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近幾年安徽省中考數學壓軸題分類探析
合肥45中 金效奇
數學壓軸題是指在一套數學試卷中涉及到的數學知識點較多，結構復雜，題型新穎，解法沒有固定模式，難度較大，對同學們的解題技能、技巧有較高的要求且分值較高排在試卷最后面的題。　　一般試卷中的壓軸題常以綜合題的形式出現，常常循序漸進地設計成幾道小題目.要順利解答壓軸題，除了基礎知識要扎實之外，審題也很關鍵.搞清題目的類型，理清題目中的知識點，分清條件和結論，注意關鍵語句找出關鍵條件，特別要挖掘隱含條件，并盡量根據題意列出相關的數式或畫出示意圖形，然后分析條件和結論之間的聯系，從而找到正確合理的解題途徑.將復雜問題分解或轉化成較為簡單或者熟悉的問題則是解此類題目的一條重要原則。
近幾年來，隨著中考改革的進行，許多應用型的中考壓軸題在不斷的涌現，壓軸題的類型也在不斷的變化，本文力求從中考知識點和數學思想的角度對近幾年來安徽省中考數學壓軸題進行分類，找出其中的共性，發現其規律，為2010年及以后的中考探明方向。
1、二次函數題仍是“熱點”
二次函數作為初中數學的一個難點也是歷年來中考的熱點，是初中數學與高中數學銜接最緊密的地方。但是近年來由于對二次函數題類型與深度的挖掘，二次函數題的“新”與“深”受到了限制，不過安徽省中考題還有非常美好的一面。
例1、（2004年）某企業投資100萬元引進一條農產品加工生產線，若不計維修、保養費用，預計投產后每年可創利33萬元．該生產線投產后，從第1年到第x年的維修、保養費用累計為y(萬元)，且y=ax2+bx，若第1年的維修、保養費為2萬元，第2年的為4萬元．
(1)求y的解析式；
(2)投產后，這個企業在第幾年就能收回投資?
解：(1)由題意，x=1時，y=2；x=2時，y=6．分別代入y=ax2+bx，解得：a=1 、b=1．y=x2+x
(2)，設g=33x-100-x2-x，則g=-x2+32x-100=-(x-16)2+156
由于當1≤x≤l 6時，g隨x的增大而增大．且當x=1，2，3時，g的值均小于O，當x=4時，g=-122+156>0，可知投產后該企業在第4年就能收回投資。
此題作為壓軸題，關鍵考查學生對應用題的審題能力，當年,這個題的錯誤率相當高，因為大家對“費用累計”這個概念不清楚，把x=2時，y=4代入，從而導致結果錯誤。
例2、（2007年）按右下圖所示的流程，輸入一個數據x，根據y與x的關系式就
輸出一個數據y，這樣可以將一組數據變換成另一組新的數據，要使任意一組都在20～100（含20和100）之間的數據，變換成一組新數據后能滿足下列兩個要求：（Ⅰ）新數據都在60～100（含60和100）之間；（Ⅱ）新數據之間的大小關系與原數據之間的大小關系一致，即原數據大的對應的新數據也較大。
（1）、若y與x的關系是y＝x＋p(100－x)，請說明：當p＝時，這種變換滿足上
述兩個要求；（2）若按關系式y=a(x－h)2＋k　(a>0)將數據進行變換，請寫出一個滿足上述要求的這種關系式。
解：（1）略，（2）本題是開放性問題，答案不唯一。
若所給出的關系式滿足：（a）h≤20；（b）若x=20,100時，
y的對應值m，n能落在60～100之間，則這樣的關系式都符
合要求。如取h=20,y=,∵a＞0，∴當20≤x≤100
時，y隨著x的增大
令x=20,y=60，得k=60 　 ①
令x=100,y=100，得a×802＋k=100 ②
由①②解得， ∴。
04年和07年二次函數的考題中可看出，從復雜的應用到自變量的取值范圍的逆向考查，方向發生了很大的變化。應用題的類型在全國各省市中考題中已經貫穿到位，那么，如何讓二次函數題有深度有新意，07年的壓軸題是二次函數命題的巔峰之作。它提示我們復習二次函數知識時要與高中知識聯系在一塊，努力挖掘新的東西。
2、分段函數題“異軍突起”
