資源簡介

《學會作圓——點與圓的位置關系（二）》的教學評析
授課者：廣西桂林市寶賢中學 張知瑩
評析者：廣西桂林市教科所 蔣海嘯
《學會作圓——點與圓的位置關系（二）》這一課是人教版第24章第2節“點、直線、圓和圓的位置關系”的第二課時，所涉及的主要數學知識包括：不在同一直線上的三個點確定一個圓、三角形的外接圓、反證法等。張知瑩老師圍繞“學會作圓”這一中心，把用尺規作圓作為重點，淡化反證法（后續學習），以鮮明的主題開展了生動豐富、卓有成效的課堂教學。
一、主題明確、主線清晰
“作圓”這一主題貫徹了整個課堂，每個環節都是在教師帶領下學生獨立完成，使訓練的“主線”一目了然，學生的動手能力得到應有的加強。
二、層次分明、結構完整
“作圓”看似簡單，信手拈來，但隨著條件的不斷變化，能力層次的要求逐漸加大，適應了廣大學生的需求；在循序漸進、高潮迭起的過程中不失時機的歸納小結，確保了課堂教學的豐滿和完整。
三、緊扣本質、滲透思想
本課雖然平常但不平淡，每一個結論的得出和方法的形成，都體現了數學原理和思想方法的運用，把體驗、模仿、熟練、創造、反思等融于其中，使數學學習源于課堂用于課外，意味深長。
四、引導有序、體現特色
學習固有差異，縮小差異的主角就是教師、學生。課堂中教師點撥的過程，學生研討的場景，體現了新課改的理念，為學生能力的自主構建搭建了平臺，凸顯了學生自我學習、自主發展的教學風格。
五、技能嫻熟、成效顯著
教師的語言、媒體的應用、課堂的駕馭等，充分的體現了教師高超的技能和良好的功底，學生在教師的帶領下學到了知識、掌握了方法，高效的課堂教學自然也就水到渠成。
人無完人，課亦如此，不足之處當然存在。字數受限，不再贅言。望專家們能另予賜教。
《學會作圖——點與圓的位置關系（二）》教學設計
廣西桂林市寶賢中學 張知瑩
1．教學內容解析
本節課的內容 《學會作圖——點與圓的位置關系（二）》是依照《義務教育數學課程標準（2011年版）》的要求：會利用基本作圖完成“過不在同一直線上的三點作圓；作三角形的外接圓、內切圓；作圓的內接正方形和正六邊形。在尺規作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法。”將人教版（2004版）九上教材中的《24.2.1點和圓的位置關系》第二課時的相關內容進行整合后設計的一節課。
本節課的主要內容是讓學生掌握過不在同一直線上三點作圓，也就是作三角形外接圓的方法及數學原理。教學從簡單的情況入手，由提出求作必經過一個點的圓開始，到必經過兩個點的圓，再到必經過三個點的圓的問題，體現了由簡單到復雜的數學思維過程。其中，經過兩點如何作圓以及這些圓的圓心分布特點是本課的關鍵部分，解決了這個問題，下面過不共線三點作圓的問題可以轉化為“求過線段AB端點與過線段BC端點的公共圓”的問題，也就是轉化為求作線段中垂線交點的問題。因此本節課的重點是讓學生掌握過不在同一直線上三點作圓的方法和其數學原理。
為了完成本節課的學習，學生應該首先掌握點在圓上的概念，線段中垂線的性質定理和判斷點是否在中垂線上的方法。線段中垂線的尺規作圖方法由于在前面學習時間已久，而且應用的時間較少，故在授課時給予穿插復習。如何用這些定理也是學生應掌握的概念知識。在作圓時，引導學生關注作圓的兩個要素——圓心和半徑，始終抓住要作圓就要確定圓心和半徑的關鍵，使之成為學生考慮能作出圓的方向。
雖然本節課的主要內容是讓學生掌握過不在同一直線上三點作圓的方法及數學原理，但究其實質是多邊形能內接于圓的條件在三角形中的體現，即多邊形的各邊的中垂線能相交于一點，則該多邊形能內接于圓。但因為時間和學生水平所限，只能對四點是否可以共圓進行粗淺討論，給學生以提綱挈領的分析，讓學有興趣的學生深入探討。在學習了經過兩點的圓其圓心在線段的中垂線上后，那么經過不共線三點的圓就可以分解為“過有公共端點的兩段線段端點的公共圓”的問題，從而轉化為過兩點作圓確定其圓心的問題。
