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閱卷案例 思維導圖 四字解題
(12分)(2021·新高考卷Ⅰ)記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2＝ac，點D在邊AC上，BDsin ∠ABC＝asin C．(1)證明：BD＝b；(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC． 讀 BDsin∠ABC＝asin C AD＝2DC，求cos∠ABC
想 正弦定理 ①余弦定理的推論；②∠ADB與∠BDC互補或＝2.
算 BD＝b 算a，b，c間的數量關系
悟 轉化與化歸 方程思想
思維拆解 規范答題
第1步：變式利用正弦定理變形，化角為邊.第2步：計算借助余弦定理的推論分別計算cos∠BDA及cos∠BDC．第3步：建聯由幾何關系得出數量關系，從而解方程得a、c的關系.第4步：求值由數量關系，借助余弦定理求得cos∠ABC，注意驗證三角函數的有界性. [解]　(1)在△ABC中，由正弦定理可知＝，∴＝，…………………………1分又BDsin∠ABC＝asin C，∴BD＝＝＝＝b. ………………………………………………………4分(2)法一：(借助余弦定理)∵AD＝2DC，∴AD＝b，DC＝b. ………………………………………5分在△ABC中，由余弦定理的推論知，cos∠BDA＝＝eq \f(b2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)b))－c2,2b·\f(2,3)b)＝，………6分在△CBD中，由余弦定理的推論知，cos∠BDC＝＝eq \f(b2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)b))－a2,2b·\f(1,3)b)＝，……7分∵∠BDA＋∠BDC＝π，∴cos∠BDA＋cos∠BDC＝0，即＋＝0，…………………………8分得11b2＝3c2＋6a2，……………………………………9分∵b2＝ac，∴3c2－11ac＋6a2＝0，∴c＝3a或c＝a. ………………………………………………………10分在△ABC中，由余弦定理的推論知，cos∠ABC＝＝，當c＝3a時，cos∠ABC＝＞1(舍)；當c＝a時，cos∠ABC＝；綜上所述，cos∠ABC＝.……………………………12分法二：(借助向量)由AD＝2DC可知＝2，……5分∴＝＋.……………………………………6分兩邊平方得2＝2＋2＋·，得b2＝a2＋c2＋accos∠ABC，①…………………7分又在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos∠ABC，②………………………………………8分由①＋×②得b2＋b2＝a2＋c2＋a2＋c2，即11b2＝6a2＋3c2. ………………………………………………9分以下同法一.
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