資源簡介

高中數學必修+選修知識點歸納
新課標人教A版
魯甸縣文屏鎮中學高三第一輪復習資料引言
1.課程內容：
必修課程由5個模塊組成：
必修1：集合、函數概念與基本初等函數（指、對、冪函數）
必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。
必修3：算法初步、統計、概率。
必修4：基本初等函數（三角函數）、平面向量、三角恒等變換。
必修5：解三角形、數列、不等式。
以上是每一個高中學生所必須學習的。
上述內容覆蓋了高中階段傳統的數學基礎知識和基本技能的主要部分，其中包括集合、函數、數列、不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打好基礎的同時，進一步強調了這些知識的發生、發展過程和實際應用，而不在技巧與難度上做過高的要求。
此外，基礎內容還增加了向量、算法、概率、統計等內容。
選修課程有4個系列：
系列1：由2個模塊組成。
選修1—1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導數及其應用。
選修1—2：統計案例、推理與證明、數系的擴充與復數、框圖
系列2：由3個模塊組成。
選修2—1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、
空間向量與立體幾何。
選修2—2：導數及其應用，推理與證明、數系的擴充與復數
選修2—3：計數原理、隨機變量及其分布列，統計案例。
系列3：由6個專題組成。
選修3—1：數學史選講。
選修3—2：信息安全與密碼。
選修3—3：球面上的幾何。
選修3—4：對稱與群。
選修3—5：歐拉公式與閉曲面分類。
選修3—6：三等分角與數域擴充。
系列4：由10個專題組成。
選修4—1：幾何證明選講。
選修4—2：矩陣與變換。
選修4—3：數列與差分。
選修4—4：坐標系與參數方程。
選修4—5：不等式選講。
選修4—6：初等數論初步。
選修4—7：優選法與試驗設計初步。
選修4—8：統籌法與圖論初步。
選修4—9：風險與決策。
選修4—10：開關電路與布爾代數。
2．重難點及考點：
重點：函數，數列，三角函數，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導數
難點：函數、圓錐曲線
高考相關考點：
⑴集合與簡易邏輯:集合的概念與運算、簡易邏輯、充要條件
⑵函數：映射與函數、函數解析式與定義域、值域與最值、反函數、三大性質、函數圖象、指數與指數函數、對數與對數函數、函數的應用 　
⑶數列：數列的有關概念、等差數列、等比數列、數列求和、數列的應用
⑷三角函數：有關概念、同角關系與誘導公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡、證明、三角函數的圖象與性質、三角函數的應用
⑸平面向量：有關概念與初等運算、坐標運算、數量積及其應用
⑹不等式：概念與性質、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對值不等式、不等式的應用
⑺直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關系、線性規劃、圓、直線與圓的位置關系
⑻圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關系、軌跡問題、圓錐曲線的應用
⑼直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向量
⑽排列、組合和概率：排列、組合應用題、二項式定理及其應用
⑾概率與統計：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態分布
⑿導數：導數的概念、求導、導數的應用
⒀復數：復數的概念與運算
.
選修數學知識點
專題一：常用邏輯用語
1、命題：可以判斷真假的語句叫命題；
邏輯聯結詞：“或”“且”“非”這些詞就叫做邏輯聯結詞；
簡單命題：不含邏輯聯結詞的命題;
復合命題：由簡單命題與邏輯聯結詞構成的命題.
常用小寫的拉丁字母，，，，……表示命題.
2、四種命題及其相互關系
四種命題的真假性之間的關系：
⑴、兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；
⑵、兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．
3、充分條件、必要條件與充要條件
⑴、一般地，如果已知，那么就說：是的充分條件，是的必要條件；
若，則是的充分必要條件，簡稱充要條件．
⑵、充分條件，必要條件與充要條件主要用來區分命題的條件與結論之間的關系：
Ⅰ、從邏輯推理關系上看：
①若，則是充分條件，是的必要條件；
②若，但 ，則是充分而不必要條件;
③若 ，但，則是必要而不充分條件;
④若且，則是的充要條件；
⑤若 且 ，則是的既不充分也不必要條件.