分段函數是初中數學里一個非常重要的內容，也是函數部分與高中數學聯系最緊密的地方，它的命題范圍有一次函數的基礎也有二次函數的內容，因此，無論從命題還是從考試的角度它能考查的知識點還是有深度的。當然，它成為這兩年中考的熱點。
例3、（2008年）剛回營地的兩個搶險分隊又接到救災命令：一分隊立即出發往30千米的A鎮；二分隊因疲勞可在營地休息a（0≤a≤3）小時再往A鎮參加救災。一分隊出發后得知，唯一通往A鎮的道路在離營地10千米處發生塌方，塌方地形復雜，必須由一分隊用1小時打通道路，已知一分隊的行進速度為5千米/時，二分隊的行進速度為（4＋a）千米/時。
⑴若二分隊在營地不休息，問二分隊幾小時能趕到A鎮？
⑵若二分隊和一分隊同時趕到A鎮，二分隊應在營地休息幾小時？
⑶下列圖象中，①②分別描述一分隊和二分隊離A鎮的距離y(千米)和時間x(小時)的函數關系，請寫出你認為所有可能合理的代號，并說明它們的實際意義。
解：（1）若二分隊在營地不休息，則a＝0，速度為4千米/時，行至塌方處需（小時）因為一分隊到塌方處并打通道路需要（小時），故二分隊在塌方處需停留0.5小時，所以二分隊在營地不休息趕到A鎮需2.5+0.5+＝8（小時）　　　　　　　　　　　（2）一分隊趕到A鎮共需+1＝7（小時）
（Ⅰ）若二分隊在塌方處需停留，則后20千米需與一分隊同行，故4+a＝5，即a=1，這與二分隊在塌方處停留矛盾，舍去；
（Ⅱ）若二分隊在塌方處不停留，則（4+a）(7－a)=30，即a2－3a+2＝0,,解得a1=1，a2=2均符合題意。答：二分隊應在營地休息1小時或2小時。（其他解法只要合理即給分）　　　　
(3)合理的圖像為（b）、（d）.
圖像（b）表明二分隊在營地休息時間過長（2＜a≤3），后于一分隊趕到A鎮；
圖像（d）表明二分隊在營地休息時間恰當（1＜a≤2），先于一分隊趕到A鎮。
此題從表面上看是一元一次方程和一元二次方程應用題，實際上是一個分段函數問題，解決整個問題關鍵是找清楚塌方前和塌方后時間與路程之間的關系，只是中間有“在塌方處是否停留”作為分類的標準提高了難度。特別是在第3問中讓大家選擇圖像時，可以說命題人要考查分段函數意圖得到了充分的體現。
例4、（2009年）已知某種水果的批發單價與批發量的函數關系如圖（1）所示．
（1）請說明圖中①、②兩段函數圖象的實際意義．
（2）寫出批發該種水果的資金金額w（元）與批發量
m（kg）之間的函數關系式；在下圖的坐標系中畫出該
函數圖象；指出金額在什么范圍內，以同樣的資金可以
批發到較多數量的該種水果．（3）經調查，某經銷商銷
售該種水果的日最高銷量與零售價之間的函數關系如圖
（2）所示，該經銷商擬每日售出60kg以上該種水果，
且當日零售價不變，請你幫助該經銷商設計進貨和銷售
的方案，使得當日獲得的利潤最大．
解：（1）圖①表示批發量不少于20kg且不多于60kg的該種水果，可按5元/kg批發；
圖②表示批發量高于60kg的該種水果，可按4元/kg批發．（2）解：由題意得：，函數圖象如圖所示．
由圖可知資金金額滿足240＜w≤300時，以同
樣的資金可批發到較多數量的該種水果．
（3）設日最高銷售量為xkg（x＞60）
則由圖②日零售價p滿足：，
于是銷售利潤
當x＝80時，
，此時p＝6即經銷商應批發80kg該種水果，日零售價定為6元/kg
如果說08年的中考壓軸題中分段函數是隱藏在里面，那么09年的壓軸題對分段函數進行了最全面的考查。由圖像得出解析式然后再由解析式畫圖像，函數的思想、數形結合的思想體現的非常明顯。
在解分段函數時首先要注意自變量的取值范圍，哪些是包含的哪些是不包含的要看清楚，其次分段函數的關系式的書寫要有規范如，再次要認真分析每一個自變量段之間的函數關系。
分段函數題是近兩年來安徽省中考題的熱點，也是與高中知識聯系最緊密的地方。
3、“新定義試題”不斷出現
