性：即試驗是獨立重復地進行了次;
③等概率性：在每次試驗中事件發生的概率均相等.
注：⑴二項分布的模型是有放回抽樣；
⑵二項分布中的參數是
⑷超幾何分布
一般地, 在含有件次品的件產品中，任取件,其中恰有件次品數,則事件發生的概率為,于是得到隨機變量的概率分布如下：
0
1
…
…
其中,.
我們稱這樣的隨機變量的分布列為超幾何分布列,且稱隨機變量服從超幾何分布.
注:⑴超幾何分布的模型是不放回抽樣；
⑵超幾何分布中的參數是其意義分別是
總體中的個體總數、N中一類的總數、樣本容量.
4、離散型隨機變量的均值與方差
⑴離散型隨機變量的均值
一般地，若離散型隨機變量的分布列為
…
…
…
…
則稱
為離散型隨機變量的均值或數學期望（簡稱期望）.它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.
性質：①
②若服從兩點分布，則
③若，則
⑵離散型隨機變量的方差
一般地，若離散型隨機變量的分布列為
…
…
…
…
則稱
為離散型隨機變量的方差，并稱其算術平方根為隨機變量的標準差.它反映了離散型隨機變量取值的穩定與波動，集中與離散的程度.
越小，的穩定性越高，波動越小，取值越集中；越大，的穩定性越差，波動越大，取值越分散.
性質：①
②若服從兩點分布，則
③若，則
5、正態分布
正態變量概率密度曲線函數表達式：，其中是參數，且.記作如下圖：
專題八：統計案例
1、回歸分析
回歸直線方程，
其中
相關系數：
2、獨立性檢驗
假設有兩個分類變量X和Y，它們的值域分另為{x1, x2}和{y1, y2}，其樣本頻數22列聯表為： 　　
y1
y2
總計
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
總計
a+c
b+d
a+b+c+d
　 若要推斷的論述為H1：“X與Y有關系”，可以利用獨立性檢驗來考察兩個變量是否有關系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度.
具體的做法是，由表中的數據算出隨機變量的值，其中為樣本容量，K2的值越大，說明“X與Y有關系”成立的可能性越大.
隨機變量越大，說明兩個分類變量，關系越強；反之，越弱。
時，X與Y無關；時，X與Y有95%可能性有關；時X與Y有99%可能性有關.
專題九：坐標系與參數方程
1、平面直角坐標系中的伸縮變換
設點是平面直角坐標系中的任意一點，在變換的作用下，點對應到點，稱為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換。
2、極坐標系的概念
在平面內取一個定點，叫做極點；自極點引一條射線叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系。
點的極坐標：設是平面內一點，極點與點的距離叫做點的極徑，記為；以極軸為始邊，射線為終邊的叫做點的極角，記為。有序數對叫做點的極坐標，記為.
注：
極坐標與表示同一個點。極點的坐標為.
若,則,規定點與點關于極點對稱，即與表示同一點。
如果規定，那么除極點外，平面內的點可用唯一的極坐標表示（即一一對應的關系）；同時，極坐標表示的點也是唯一確定的。
極坐標與直角坐標都是一對有序實數確定平面上一個點，在極坐標系下，一對有序實數、對應惟一點P(，)，但平面內任一個點P的極坐標不惟一．一個點可以有無數個坐標，這些坐標又有規律可循的，P(，)（極點除外）的全部坐標為(,＋)或（，＋），(Z)．極點的極徑為0，而極角任意取．若對、的取值范圍加以限制．則除極點外，平面上點的極坐標就惟一了，如限定>0，0≤＜或<0，＜≤等．
極坐標與直角坐標的不同是，直角坐標系中，點與坐標是一一對應的，而極坐標系中，點與坐標是一多對應的．即一個點的極坐標是不惟一的．
3、極坐標與直角坐標的互化
設是平面內任意一點，它的直角坐標是，極坐標是，從圖中可以得出：
4、簡單曲線的極坐標方程
⑴圓的極坐標方程
①以極點為圓心，為半徑的圓的極坐標方程是 ；（如圖1）
②以為圓心， 為半徑的圓的極坐標方程是 ；（如圖2）
③以為圓心，為半徑的圓的極坐標方程是；（如圖4）
⑵直線的極坐標方程
①過極點的直線的極坐標方程是和. （如圖1）
②過點，且垂直于極軸的直線l的極坐標方程是. 化為直角坐標方程為.（如圖2）
③過點且平行于極軸的直線l的極坐標方程是. 化為直角坐標方程為.（如圖4）
5、柱坐標系與球坐標系
⑴柱坐標：空間點的直角坐標與柱坐標的變換關系為：.