Ⅱ、從集合與集合之間的關系上看：
已知滿足條件，滿足條件：
①若,則是充分條件；
②若,則是必要條件；
③若A B，則是充分而不必要條件;
④若B A，則是必要而不充分條件;
⑤若，則是的充要條件；
⑥若且，則是的既不充分也不必要條件.
4、復合命題
⑴復合命題有三種形式：或（）；且（）；非（）.
⑵復合命題的真假判斷
“或”形式復合命題的真假判斷方法：一真必真；
“且”形式復合命題的真假判斷方法：一假必假；
“非”形式復合命題的真假判斷方法：真假相對.
5、全稱量詞與存在量詞
⑴全稱量詞與全稱命題
短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示.含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題.
⑵存在量詞與特稱命題
短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示.含有存在量詞的命題，叫做特稱命題.
⑶全稱命題與特稱命題的符號表示及否定
①全稱命題：，它的否定：全稱命題的否定是特稱命題．
②特稱命題：，它的否定：特稱命題的否定是全稱命題.

專題七：隨機變量及其分布
1、基本概念
⑴互斥事件：不可能同時發生的兩個事件.
如果事件，其中任何兩個都是互斥事件，則說事件彼此互斥.
當是互斥事件時，那么事件發生（即中有一個發生）的概率，等于事件分別發生的概率的和，即
　　.
⑵對立事件：其中必有一個發生的兩個互斥事件.事件的對立事件通常記著.
對立事件的概率和等于1. .
特別提醒：“互斥事件”與“對立事件”都是就兩個事件而言的，互斥事件是不可能同時發生的兩個事件，而對立事件是其中必有一個發生的互斥事件，因此，對立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件，也就是說“互斥”是“對立”的必要但不充分的條件.
⑶相互獨立事件：事件（或）是否發生對事件（或）發生的概率沒有影響，（即其中一個事件是否發生對另一個事件發生的概率沒有影響）.這樣的兩個事件叫做相互獨立事件.
當是相互獨立事件時，那么事件發生（即同時發生）的概率，等于事件分別發生的概率的積.即
.
若A、B兩事件相互獨立，則A與、與B、與也都是相互獨立的.
⑷獨立重復試驗
①一般地，在相同條件下重復做的次試驗稱為次獨立重復試驗.
②獨立重復試驗的概率公式
如果在1次試驗中某事件發生的概率是，那么在次獨立重復試驗中這個試驗恰好發生次的概率
　　
⑸條件概率：對任意事件A和事件B，在已知事件A發生的條件下事件B發生的概率，叫做條件概率.記作P(B|A)，讀作A發生的條件下B發生的概率.
公式：
2、離散型隨機變量
⑴隨機變量：如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量隨機變量常用字母等表示.
⑵離散型隨機變量:對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.
⑶連續型隨機變量: 對于隨機變量可能取的值，可以取某一區間內的一切值，這樣的變量就叫做連續型隨機變量.
⑷離散型隨機變量與連續型隨機變量的區別與聯系: 離散型隨機變量與連續型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結果；但是離散型隨機變量的結果可以按一定次序一一列出，而連續性隨機變量的結果不可以一一列出.
若是隨機變量，是常數）則也是隨機變量并且不改變其屬性（離散型、連續型）.
3、離散型隨機變量的分布列
⑴概率分布（分布列）
設離散型隨機變量可能取的不同值為，…，，…，，
的每一個值（）的概率，則稱表
…
…
…
…
為隨機變量的概率分布，簡稱的分布列.
性質：① ②
⑵兩點分布
如果隨機變量的分布列為
0
1

則稱服從兩點分布，并稱為成功概率.
⑶二項分布
如果在一次試驗中某事件發生的概率是p，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發生k次的概率是
其中，于是得到隨機變量的概率分布如下：
0
1
…
k
…
n
…
…
我們稱這樣的隨機變量服從二項分布，記作，并稱p為成功概率.
