資源簡介

　數列求和與綜合問題
考點1　數列中an與Sn的關系
1．(2018·全國卷Ⅰ)記Sn為數列{an}的前n項和．若Sn＝2an＋1，則S6＝________.
－63　[法一：因為Sn＝2an＋1，所以當n＝1時，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1.
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，
所以an＝2an－1，所以數列{an}是以－1為首項，2為公比的等比數列，所以an＝－2n－1.
所以S6＝＝－63.
法二：由Sn＝2an＋1，得S1＝2S1＋1，所以S1＝－1，當n≥2時，由Sn＝2an＋1得Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即Sn＝2Sn－1－1，∴Sn－1＝2(Sn－1－1)，又S1－1＝－2，∴{Sn－1}是首項為－2，公比為2的等比數列，所以Sn－1＝－2×2n－1＝－2n，所以Sn＝1－2n，∴S6＝1－26＝－63.]
2．(2015·全國卷Ⅱ)設Sn是數列{an}的前n項和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________.
－　[∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，
∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.
∵Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1.
又＝－1，∴是首項為－1，公差為－1的等差數列．
∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，
∴Sn＝－.]
3．(2021·全國卷乙)記Sn為數列{an}的前n項和，bn為數列{Sn}的前n項積，已知＋＝2.
(1)證明：數列{bn}是等差數列；
(2)求{an}的通項公式．
[解]　(1)因為bn是數列{Sn}的前n項積，
所以n≥2時，Sn＝，
代入＋＝2可得，
＋＝2，
整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝(n≥2)．
又＋＝＝2，所以b1＝，
故{bn}是以為首項，為公差的等差數列．
(2)由(1)可知，bn＝，則＋＝2，所以Sn＝，
當n＝1時，a1＝S1＝，
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝－.
故an＝.
命題規律：高考對本點的考查常以an＝Sn－Sn－1(n≥2)為切入點，結合等差(比)數列的相關知識求an或Sn.考查形式一般以客觀題為主，分值5分，難度較小．
通性通法：由Sn與an的關系求an的思路
利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為an的遞推關系，再求其通項公式；或者轉化為Sn的遞推關系，先求出Sn與n之間的關系，再求an.
提醒：在利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求通項公式時，務必驗證n＝1時的情形，看其是否可以與n≥2的表達式合并．
1．[以an與Sn的關系為載體求通項]已知數列{an}中，a1＝1，前n項和Sn＝an，則an＝________.
　[∵Sn＝an，且a1＝1，
∴當n＝2時，a1＋a2＝a2，即a2＝3a1＝3.
又當n≥2時，
an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
即an＝an－1.
∴an＝···…··a1
＝···…·××1＝.n＝1時，等式成立，∴an＝(n∈N*)．]
2．[以an與Sn的關系為載體求Sn]數列{an}中，前n項和為Sn，a1＝1，an＋1＝Sn＋3n(n∈N*，n≥1)，則數列{Sn}的通項公式為________．
Sn＝3n－2n　[∵an＋1＝Sn＋3n＝Sn＋1－Sn，
∴Sn＋1＝2Sn＋3n，
∴＝·＋，
∴－1＝，
又－1＝－1＝－，
∴數列是首項為－，公比為的等比數列，
∴－1＝－×＝－，
∴Sn＝3n－2n.]
3．[以前n項和的定義為載體]已知數列{an}滿足a1＋a2＋…＋an＝2n(n∈N*)，則下列結論中正確的是________(填序號)．
①{an}為等比數列；
②a5＝16；
③數列{an}的前n項和Sn＝2n；
④{log2an＋1}為等差數列．
②③④　[由a1＋a2＋…＋an＝2n得Sn＝2n，故③正確．當n＝1時，a1＝2，當n≥2時，Sn－1＝2n－1，可得an＝2n－1，所以an＝所以數列{an}不是等比數列，故①錯誤．易知a5＝24＝16，故②正確．因為log2an＋1＝log22n＝n，所以易知{log2an＋1}為等差數列，故④正確．故填②③④.]
考點2　數列求和
1．(2017·全國卷Ⅲ)設數列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.
(1)求{an}的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
[解]　(1)因為a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故當n≥2時，
a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，
兩式相減得(2n－1)an＝2，
所以an＝(n≥2)．
又由題設可得a1＝2，滿足上式，
所以{an}的通項公式為an＝.
(2)記的前n項和為Sn.
由(1)知＝＝－，
則Sn＝－＋－＋…＋－＝.
2．(2021·全國卷乙)設{an}是首項為1的等比數列，數列{bn}滿足bn＝.已知a1，3a2，9a3成等差數列．
(1)求{an}和{bn}的通項公式；
(2)記Sn和Tn分別為{an}和{bn}的前n項和．證明：Tn＜.
[解]　(1)設{an}的公比為q(q≠0)，則an＝qn－1.
因為a1，3a2，9a3成等差數列，所以1＋9q2＝2×3q，解得q＝，
故an＝，bn＝.
