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　數列不等式放縮的基本類型
放縮法證明數列不等式是數列中的難點之一，是高考命題的延伸點.放縮法靈活多變，技巧性要求較高，所謂“放大一點點就太大，縮小一點點又太小”，如何把握放縮的“度”，使得放縮“恰到好處”，這正是放縮法的精髓和關鍵所在！
【例1】　求證：＋＋＋…＋＜1(n∈N*)．
[證明]　不等式左邊可用等比數列前n項和公式求和．
左邊＝＝1－＜1.
【變式】　求證：＋＋＋…＋＜1(n∈N*)．
[分析]　左邊不能直接求和，須先將其通項放縮后求和．
[證明]　因為＜，
所以，左邊＜＋＋＋…＋
＝＝1－＜1.
放縮法證明與數列求和有關的不等式，若可直接求和，就先求和再放縮；若不能直接求和的，一般要先將通項an放縮后再求和.
【例2】　求證：＋＋＋…＋＜(n∈N*)．
[分析]　左邊可用裂項相消法求和，先求和再放縮．
[證明]　∵＝，
∴左邊＝＝＜.
【變式1】　求證：1＋＋＋…＋＜2(n∈N*)．
[分析]　左邊不能求和，應先將通項放縮為裂項相消模型后求和．
[證明]　∵＜＝－(n≥2)，
∴左邊＜1＋＋＋…＋
＝1＋1－＜2(n≥2)，
當n＝1時，不等式顯然也成立．
【變式2】　求證：1＋＋＋…＋＜(n∈N*)．
[分析]　變式2的結論比變式1強，要達目的，須將變式1放縮的“度”進行修正．
[證明]　思路一：將變式1的通項從第三項開始放縮．
＜＝－(n≥3)，
左邊＜1＋＋＋＋…＋＝1＋＋－＝－＜(n≥3)，
當n＝1,2時，不等式顯然也成立．
思路二：將通項放得比變式1更小一點．
＜＝(n≥2)，
左邊＜1＋＝1＋＜1＋＝(n≥2)，
當n＝1時，不等式顯然也成立．
放縮法證明與數列求和有關的不等式的過程中，很多時候要“留一手”，即采用“有所保留”的方法，保留數列的第一項或前兩項，從數列的第二項或第三項開始放縮，這樣才不致使結果放得過大或縮得過小.
常用放縮：
1
2
3
4 ＝＝
.
1．(2021·青島二中期中)已知數列{an}滿足a1＝1，an＋an＋1＝2n＋1，n∈N*，Sn是數列的前n項和，則下列結論中正確的是(　　)
①S2n－1≤(2n－1)·；
②S2n≥Sn＋；
③S2n≥－＋Sn；
④存在常數M，使得Sn≤M.
A．①② B．②③
C．①③④ D．②③④
B　[易知，a2＝2，由an＋an＋1＝2n＋1，an＋1＋an＋2＝2n＋3，兩式相減，得an＋2－an＝2，即此數列每隔一項成等差數列，由a1＝1，可得數列的奇數項為1,3,5，…，
由a2＝2，可得其偶數項為2,4,6，…，故an＝n.
所以Sn＝1＋＋＋＋…＋.
對于①，當n＝2時，S3＝1＋＋＝，
右式＝3×＝，因此左式＞右式，故①錯誤；
對于②，S2n－Sn＝＋＋＋…＋≥n×＝，當n＝1時等號成立，故②正確；
對于③，∵S2n－Sn＝1＋＋＋…＋，2n＞2n－1，∴＞，
∴1＋＋＋…＋≥1＋＋＋…＋
＝－，故③正確；
對于④，由②知，S2n≥Sn＋，S4n≥S2n＋≥Sn＋×2…，S2mn≥Sn＋，
∵無上界，∴{Sn}無上界，故④錯誤．故選B．]
2．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，－＝2.
(1)求數列{an}的通項公式和Sn；
(2)記bn＝，數列{bn}的前n項和為Tn，求證：Tn＜.
[解]　(1)設等差數列{an}的公差為d，則－＝2，即－＝2，解得d＝2.
所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
Sn＝n＋×2＝n2.
(2)證明：當n＝1時，Tn＝1＜.
當n≥2時，bn＝＝＝＜＝，
所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＜1＋＝1＋＜1＋＝.
綜上可知，Tn＜.
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