判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關鍵有三點：
①對立性：即一次試驗中事件發生與否二者必居其一；
②重復性：即試驗是獨立重復地進行了次;
③等概率性：在每次試驗中事件發生的概率均相等.
注：⑴二項分布的模型是有放回抽樣；
⑵二項分布中的參數是
⑷超幾何分布
一般地, 在含有件次品的件產品中，任取件,其中恰有件次品數,則事件發生的概率為,于是得到隨機變量的概率分布如下：
0
1
…
…
其中,.
我們稱這樣的隨機變量的分布列為超幾何分布列,且稱隨機變量服從超幾何分布.
注:⑴超幾何分布的模型是不放回抽樣；
⑵超幾何分布中的參數是其意義分別是
總體中的個體總數、N中一類的總數、樣本容量.
4、離散型隨機變量的均值與方差
⑴離散型隨機變量的均值
一般地，若離散型隨機變量的分布列為
…
…
…
…
則稱
為離散型隨機變量的均值或數學期望（簡稱期望）.它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.
性質：①
②若服從兩點分布，則
③若，則
⑵離散型隨機變量的方差
一般地，若離散型隨機變量的分布列為
…
…
…
…
則稱
為離散型隨機變量的方差，并稱其算術平方根為隨機變量的標準差.它反映了離散型隨機變量取值的穩定與波動，集中與離散的程度.
越小，的穩定性越高，波動越小，取值越集中；越大，的穩定性越差，波動越大，取值越分散.
性質：①
②若服從兩點分布，則
③若，則
5、正態分布
正態變量概率密度曲線函數表達式：，其中是參數，且.記作如下圖：
專題三：定積分
1、定積分的概念
如果函數在區間上連續，用分點將區間等分成個小區間，在每個小區間上任取一點，作和式，當時，上述和式無限接近某個常數，這個常數叫做函數在區間上的定積分.記作，即，這里，與分別叫做積分下限與積分上限，區間叫做積分區間，函數叫做被積函數，叫做積分變量，叫做被積式.
說明：　（1）定積分的值是一個常數，可正、可負、可為零；　（2）用定義求定積分的四個基本步驟：①分割；②近似代替；③求和；④取極限.
2、微積分基本定理(牛頓-萊布尼茲公式)
如果，且在上可積，則
，
【其中叫做的一個原函數，因為】
3、常用定積分公式
⑴（為常數）
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
⑼
⑽
4、定積分的性質
⑴（k為常數）；
⑵；
⑶（其中;
⑷利用函數的奇偶性求定積分:若是上的奇函數,則;若是上的偶函數,則.
5、定積分的幾何意義
定積分表示在區間上的曲線與直線、以及軸所圍成的平面圖形（曲邊梯形）的面積的代數和，即.（在x軸上方的面積取正號,在x軸下方的面積取負號）
6、求曲邊梯形面積的方法與步驟
⑴畫出草圖，在直角坐標系中畫出曲線或直線的大致圖像；⑵借助圖形確定出被積函數，求出交點坐標，確定積分的上、下限；⑶寫出定積分表達式；⑷求出曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對值的和.7、定積分的簡單應用
⑴定積分在幾何中的應用：
幾種常見的曲邊梯形面積的計算方法:
（1）型區域：
①由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（1））；
圖（1）
②由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（2））；
圖（2）
③由一條曲線
【當時，
當時，】
與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：
（如圖（3））；
圖（3）
④由兩條曲線（與直線所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（4））
圖（4）
（2）型區域：
①由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積,可由得，然后利用求出（如圖（5））；
圖（5）
②由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積，可由先求出，然后利用求出（如圖（6））；
圖（6）
③由兩條曲線與直線所圍成的曲邊梯形的面積，可由先分別求出，，然后利用求出（如圖（7））；
圖（7）
⑵定積分在物理中的應用：
①變速直線運動的路程　作變速直線運動的物體所經過的路程，等于其速度函數在時間區間上的定積分，即.②變力作功　物體在變力的作用下做直線運動，并且物體沿著與相同的方向從移動到，那么變力所作的功.