(2)由(1)知Sn＝＝，Tn＝＋＋＋…＋　①，
Tn＝＋＋＋…＋＋　②，
①－②得Tn＝＋＋＋…＋－
＝－＝－，
整理得Tn＝－，
則2Tn－Sn＝2－＝－＜0，故Tn＜.
3．(2020·新高考卷Ⅰ)已知公比大于1的等比數列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＝8.
(1)求{an}的通項公式；
(2)記bm為{an}在區間(0，m](m∈N*)中的項的個數，求數列{bm}的前100項和S100.
[解]　(1)設等比數列{an}首項為a1，公比為q(q>1)．由題設得a1q＋a1q3＝20，a1q2＝8.
解得q＝(舍去)，q＝2，a1＝2.
所以{an}的通項公式為an＝2n.
(2)由題設及(1)知b1＝0，且當2n≤m<2n＋1時，bm＝n.
所以S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480.
命題規律：高考試題常以等差(比)數列的基本運算為載體，以解答題的形式考查數列的前n項和的計算，難易適中，分值12分．
通性通法：數列求和的注意事項
(1)分組求和的策略：①根據等差、等比數列分組；②根據正號、負號分組．
(2)裂項相消法的關鍵在于準確裂項，使裂開的兩項之差和系數之積與原通項公式相等，把握相消后所剩式子的結構，前面剩幾項，后面剩幾項．
(3)錯位相減法中，兩式做減法后所得式子的項數及對應項之間的關系，求和時注意數列是否為等比數列或是從第幾項開始為等比數列．
1．[含有(－1)nan的求和問題]設數列{an}的前n項和為Sn，已知Sn＝n2＋n.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)已知數列{bn}滿足bn＝(－1)n－1，求數列{bn}的前2n項和T2n.
[解]　(1)由Sn＝n2＋n，可得n＝1時，a1＝S1＝2，
n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－n＋1＝2n，
上式對n＝1也成立，
所以數列{an}的通項公式為an＝2n，n∈N*.
(2)bn＝(－1)n－1＝(－1)n－1·
＝，所以T2n
＝
＝＝.
2．[新數列的求和問題]已知等比數列{an}的前n項和Sn＝2n＋r，其中r為常數．
(1)求r的值；
(2)設bn＝2(1＋log2an)，若數列{bn}中去掉數列{an}的項后余下的項按原來的順序組成數列{cn}，求c1＋c2＋c3＋…＋c100的值．
[解]　(1)因為Sn＝2n＋r，
所以當n＝1時，S1＝a1＝2＋r.
當n＝2時，S2＝a1＋a2＝4＋r，故a2＝2.
當n＝3時，S3＝a1＋a2＋a3＝8＋r，故a3＝4.
因為{an}是等比數列，所以a＝a1a3，化簡得2＋r＝1，解得r＝－1，此時Sn＝2n－1.
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－2n－1＋1＝2n－1，
當n＝1時，a1＝S1＝1滿足上式，所以an＝2n－1，
所以r＝－1滿足題意．
(2)因為an＝2n－1，所以bn＝2(1＋log2an)＝2n.
因為a1＝1，a2＝2＝b1，a3＝4＝b2，a4＝8＝b4，a5＝16＝b8，a6＝32＝b16，
a7＝64＝b32，a8＝128＝b64，a9＝256＝b128，
所以c1＋c2＋c3＋…＋c100
＝(b1＋b2＋b3＋…＋b107)－(a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8)
＝－＝11 302.
3．[錯位相減法求和]在①b2n＝2bn＋1，②a2＝b1＋b2，③b1，b2，b4成等比數列這三個條件中選擇符合題意的兩個條件，補充在下面的問題中，并求解．
已知數列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an.公差不等于0的等差數列{bn}滿足________，求數列的前n項和Sn.
[解]　因為a1＝1，an＋1＝3an，
所以{an}是以1為首項，3為公比的等比數列，
所以an＝3n－1.
選①②時，設數列{bn}的公差為d1.
因為a2＝3，所以b1＋b2＝3(ⅰ)．
因為b2n＝2bn＋1，所以當n＝1時，b2＝2b1＋1(ⅱ)．
由(ⅰ)(ⅱ)解得b1＝，b2＝，
所以d1＝，所以bn＝.
所以＝.
所以Sn＝＋＋…＋＝＋＋＋…＋.
所以Sn＝＋＋＋…＋＋.
上面兩式相減，得
Sn＝＋5－
＝＋－－＝－.
所以Sn＝－.
選②③時，設數列{bn}的公差為d2.
因為a2＝3，所以b1＋b2＝3，即2b1＋d2＝3.
因為b1，b2，b4成等比數列，所以b＝b1b4，即(b1＋d2)2＝b1(b1＋3d2)，化簡得d＝b1d2.
因為d2≠0，所以b1＝d2，從而d2＝b1＝1，所以bn＝n.
所以＝.
所以Sn＝＋＋…＋＝＋＋＋…＋，
所以S n＝＋＋＋…＋＋.