從知識的發生和發展過程角度分析來看，本課程體現了由簡單到復雜（過一個點作圓——兩個點作圓——三個點作圓）的數學思想，由特殊到一般、分類討論、以及轉化的數學思想。
2．教學目標設置
通過本節課的學習，學生應該掌握作三角形外接圓的方法、理論實質和方法的由來（即為什么要這樣作的原因）。在學習后學生掌握作圓的方法：確定圓心和半徑，會作任意三角形的外接圓，知道外心到各頂點距離相等。初步體會由簡單到復雜、由特殊到一般的分析問題的方法。同時學生經過與同學的討論，培養學生與他人合作、交流、領會的精神。
3．學生學情分析
知識基礎：對于作圓的內容，學生在小學就學習了用圓規畫圓，這就是一種基礎的確定圓心和半徑從而確定圓的方式。而這節課在強化確定圓需要兩要素后，提出作增加經過某些點的條件的圓問題。找圓心的問題涉及作線段的中垂線，這是學生在八年級上就學習過的內容，但因時間久，可能部分學生已經忘記了其尺規作圖的方法，需要在其中穿插復習并教師示范作圖。學生可以完成過一個點作圓、過兩個作圓的問題，但是怎么把不共線三點作圓問題轉化為與前面的內容聯系起來，是需要教師幫助他們轉化的。在這里，教師通過將過三點作圓問題轉化為有公共點的兩組點，分別過這兩組點作圓，那么它們中垂線的交點就是既過A、B點的圓的圓心，又過B、C點的圓的圓心，經過證明這點到三個點的距離相等，從而為學生可以作出圖形做好了鋪墊與證明。
認知水平與能力：已經掌握線段中垂線的尺規作圖方法和其性質，點與圓的位置關系也已經學習了第一課時。有較好的合作意識和參與意識，具有觀察、分析、概括能力和用幾何語言表達的能力。
本節課的難點在于如何引導學生探求出過兩點的圓的圓心分布有什么特點，從而為作過不共線三點的圓打下基礎。在此要求學生合作作圖，并提出了思考要求：①所作出的圓，圓心到A、B兩點距離有什么關系？②圓心的分布有什么特點？挑出了三種有代表性作圖結果給予展示，要求回答第一個思考問題，學生會很快答出，這些圓心到A、B兩點距離相等；結合課件展示，這些圓的圓心相對于線段AB有什么特殊性，由于判定點是否在中垂線的方法學生已經學的時間久了，所以可能只有很少部分的學生會想到“到線段兩端點距離相等點在線段的中垂線上” 的結論，所以教師要指明“這些點相對于線段AB而言有何特殊性”。
4．教學策略分析
對于作圓的問題，學生在小學都已經學習了用圓規作圓，用圓規作圓其實質就是定圓心和半徑，從而畫出圓的過程，只是學生在小學學習時沒有意識到這一點。那么在本節課作圓，開始就著重強調作圓抓住圓心和半徑即可確定圓，接下來的作圓無一不是緊扣這兩個元素展開。相對于小學的作圓，本節課的要求作的圓是添加了限制條件的：過某些點作圓。那么從問題的最簡單情況入手分析到逐漸增加條件：過一個點——過兩個點——過三個點（又分為共線和不共線兩類）——過四個點，作圓要過這些點時怎么確定圓心和半徑。既從理論上分析出這些特殊圓的圓心位置，也從實際操作上讓學生作出符合要求的圖形。
本節課的內容是要求學生作圖，所以再每個作圖活動中盡可能讓學生多實際操作完成作圖。作圖前提出思考要求，引導學生如何確定圓心和半徑。作圖完之后進行說理，然后總結歸納，以利于不同層次的學生理解。對基礎好的學生不僅其知然還知其所以然，讓他們明白數學理論說理證明的必要性；而對于基礎一般的學生，知道說理的重要性，更重要的是能記住如何作出圖。
學生作圖時教師巡堂，針對學生作圖出現的問題進行個別指導和說理。用課堂練習的形式對學生的掌握情況進行反饋。
5．教學過程
教學目標：
1、使學生掌握三角形外接圓的尺規作圖方法，了解該作圖的數學原理；
2、使學生經歷從簡單到復雜的數學思維過程，培養其轉化的數學思想和分類討論的數學思想；
3、通過探究活動培養學生間的合作、交流、領會等精神。
教學重點：作三角形外接圓的尺規作圖方法和其數學理論
教學難點：1、過兩點的圓的圓心分布特點；
2、如何將三點問題轉化兩點問題處理；
教學環節
教學
活動
教學過程