專題九：坐標系與參數方程
1、平面直角坐標系中的伸縮變換
設點是平面直角坐標系中的任意一點，在變換的作用下，點對應到點，稱為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換。
2、極坐標系的概念
在平面內取一個定點，叫做極點；自極點引一條射線叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系。
點的極坐標：設是平面內一點，極點與點的距離叫做點的極徑，記為；以極軸為始邊，射線為終邊的叫做點的極角，記為。有序數對叫做點的極坐標，記為.
注：
極坐標與表示同一個點。極點的坐標為.
若,則,規定點與點關于極點對稱，即與表示同一點。
如果規定，那么除極點外，平面內的點可用唯一的極坐標表示（即一一對應的關系）；同時，極坐標表示的點也是唯一確定的。
極坐標與直角坐標都是一對有序實數確定平面上一個點，在極坐標系下，一對有序實數、對應惟一點P(，)，但平面內任一個點P的極坐標不惟一．一個點可以有無數個坐標，這些坐標又有規律可循的，P(，)（極點除外）的全部坐標為(,＋)或（，＋），(Z)．極點的極徑為0，而極角任意取．若對、的取值范圍加以限制．則除極點外，平面上點的極坐標就惟一了，如限定>0，0≤＜或<0，＜≤等．
極坐標與直角坐標的不同是，直角坐標系中，點與坐標是一一對應的，而極坐標系中，點與坐標是一多對應的．即一個點的極坐標是不惟一的．
3、極坐標與直角坐標的互化
設是平面內任意一點，它的直角坐標是，極坐標是，從圖中可以得出：
4、簡單曲線的極坐標方程
⑴圓的極坐標方程
①以極點為圓心，為半徑的圓的極坐標方程是 ；（如圖1）
②以為圓心， 為半徑的圓的極坐標方程是 ；（如圖2）
③以為圓心，為半徑的圓的極坐標方程是；（如圖4）
⑵直線的極坐標方程
①過極點的直線的極坐標方程是和. （如圖1）
②過點，且垂直于極軸的直線l的極坐標方程是. 化為直角坐標方程為.（如圖2）
③過點且平行于極軸的直線l的極坐標方程是. 化為直角坐標方程為.（如圖4）
5、柱坐標系與球坐標系
⑴柱坐標：空間點的直角坐標與柱坐標的變換關系為：.
⑵球坐標系
空間點直角坐標與球坐標的變換關系：.
6、參數方程的概念
在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標都是某個變數的函數 并且對于的每一個允許值，由這個方程所確定的點都在這條曲線上，那么這個方程就叫做這條曲線的參數方程，聯系變數的變數叫做參變數，簡稱參數。
相對于參數方程而言，直接給出點的坐標間關系的方程叫做普通方程。
7、常見曲線的參數方程
（1）圓的參數方程為 （為參數）；
（2）橢圓的參數方程為 （為參數）；
橢圓的參數方程為 （為參數）；
（3）雙曲線的參數方程 （為參數）；
雙曲線的參數方程 （為參數）；
（4）拋物線參數方程 為參數，）；
參數的幾何意義：拋物線上除頂點外的任意一點與原點連線的斜率的倒數.
（6）過定點、傾斜角為的直線的參數方程（為參數）.
8、參數方程與普通方程之間的互化
在建立曲線的參數方程時，要注明參數及參數的取值范圍。在參數方程與普通方程的互化中，必須使的取值范圍保持一致.
參數方程化為普通方程的關鍵是消參數，并且要保證等價性。若不可避免地破壞了同解變形，則一定要通過。根據t的取值范圍導出的取值范圍.