上面兩式相減，得
Sn＝1＋＋＋＋…＋－
＝－＝－.
所以Sn＝－.
選①③時，設數列{bn}的公差為d3.因為b2n＝2bn＋1，所以b2＝2b1＋1，所以d3＝b1＋1.又因為b1，b2，b4成等比數列，所以b＝b1b4，即(b1＋d3)2＝b1(b1＋3d3)，化簡得d＝b1d3.因為d3≠0，所以b1＝d3，無解，所以等差數列{bn}不存在．故不合題意．
考點3　數列中的創新與交匯問題
1．(2020·全國卷Ⅱ)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環，向外每環依次增加9塊，下一層的第一環比上一層的最后一環多9塊，向外每環依次也增加9塊，已知每層環數相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)(　　)
A．3 699塊 B．3 474塊
C．3 402塊 D．3 339塊
C　[由題意知，由天心石開始向外的每環的扇面形石板塊數構成一個等差數列，記為{an}，易知其首項a1＝9、公差d＝9，所以an＝a1＋(n－1)d＝9n.設數列{an}的前n項和為Sn，由等差數列的性質知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差數列，所以2(S2n－Sn)＝Sn＋S3n－S2n，所以(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝S2n－2Sn＝－2×＝9n2＝729，得n＝9，所以三層共有扇面形石板的塊數為S3n＝＝＝3 402，故選C．]
2．(2021·新高考卷Ⅰ)某校學生在研究民間剪紙藝術時，發現剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折．規格為20 dm×12 dm的長方形紙，對折1次共可以得到10 dm×12 dm,20 dm×6 dm兩種規格的圖形，它們的面積之和S1＝240 dm2，對折2次共可以得到5 dm×12 dm,10 dm×6 dm,20 dm×3 dm三種規格的圖形，它們的面積之和S2＝180 dm2，以此類推．則對折4次共可以得到不同規格圖形的種數為________；如果對折n次，那么k＝________dm2.
5　240　[依題意得，S1＝120×2＝240；S2＝60×3＝180；
當n＝3時，共可以得到5 dm×6 dm， dm×12 dm,10 dm×3 dm,20 dm× dm四種規格的圖形，且5×6＝30，×12＝30,10×3＝30,20×＝30，所以S3＝30×4＝120；
當n＝4時，共可以得到5 dm×3 dm， dm×6 dm， dm×12 dm,10 dm× dm,20 dm× dm五種規格的圖形，所以對折4次共可以得到不同規格圖形的種數為5，且5×3＝15，×6＝15，×12＝15,10×＝15,20×＝15，所以S4＝15×5＝75；
……
所以可歸納Sk＝×(k＋1)＝.
所以k＝240①，
所以×k＝240②，
由①－②得，×k＝240＝240＝240，
所以k＝240dm2.]
命題規律：應用性問題是數學命題的一個新動向，主要考查考生運用已知知識解決實際問題的能力，試題背景新穎，有較好的區分度，分值5分，一般以客觀題的形式出現．
通性通法：與數列的新定義有關的問題的求解策略
對于新信息情境下的數列問題，在讀懂題意的前提下，依據題目提供的信息，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運算、驗證，使得問題得以解決．
1．[以實際問題為背景](2021·廣東佛山一模)隨著新一輪科技革命和產業變革持續推進，以數字化、網絡化、智能化以及融合化為主要特征的新型基礎設施建設越來越受到關注.5G基站建設就是“新基建”的眾多工程之一，截至2020年底，我國已累計開通5G基站超70萬個，未來將進一步完善基礎網絡體系，穩步推進5G網絡建設，實現主要城區及部分重點鄉鎮5G網絡覆蓋.2021年1月計劃新建設5萬個5G基站，以后每個月比上一個月多建設1萬個，預計我國累計開通500萬個5G基站時要到(　　)
A．2022年12月 B．2023年2月
C．2023年4月 D．2023年6月
B　[每個月開通5G基站的個數是以5為首項，1為公差的等差數列，設預計我國累計開通500萬個5G基站需要n個月，則70＋5n＋×1＝500，
化簡整理得，n2＋9n－860＝0，
解得n≈25.17或－34.17(舍負)，
所以預計我國累計開通500萬個5G基站需要25個月，也就是到2023年2月．故選B．]
2．[數列的綜合問題]已知有窮數列{an}中，n＝1,2,3，…，729，且an＝(2n－1)(－1)n＋1，從數列{an}中依次取出a2，a5，a14，…，構成新數列{bn}，容易發現數列{bn}是以－3為首項，－3為公比的等比數列，記數列{an}的所有項的和為S，數列{bn}的所有項的和為T，則(　　)
A．S＞T B．S＝T
C．S＜T D．S與T的大小關系不確定
A　[因為S＝1－3＋5－7＋…＋(2×729－1)＝1＋2×＝729，
bn＝(－3)(－3)n－1＝(－3)n≤729×2－1，所以n≤6，
當n＝6時，b6＝729是an中第365項，符合題意，所以T＝＝546，所以S＞T，故選A．]
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