資源簡介

(共85張PPT)
第五章
§5.1　平面向量的概念及線性運算
考試要求
1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.
2.掌握向量的加法、減法運算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.
3.了解向量線性運算的性質及其幾何意義．
落實主干知識
探究核心題型
內容
索引
課時精練
LUOSHIZHUGANZHISHI
落實主干知識
1.向量的有關概念
(1)向量：既有大小又有_____的量叫做向量，向量的大小叫做向量的____
______.
(2)零向量：長度為__的向量，記作0.
(3)單位向量：長度等于________長度的向量.
(4)平行向量：方向相同或____的非零向量，也叫做共線向量，規定：零向量與任意向量平行.
(5)相等向量：長度相等且方向_____的向量.
(6)相反向量：長度相等且方向_____的向量.
方向
長度
(或模)
0
1個單位
相反
相同
相反
向量運算 法則(或幾何意義) 運算律
加法 交換律：
a＋b＝_______；
結合律：
(a＋b)＋c＝_________
2.向量的線性運算
b＋a
a＋(b＋c)
減法 a－b＝a＋(－b)
數乘 |λ a|＝_______，當λ>0時，λa的方向與a的方向 ； 當λ<0時，λa的方向與a的方向 ； 當λ＝0時，λa＝___ λ(μ a)＝_______；
(λ＋μ)a＝________；
λ(a＋b)＝________
|λ||a|
相同
相反
0
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
3.向量共線定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使得_______.
b＝λa
常用
結論
常用
結論
判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)|a|與|b|是否相等，與a，b的方向無關.(　　 )
(2)若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b.(　　 )
√
×
×
(4)起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.(　 　)
√
④海拔、溫度、角度都不是向量.
則所有正確命題的序號是
A.①② B.①③
C.②③ D.③④
1.給出下列命題：
①若a與b都是單位向量，則a＝b；
②直角坐標平面上的x軸、y軸都是向量；
√
①錯誤，由于單位向量長度相等，但是方向不確定；
②錯誤，由于只有方向，沒有大小，故x軸、y軸不是向量；
③正確，由于向量起點相同，但長度不相等，所以終點不同；
④正確，海拔、溫度、角度只有大小，沒有方向，故不是向量.
√
3.已知a與b是兩個不共線的向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝
________.
由題意知存在k∈R，
使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
TANJIUHEXINTIXING
探究核心題型
例1　 (1)給出下列命題，正確的有
A.若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同
√
題型一
平面向量的概念
C.a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b
D.已知λ，μ為實數，若λa＝μb，則a與b共線
A錯誤，兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等，但兩個向量相等，不一定有相同的起點和終點；
C錯誤，當a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件；
D錯誤，當λ＝μ＝0時，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線.
(2)如圖，在等腰梯形ABCD中，對角線AC與BD交于點P，點E，F分別在腰AD，BC上，EF過點P，且EF∥AB，則下列等式中成立的是
√
下列命題為假命題的是
A.若a與b為非零向量，且a∥b，則a＋b必與a或b平行
B.若e為單位向量，且a∥e，則a＝|a|e
C.兩個非零向量a，b，若|a－b|＝|a|＋|b|，則a與b共線且反向
D.“兩個向量平行”是“這兩個向量相等”的必要不充分條件
教師備選
√
思維升華
平行向量有關概念的四個關注點
(1)非零向量的平行具有傳遞性.
(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關.
(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.
D.若a＝b，b＝c，則a＝c
跟蹤訓練1　 (1)下列命題不正確的是
A.零向量是唯一沒有方向的向量
B.零向量的長度等于0
√
A項，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯誤；
B項，由零向量的定義知，零向量的長度為0，故B正確；
D項，由向量相等的定義知D正確.
(2)對于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
√
若a＋b＝0，
則a＝－b，則a∥b，即充分性成立；若a∥b，則a＝－b不一定成立，即必要性不成立，
即“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要條件.
例2　 (2022·濟南模擬)已知單位向量e1，e2，…，e2 023，則|e1＋e2＋…＋e2 023|的最大值是______，最小值是___.
題型二
平面向量的線性運算
命題點1　向量加、減法的幾何意義
2 023　 0
當單位向量e1，e2，…，e2 023方向相同時，
|e1＋e2＋…＋e2 023|取得最大值，
|e1＋e2＋…＋e2 023|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2 023|＝2 023；
當單位向量e1，e2，…，e2 023首尾相連時，
e1＋e2＋…＋e2 023＝0，
所以|e1＋e2＋…＋e2 023|的最小值為0.