專題二：圓錐曲線與方程
1．橢圓
焦點的位置
焦點在軸上
焦點在軸上
圖形
標準方程
第一定義
到兩定點的距離之和等于常數2，即（）
第二定義
與一定點的距離和到一定直線的距離之比為常數，即
范圍
且
且
頂點
、
、
、
、
軸長
長軸的長 短軸的長
對稱性
關于軸、軸對稱，關于原點中心對稱
焦點
、
、
焦距
離心率

準線方程
焦半徑
左焦半徑：
右焦半徑：
下焦半徑：
上焦半徑：
焦點三角形面積
通徑
過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：
（焦點）弦長公式
，
焦點的位置
焦點在軸上
焦點在軸上
圖形
標準方程
第一定義
到兩定點的距離之差的絕對值等于常數，即（）
第二定義
與一定點的距離和到一定直線的距離之比為常數，即
范圍
或，
或，
頂點
、
、
軸長
實軸的長 虛軸的長
對稱性
關于軸、軸對稱，關于原點中心對稱
焦點
、
、
焦距
離心率
準線方程
漸近線方程
焦半徑
在右支
在左支
在上支
在下支
焦點三角形面積
通徑
過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：
2．雙曲線
3．拋物線
圖形
標準方程
定義
與一定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點不在定直線上)
頂點
離心率
對稱軸
軸
軸
范圍
焦點
準線方程
焦半徑
通徑
過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑：
焦點弦長
公式
參數的幾何意義
參數表示焦點到準線的距離，越大，開口越闊
關于拋物線焦點弦的幾個結論：
設為過拋物線焦點的弦，，直線的傾斜角為，則
⑴ ⑵
⑶ 以為直徑的圓與準線相切；
⑷ 焦點對在準線上射影的張角為
⑸ 

專題五：數系的擴充與復數
1、復數的概念
⑴虛數單位；
⑵復數的代數形式；
⑶復數的實部、虛部，虛數與純虛數.
2、復數的分類
復數
3、相關公式
⑴
⑵
⑶
⑷
指兩復數實部相同，虛部互為相反數（互為共軛復數）.
4、復數運算
⑴復數加減法：；
⑵復數的乘法：；
⑶復數的除法：
（類似于無理數除法的分母有理化虛數除法的分母實數化）
5、常見的運算規律
設是1的立方虛根，則，
6、復數的幾何意義
復平面：用來表示復數的直角坐標系，其中軸叫做復平面的實軸，軸叫做復平面的虛軸.

專題八：統計案例
1、回歸分析
回歸直線方程，
其中
相關系數：
2、獨立性檢驗
假設有兩個分類變量X和Y，它們的值域分另為{x1, x2}和{y1, y2}，其樣本頻數22列聯表為： 　　
y1
y2
總計
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
總計
a+c
b+d
a+b+c+d
　 若要推斷的論述為H1：“X與Y有關系”，可以利用獨立性檢驗來考察兩個變量是否有關系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度.
具體的做法是，由表中的數據算出隨機變量的值，其中為樣本容量，K2的值越大，說明“X與Y有關系”成立的可能性越大.
隨機變量越大，說明兩個分類變量，關系越強；反之，越弱。
時，X與Y無關；時，X與Y有95%可能性有關；時X與Y有99%可能性有關.

專題六：排列組合與二項式定理
1、基本計數原理
⑴ 分類加法計數原理：(分類相加)
做一件事情，完成它有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法……在第類辦法中有種不同的方法.那么完成這件事情共有種不同的方法.
⑵ 分步乘法計數原理：(分步相乘)
做一件事情，完成它需要個步驟，做第一個步驟有種不同的方法，做第二個步驟有種不同的方法……做第個步驟有種不同的方法.那么完成這件事情共有種不同的方法.
2、排列與組合
⑴排列定義：一般地，從個不同的元素中任取個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同的元素中任取個元素的一個排列.
⑵組合定義：一般地，從個不同的元素中任取個元素并成一組，叫做從個不同的元素中任取個元素的一個組合.
⑶排列數：從個不同的元素中任取個元素的所有排列的個數，叫做從個不同的元素中任取個元素的排列數，記作.
⑷組合數：從個不同的元素中任取個元素的所有組合的個數，叫做從個不同的元素中任取個元素的組合數，記作.
⑸排列數公式：
①
；
②，規定.