設計意圖
一、問題引入
師：說起作圓，同學們在小學已經作過。你們能談談你是如何確定圓的嗎？
生：以圓規一腳固定作圓心，張開兩腳長為半徑作圓。
師：我們畫圓時，圓心位置相同，半徑不同，兩個圓是一樣的嗎？
生：不一樣。
師：半徑相同，圓心位置不同，兩個圓是同一個圓嗎？
生：不是同一個圓。
師：也就是是說由圓心確定圓的位置，由半徑決定圓的大小。兩個元素確定了，我們說圓確定了。
師：我們在小學時畫不同的圓是直接改變圓心位置和半徑大小的圓。今天我們要求作的圓是有約束條件的圓，所求作的圓，增加要求經過某些點的限制條件，我們又該用怎樣的方法確定其圓心和半徑呢？
由學生用圓規作圓為引入，開門見山說明作圓的兩個基本要素：圓心和半徑
二、作出符合要求的圓
作圖要求一：作一個經過A點的圓
師：我們從簡單情況入手，先看求作圓經過平面上一個定點A，你可以怎么確定圓心和半徑呢？
生：以任意一點為圓心，這一點到A點距離為半徑作圓。
師：作圓心的這一點可以和A點重合嗎？
生：噢，以與A點不同的任意一點為圓心，這一點到A點距離為半徑作圓。
師：既然圓心的位置是任意的，相應半徑大小也是任意的，這樣作圓有多少個？
生：無數個。
師：這說明什么？
生：過一點可以作無數個圓。
從問題的簡單情況入手，使學生經歷由簡單到復雜的考慮問題的方式
作圖要求二：作一個經過A、B兩點的圓
師：現在我們繼續增加約束條件，如果作一個同時經過平面上A、B兩點的圓，你準備怎么確定這個圓的圓心和半徑？
（先自己畫圖，然后再分組討論）
師：思考：①作出來的圓，圓心到A、B兩點距離會是什么關系？②圓心的分布有什么特點？
（展示學生的作圖，請學生回答自己是如何作圖的）
生1：以線段AB中點為圓心O，圓心到A點或B點的距離為半徑作圓；
生2：分別以A、B點為圓心，任意長為半徑作弧，兩弧的交點為所求作圓的圓心，圓心到圓心到A點或B點的距離為半徑作圓；
生3：作線段AB的中垂線，在中垂線上任意取一點為圓心，圓心到A或B點距離為半徑作圓。
師：以上三種作法代表了同學們的作法，結合剛才老師提出的問題，作出來的圓，其圓心到A、B兩點距離會是什么關系？
生：相等。
師：所以圓心的位置上有何特殊性？
生：在線段的中垂線上。
師：還記得線段中垂線的尺規作圖方法嗎？
（學生敘述，教師示范作圖）
師：所以過兩點的圓，其圓心分布在這兩點的連線的線段中垂線上。中垂線上有無數個點可以作圓心，所以過兩點的圓有多少個？
生：無數個。
將問題進一步增加條件，使學生進一步理解由簡單到逐步復雜的思維過程；
讓學生理解過兩點的圓的圓心在線段的中垂線上，為接下來找到作過不共線三點的圓埋下伏筆。
作圖要求三：作一個經過不共線A、B、C三點的圓
師：剛才我們分析了A、B兩點的圓其圓心落在線段AB的中垂線上，現在改變約束條件，過另外兩點B、C的圓的圓心落在哪？
生：在線段BC的中垂線上。
師：這條中垂線與前一條中垂線相交，設交點為O點，這O點到A、B、C三點距離有何關系？為什么
生：相等。
（學生敘述，教師板書）
證明：∵O點在線段AB中垂線上
∴OA=OB
∵O點在線段BC中垂線上
∴OB=OC
∴OA=OB=OC
師：說的很好！那么如果以O點為圓心，OA長為半徑作圓，這個圓會經過B、C兩點嗎?完成作圖三的要求。
（學生作圖，教師巡堂并指導學生作圖）
師：這樣我們就作出了一個過不在同一直線上的三點的圓。
這三點的連線構成三角形，這個圓過三角形三個頂點，叫做三角形的外接圓。
師：現在哪位同學能總結一下作三角形外接圓的步驟。
生：作AB、BC邊中垂線的交點為圓心，圓心到頂點距離為半徑作圓。
師：總結得很好！但是對于頂點不是A、B、C的三角形，我們怎么知道哪條邊是AB，哪條邊是BC。如果我作了類似于AB與AC邊的中垂線的交點，這個交點與O點是同一點嗎？為什么？
生：是。O點也在線段AC的中垂線上。
因為剛才我們已證明OA=OC，到線段兩端點距離相等的點在線段中垂線上。
師：說的非常棒!