所謂定義試題是指在試題中出現新的概念，讓學生通過認識新的概念，分析概念從而去解決問題的的試題。可以這么說，新定義試題的出現首先來源于安徽省中考，03年的中考中已經出現了。
例5 、（2003年）如圖，這些等腰三角形與正三角形的形狀有差異，我們把這與正三角形的接近程度稱為“正度”。在研究“正度”時，應保證相似三角形的“正度”相等。
設等腰三角形的底和腰分別為a，b，底角和頂角分別為α，β。要求“正度”的值是非負數。同學甲認為：可用式子|a-b|來表示“正度”，|a-b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；
同學乙認為：可用式子|α-β|來表示“正度”，
|α-β|的值越小，
表示等腰三角形越
接近正三角形。
探究：（1）他們的方案哪個較合理，為什么？2）對你認為不夠合理的方案，請加以改進（給出式子即可）；（3）請再給出一種衡量“正度”的表達式
解：（1）同學乙的方案較為合理。因為|α-β|的值越小，α與β越接近600，因而該等腰三角形越接近于正三角形，且能保證相似三角形的“正度”相等。 同學甲的方案不合理，不能保證相似三角形的“正度”相等。如：邊長為4，4，2和邊長為8，8，4的兩個等腰三角形相似，但|2-4|=2≠|4-8|=4
（2）對同學甲的方案可改為用等（k為正數）來表示“正度” （3）還可用等來表示“正度”。
此題在2003年的中考中得分率非常低，關鍵是有很多學生不理解“正度”的概念，實際上這個題就是一個概念分析題，通過對概念的多角度理解，考查學生分析問題、解決問題的能力。正是因為此題得分率很低，新定義試題在安徽省中考中消失了幾年，但是它留給大家的卻是對壓軸題命題新方向的思考。
例6 、（2006年）如圖（ l ) ，凸四邊形 ABCD ，如果點P滿足∠APD ＝∠APB =α
且∠B P C ＝∠CPD ＝β，則稱點P為四邊形 ABCD的一個半等角點．
( l ）在圖（ 3 ）正方形 ABCD 內畫一個半等角點P，且滿足α≠β。
( 2 ）在圖（ 4 ）四邊形 ABCD 中畫出一個半等角點P，保留畫圖痕跡（不需寫出畫法） .
( 3 ）若四邊形 ABCD 有兩個半等角點P1 、P2（如圖（ 2 ) ) ，證明線段P1 P2上任一點也是它的半等角點 。
解：（1）P點在AC上且不是AC的重點和AC的端點；
（2）、作B點關于AC的對稱點E，連接DE交AC于
P點，則P點即為所求；
（3）、連P1 A、P1 B 、 P1 D、 P2 C、 P2 D 、 P2 C
由 得B、D關于A、C對稱得
從而P是它的半等角點。
從2003年到2006年中間間隔了兩年，這個新定義試題讓安徽省中考數學壓軸題的新穎和深度走在了全國中考命題的前列。
此題由一個定義提出了一個新的概念，通過作圖對這個概念進行了由淺入深的分析，然后對這個概念進行了應用。符合對數學知識提出問題、分析問題、解決問題的規律，中間考查了對稱這一非常重要的知識點，并且考查了三角形全等、四邊形的性質等基本的數學知識以及構造的數學思想，當然更重要的是考查了學生的數學思維能力。
可以說06年的壓軸題也是當年各地中考題的經典之作，此后各地中考新定義試題不斷的涌現。
4、“概率題”首次出現在壓軸題中
例7、（2005年試驗區）兩人襖去某風景區游玩, 每天某一時段開往該風景區有三輛汽車(票價相同),但是他們不知道這些車的舒適程度, 也不知道汽車開過來的順序. 兩人采用了不同的乘車方案:甲無論如何總是上開來的第一輛車. 而乙則是先觀察后上車, 當第一輛車開來時, 他不上車, 而是子癇觀察車的舒適狀況, 如果第二輛車的舒適程度比第一輛好, 他就上第二輛車; 如果第二輛車不比第一輛好, 他就上第三輛車.
如果把這三輛車的舒適程度分為上、中、下三等, 請嘗試著解決下面的問題:
(1) 三輛車按出現的先后順序工有哪幾種不同的可能?
(2) 你認為甲、乙采用的方案, 哪一種方案使自己乘上等車的可能性大? 為什么?