⑵球坐標系
空間點直角坐標與球坐標的變換關系：.
6、參數方程的概念
在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標都是某個變數的函數 并且對于的每一個允許值，由這個方程所確定的點都在這條曲線上，那么這個方程就叫做這條曲線的參數方程，聯系變數的變數叫做參變數，簡稱參數。
相對于參數方程而言，直接給出點的坐標間關系的方程叫做普通方程。
7、常見曲線的參數方程
（1）圓的參數方程為 （為參數）；
（2）橢圓的參數方程為 （為參數）；
橢圓的參數方程為 （為參數）；
（3）雙曲線的參數方程 （為參數）；
雙曲線的參數方程 （為參數）；
（4）拋物線參數方程 為參數，）；
參數的幾何意義：拋物線上除頂點外的任意一點與原點連線的斜率的倒數.
（6）過定點、傾斜角為的直線的參數方程（為參數）.
8、參數方程與普通方程之間的互化
在建立曲線的參數方程時，要注明參數及參數的取值范圍。在參數方程與普通方程的互化中，必須使的取值范圍保持一致.
參數方程化為普通方程的關鍵是消參數，并且要保證等價性。若不可避免地破壞了同解變形，則一定要通過。根據t的取值范圍導出的取值范圍.
寄語高三學子
迎考是一個化蝶的過程，
須經歷破繭時劇烈的陣痛，
只要你耐心地堅持，
終能自由飛舞天空。
迎考是一個冶煉的過程，
須經歷烈火與鍛造的折騰，
只要你經得住考驗，鋼鐵就是這樣練成。
迎考是一個登山的過程，須經歷曲折和坎坷的困境，
只要你不停地登攀，
就會盡情享受美景。
這里就是戰場
沒有炮火硝煙，卻似乎看到一場場激戰；沒有鼓號錚鳴，卻仿佛聽見一陣陣吶喊！
這里就是戰場，
迎考就是作戰，
老師前線在指揮，
家長后方來支援。
堅定必勝信念，
何懼重重難關，
同學們，拼了吧！
勝利在向你召喚。
高三是什么，
高三是一部傳奇小說，敘述著主人公的悲歡離合；高三是一篇抒情散文，
抒寫著考生們激情燃燒的歲月；高三是一冊悲壯的史書，記載著創業者的艱難坎坷；高三是一道充滿未知數的數學題，
答案取決于解題過程的對錯；
高三是一場體育決賽，優勝劣汰競爭殘酷而激烈；高三是一個生死存亡的戰場，勝利靠的是頑強拼搏！
高考是這樣一個機會：
一個非常難得的機會，
一個培養毅力的機會，
一個證實自己的機會，
一個挑戰自己的機會，
一個完善自己的機會，
一個超越自己的機會，
一個改變人生的機會，
面對高考這樣的機會，
該怎樣抓住這個機會！
錄取名單尚未確定，
一切皆有可能，
一切偉大正在形成，
讓我們就從現在開始，
以堅定的信念，
飽滿的熱情，
頑強的毅力，
不懈的努力，
去鑄就人生的輝煌，
拼出燦爛輝煌的明天！


展開更多......

收起↑