⑹組合數公式：
①或；
②，規定.
⑺排列與組合的區別：排列有順序，組合無順序.
⑻排列與組合的聯系：，即排列就是先組合再全排列. ⑼排列與組合的兩個性質性質
排列；組合.
⑽解排列組合問題的方法
①特殊元素、特殊位置優先法（元素優先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置）.
②間接法（對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉）.
③相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）.
④不相鄰(相間)問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）.
⑤有序問題組合法.
⑥選取問題先選后排法.
⑦至多至少問題間接法.
⑧相同元素分組可采用隔板法.
⑨分組問題：要注意區分是平均分組還是非平均分組，平均分成n組問題別忘除以n！.
3、二項式定理
⑴二項展開公式： .
⑵二項展開式的通項公式：.主要用途是求指定的項.
⑶項的系數與二項式系數
項的系數與二項式系數是不同的兩個概念，但當二項式的兩個項的系數都為1時，系數就是二項式系數.如
在的展開式中，第項的二項式系數為，第項的系數為；而的展開式中的系數等于二項式系數；二項式系數一定為正，而項的系數不一定為正.
⑷的展開式：，
若令，則有
.
二項式奇數項系數的和等于二項式偶數項系數的和.即
⑸二項式系數的性質：
（1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等，即；
（2）增減性與最大值：當時，二項式系數C的值逐漸增大，當時,C的值逐漸減小，且在中間取得最大值。當n為偶數時，中間一項（第＋1項）的二項式系數取得最大值.當n為奇數時，中間兩項（第和＋1項）的二項式系數相等并同時取最大值.
⑹系數最大項的求法
設第項的系數最大，由不等式組
可確定.
⑺賦值法
若
則設 有：
①
②
③
④
⑤
專題四：推理與證明

1、歸納推理
把從個別事實中推演出一般性結論的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納).
簡言之,歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理。
歸納推理的一般步驟：
通過觀察個別情況發現某些相同的性質；
從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般命題（猜想）；
證明（視題目要求，可有可無）.
2、類比推理
由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）．
簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.
類比推理的一般步驟：
找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；
用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想；
檢驗猜想。
3、合情推理
歸納推理和類比推理都是根據已有的事實，經過觀察、分析、比較、聯想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理.
歸納推理和類比推理統稱為合情推理，通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理.
4、演繹推理
從一般性的原理出發，推出某個特殊情況下的結論，這種推理稱為演繹推理．
簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理.
演繹推理的一般模式———“三段論”，包括　
　 ⑴大前提-----已知的一般原理；
⑵小前提-----所研究的特殊情況；
⑶結論-----據一般原理，對特殊情況做出的判斷．
用集合的觀點來理解：若集合中的所有元素都具有性質,是的一個子集,那么中所有元素也都具有性質P.
從推理所得的結論來看，合情推理的結論不一定正確，有待進一步證明；演繹推理在前提和推理形式都正確的前提下，得到的結論一定正確.
5、直接證明與間接證明
⑴綜合法：利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立.
框圖表示：
要點：順推證法；由因導果.
⑵分析法：從要證明的結論出發，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.
框圖表示：
要點：逆推證法；執果索因.
⑶反證法：一般地，假設原命題不成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立.的證明方法.它是一種間接的證明方法.
反證法法證明一個命題的一般步驟：
(1)（反設）假設命題的結論不成立；
(2)（推理）根據假設進行推理,直到導出矛盾為止；
(3)（歸謬）斷言假設不成立；
(4)（結論）肯定原命題的結論成立.
6、數學歸納法
數學歸納法是證明關于正整數的命題的一種方法.
用數學歸納法證明命題的步驟;
（1）（歸納奠基）證明當取第一個值時命題成立；
（2）（歸納遞推）假設時命題成立，推證當時命題也成立.
只要完成了這兩個步驟，就可以斷定命題對從開始的所有正整數都成立.
用數學歸納法可以證明許多與自然數有關的數學命題，其中包括恒等式、不等式、數列通項公式、幾何中的計算問題等.


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