解：(1)三輛車開來的先后順序有6種可能：(上、中、下)、(上、下、中)、(中、上、下)、(中、下、上)、(下、中、上)、(下、上、中).　　(2)由于不知道任何信息，所以只能假定6種順序出現的可能性相同.我們來研究在各種可能性的順序之下，甲、乙二人分別會上哪一輛汽車：
于是不難得出，甲乘上、中、下三輛車的概率都是；而乙乘上等車的概率是，乘中等車的概率是，乘下等車的概率是.　∴乙采取的方案乘坐上等車的可能性大.
把概率問題作為壓軸題可以說是安徽省中考題的特色，當年正因為是試驗區第一次大考，所以題目的難度不是很大。
5、有關“圓”的問題“沉寂多年”
“圓”作為初中階段內容比例較大的部分，因為難度較大，曾經作為考試的重點，但是為了考慮到學生的負擔最近幾年沒有了，但是2002年的經典壓軸題仍使我們記憶猶新。
例8、（2002年）某學習小組在探索“各內角都相等的圓內接多邊形是否為正多邊形”時，進行如下討論：甲同學：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內接矩形；　乙同學：我發現邊數是6時，它也不一定是正多邊形，如圖一，△ABC是正三角形，＝＝，可以證明六邊形ADBECF的各內角相等，但它未必是正六邊形；丙同學：我能證明，邊數是5時，它是正多邊形，我想，邊數是7時，它可能也是正多邊形．
請你說明乙同學構造的六邊形各內角相等．（2）請你證明，各內角都相等的圓內
接七邊形ABCDEFG（如圖二）
是正七邊形（不必寫已知、求證）．
根據以上探索過程，提出你的猜想
（不必證明）． （圖一） （圖二）
解：（1）由圖知∠AFC對．因為＝，　而∠DAF對的＝＋
＝＋＝　　所以∠AFC＝∠DAF．　　　　　　同理可證，其余各角都等于∠AFC．　　　　所以，圖一六邊形各內角相等．
　　（2）因為∠A對，∠B對，　又因為∠A＝∠B，所以　＝，
所以　＝．同理　＝＝＝＝＝＝．　　　　　所以　七邊形ABCDEFG是正七邊形．（3）猜想：當邊數是奇數時（或當邊數3，5，7，9，……時），各內角相等的圓內接多邊形是正多邊形．
此題以考查正多邊形的概念為基礎，在兩個基本問題的基礎上，探索了“邊是奇數時，各內角相等的圓內接多邊形是正多邊形”，這一非常重要的結論，其實，難度不大，考查了生分析問題解決問題的能力，富有新意。
6、從分類中看以后的中考壓軸題
因為09年的中考題比較難，所以10年的中考題從總體難度上肯定要小一些，但是壓軸題是不是一定在難度上小一些？我認為不一定。一份中考試卷有它的梯度，可以從其它題中降低難度，壓軸題所考查的知識和難度是其它題不可替代的。縱觀這八年的中考壓軸題，我們可以有一些想法：
（1）、要關注與高中知識接軌的部分。無論是二次函數的應用還是分段函數，從命題的方向上說逐漸向高中知識轉化。其實，這有兩個方面的原因，其一、二次函數的應用題已經挖掘到位，從難度上還是會走老路子——數學競賽題，但是很多類型都已經考過了，命題沒有新意。其二、命題者基本上是高中數學的專家，他們熟悉高中知識，把很多高中知識聯系子一起是很自然的事，如對分段函數的考查就是如此。
（2）、要關注初等數學研究的知識。構造的數學思想在壓軸題中仍有著很大的應用空間，而要從整個初中數學中構造出有一定深度的中考題，只有對初等數學有過研究的人才能駕馭得了。因此，作為一線的教育工作者只有苦心鉆研，多關注一些熱點的概念，或者通過構造一些概念設置一些問題來訓練學生的思維能力才能在解構造類的數學壓軸題中取勝。
（3）、要關注有關“圓”的問題。圓的大題雖沉寂多年，但是由于圓在整過初中數學中占有的課時是非常多的，九年級時間很緊張，學生花了那么多時間學習的知識如不在中考中得到體現，將是不公平的。因此，以后的中考題把圓的問題設置為壓軸題的可能性也是有的。
總之，安徽省的中考數學壓軸題在當年的全國各地的中考題中新穎、有深度，能充分考查學生的數學思維能力和解決問題的能力，研究它能帶給我們很多啟示。
作者簡介：金效奇 合肥45中數學教師 安師大數學教育專業畢業、初中數學高級教師 、安徽省教壇新星
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

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