根據剛才的分析，我們可以看出，作任意兩邊中垂線的交點是同一點，所以過不共線三點的圓是唯一的。因此我們說：過不在同一直線上的三個點可以確定一個圓。
通過改變限制條件的設問，將不共線三點問題轉化為有公共點的兩組點的問題，從而將其轉化為求作既過A、B點，又過B、C點的公共圓的問題。其圓心當然就是兩條中垂線的交點。
作出一個過不共線三點的圓。
證明所作圓的唯一性
三、學生練習
1、求作：直角三角形和鈍角三角形的外接圓
師：前面我們作了銳角三角形的外接圓，三角形還有直角三角形和鈍角三角形，同學們按照剛才的作圖步驟作出直角三角形和鈍角三角形的外接圓。
（學生作圖，教師展示，選取作不同邊的中垂線交點，作出圓的學生練習展示）
師：可以看出，直角三角形的外心在斜邊中點，鈍角三角形的外心在其外部。
（再展示直角三角形外接圓圓心的特殊方法并說明理由）
生：由于直角三角形三個頂點都在圓上，所以直角所對的弦應該為直徑，所以只需作斜邊的中垂線與斜邊的交點就是其外心。
（學生練習反饋，講評）
2、已知: A、B、C三個村莊位置如圖，現要修建一個水塔，使三個村到水塔的距離相等。請畫出水塔的位置。
3、某工廠一臺設備有一個圓形的零件，在生產中使用不當而破損，由于該設備圖紙已丟失，無法知道它的尺寸。請同學們考慮用什么方法畫出它復原圖。
應用方法作三角形的外接圓，同時顯示選擇線段的任意性
學生提出了作直角三角形的外心特殊方法，理論與實踐相結合
進一步強化作三角形外心方法和外心的性質
四、問題拓展
（1）A、B、C三點在同一直線上
師：剛才我們討論了三點不在同一直線上可以確定一個圓。如果將三個點的位置特殊化，三個點在同一直線上時，過三點能作出一個圓嗎？怎么作？
生：剛才我們已經知道，過兩個點的圓的圓心在其線段的中垂線上，設過A、C兩點的圓的圓心在線段AC中垂線上，過B、C兩點的圓的圓心在線段BC中垂線上，由于三點共線，所以這兩條中垂線互相平行，所以這兩條中垂線沒有交點，也就是沒有這樣的圓心。
師：回答得很有條理！所以我們說過同一直線上的三個點不能作圓。
對于三點的位置情況，學生通常會先想到不共線的三點，提出要考慮共線的三點問題，使學生思維更嚴謹
（2）四點可以確定圓嗎？
師：約束條件再增加一個點，過四點能確定圓嗎？
（分組討論）
生：分情況討論，①四點共線，不能確定圓；②三點共線，第四點不在該線上，不能確定圓；③任意三點不共線可以確定圓。
師：如果這四點的位置是這樣，我們看出有一個圓同時過這四點，但當我們把D點移出來，發現沒有圓同時過這四點。
原因是剛才我們說不共線三點確定一個圓，A、B、C三點已經確定圓了，怎么又有一個圓經過D點和A、B、C三點呢？
師：所以，四點是否確定圓的問題是有條件的，什么條件，有興趣的同學們可以課后查閱相關資料，我們課后可以一起討論。
對于四點問題的提出，有利于培養學生對問題思考的類比性，激發學有興趣的同學繼續深入研究
五、學生總結
師：通過這節課的學習，你有什么感悟和體驗？
生1：確定圓要確定圓心和半徑；
生2：知道三角形外接圓作圖步驟和過點是否有圓的結論。
生3：用作線段的中垂線方法找圓心。
師：大家總結得都很好，我們作圖不僅要會作，還要能說出其數學原理出來，理論與實踐結合，用數學理論指導我們作圖。