例3　如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD，E是BC邊上一點，且 ＝3，F是AE的中點，則下列關系式不正確的是
命題點2　向量的線性運算
√
所以選項A正確；
所以選項B正確；
所以選項C不正確；
所以選項D正確.
命題點3　根據向量線性運算求參數
√
如圖所示，
易知BC＝4AD，
CE＝2AD，
教師備選
√
如圖所示，
∵D為BC的中點，
√
思維升華
平面向量線性運算的常見類型及解題策略
(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義.
(2)求參數問題可以通過向量的運算將向量表示出來，進行比較，求參數的值.
如圖所示，由題意可知
√
√
如圖所示，由題意知，
例5　設兩向量a與b不共線.
題型三
共線定理及其應用
又它們有公共點B，
∴A，B，D三點共線.
∵ka＋b與a＋kb共線，∴存在實數λ，
使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共線的兩個向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，
∴k＝±1.
(2)試確定實數k，使ka＋b和a＋kb共線.
A.2 B.3
C.4 D.8
教師備選
√
2.設兩個非零向量a與b不共線，若a與b的起點相同，且a，tb， (a＋b)的終點在同一條直線上，則實數t的值為________.
又a，b為兩個不共線的非零向量，
思維升華
利用共線向量定理解題的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據.
(2)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.
√
由題意知，
因為M，N，Q三點共線，故存在實數λ，
即a－2b＝λ[a－(k＋1)b]，解得λ＝1，k＝1.
√
因為線段CO與線段AB交于點D，
所以O，C，D三點共線，
因為A，B，D三點共線，
所以λ＋μ的取值范圍是(1，＋∞).
KESHIJINGLIAN
課時精練
根據正六邊形的性質，
基礎保分練
√
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2.若a，b為非零向量，則“ ”是“a，b共線”的
A.充要條件
B.充分不必要條件
C.必要不充分條件
D.既不充分也不必要條件
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A.a∥b B.a＋b＝a
C.a＋b＝b D.|a＋b|＝|a|＋|b|
由a＋b＝b，所以B不正確，C正確；
由|a＋b|＝|b|，|a|＋|b|＝|b|，
所以|a＋b|＝|a|＋|b|，所以D正確.
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4.(2022·汕頭模擬)下列命題中正確的是
A.若a∥b，則存在唯一的實數λ使得a＝λb
B.若a∥b，b∥c，則a∥c
C.若a·b＝0，則a＝0或b＝0
D.|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|
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√
若a∥b，且b＝0，則可有無數個實數λ使得a＝λb，故A錯誤；
若a∥b，b∥c(b≠0)，則a∥c，若b＝0，
則a，c不一定平行，故B錯誤；
若a·b＝0，也可以為a⊥b，故C錯誤；
根據向量加法的三角形法則和向量減法的幾何意義知，|a|－|b|≤
|a＋b|≤|a|＋|b|成立，故D正確.
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B.兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的終點相同
C.向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反
D.向量的模是一個正實數
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B項，兩個有共同起點且長度相等的向量，若方向也相同，則它們的終點相同，故錯誤；
C項，向量a與b平行時，若a或b為零向量，不滿足條件，故錯誤；
D項，向量的模是一個非負實數，故錯誤.
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連接AE(圖略)，因為F為DE的中點，
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8.莊嚴美麗的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一個非常優美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯系，在如圖所示的正五角星中，以A，B，C，D，E為頂點的多邊形為正五邊形，且 .下列關系中正確的是
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所以ta－b＝k(2a＋3b)＝2ka＋3kb，
即(t－2k)a＝(3k＋1)b.
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如圖，設F為BC的中點，
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又G，D，E三點共線，
在△AEF中，∠AFE＝120°，AF＝EF＝2，
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技能提升練
直角
因為點P是△ABC所在平面內一點，
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如圖，過D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點M，N，
∵B，D，C三點共線，
∵在△ABC中，∠A＝60°，
∠A的平分線交BC于D，
∴四邊形AMDN是菱形，
∵AB＝4，∴AN＝AM＝3，
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拓展沖刺練
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又D為BC的中點，M為AC的中點，
則P，D，M三點共線且D為PM的中點，
又D為BC的中點，
所以四邊形CPBM為平行四邊形.
設BC的中點為D，AC的中點為M，連接PD，MD，BM，如圖所示，
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所以△AMB為等邊三角形，∠BAC＝60°，
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可得O為△A′BC′的重心，如圖，
設S△AOB＝x，S△BOC＝y，S△AOC＝z，
則S△A′OB＝2x，S△BOC′＝3y，S△A′OC′＝6z，
由2x＝3y＝6z，
可得S△AOC∶S△ABC＝z∶(x＋y＋z)＝1∶6.

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