學生從學習內容、作圖的關鍵和方法等方面對本節課談談他們的體會和感悟
課件9張PPT。學會作圓——點與圓的位置關系（二）授課者：廣西·桂林市寶賢中學 張知瑩一、問題引入用圓規畫圓時，你是如何確定圓的位置和大小的。圓心——確定圓的位置半徑——確定圓的大小求作經過某些點的圓，如何確定圓心和半徑？作圖要求一：作一個經過A點的圓A·結論：過一個點可以作無數個圓圓心——異于A點的任意一點半徑——圓心到A點距離二、作出符合要求的圓作圖要求二：作一個經過A、B兩點的圓A··B結論：過兩個點可以作無數個圓思考：①所作出的圓，圓心到A、B兩點距離有什么關系？ ②圓心的分布有什么特點？圓心——線段AB中垂線上的點半徑——圓心到A或B點距離還記得線段中垂線的尺規作圖怎么畫嗎？O1·O2·O3·作圖要求三：作一個經過不在同一直線A、B、C三點的圓A··B· CO·結論：過不在同一直線上的三個點可以確定一個圓過三角形三個頂點的圓叫三角形的外接圓，外接圓的圓心叫三角形的外心改變約束條件，過另外兩點B、C的圓的圓心在什么位置？外接圓作圖步驟： 圓心是三角形任意兩邊中垂線的交點，半徑是圓心到任一頂點的距離O點到A、B、C三點距離有何關系？為什么?三、學生練習1、求作：直角三角形和鈍角三角形的外接圓2、已知: A、B、C三個村莊位置如圖，現要修建一個水塔，使三個村到水塔的距離相等。請畫出水塔的位置。3、某工廠一臺設備有一個圓形的零件，在生產中使用不當而破損，由于該設備圖紙已丟失，無法知道它的尺寸。請同學們考慮用什么方法畫出它復原圖。O四、問題拓展（1）A、B、C三點在同一直線上結論：過同一直線上三點不能確定一個圓A··B· C（2）四點可以確定圓嗎？①四點共線；A··BC··D·D②三點共線，第四點不在該直線上；③其中任意三點不共線；（四點一定共圓嗎）五、學生總結1、作圓著重確定什么元素？3、今天作圓依據什么數學原理確定圓心？——圓心位置和半徑大小——線段中垂線性質和其尺規作圖方法2、作三角形外接圓如何確定圓心和半徑？——任意兩邊中垂線的交點為圓心，圓心到其中一點距離為半徑學會作圓——點與圓的位置關系（二）
一、問題引入
用圓規畫圓時，你是如何確定圓的位置和大小的。
——確定圓的位置 ——確定圓的大小
二、作出符合要求的圓
作圖要求一：作一個經過A點的圓 作圖要求二：作一個經過A、B兩點的圓
結論： 結論：
3、改變約束條件，過另外兩點B、C的圓的圓心在什么位置？
作圖要求三：作一個經過不共線A、B、C三點的圓
總結作圖步驟：
三、學生練習
1、求作：直角三角形和鈍角三角形的外接圓
2、已知: A、B、C三個村莊位置如圖，
現要修建一個水塔，使三個村到水塔的
距離相等。請畫出水塔的位置。
3、某工廠一臺設備有一個圓形的零件，
在生產中使用不當而破損，由于該設備
圖紙已丟失，無法知道它的尺寸。請同
學們考慮用什么方法畫出它復原圖。
四、問題拓展
（1）A、B、C三點在同一直線上 （2）四點可以確定圓嗎？
結論：
五、學生總結
1、作圓著重確定什么元素？
2、作三角形外接圓如何確定圓心和半徑？
3、今天作圓依據什么數學原理確定圓心？

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