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　立體幾何中的截面問題
在立體幾何中，截面是指用一個平面去截一個幾何體 包括圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐、正方體、長方體等等 ，得到的平面圖形叫做截面.2018年全國卷Ⅰ，2020新高考卷Ⅰ都對此點做了考查.在日常學習中，熟知立體幾何理論體系，提升空間想象能力是解答此類問題的關鍵.
【例】　(1)已知正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為2，直線AC1⊥平面α.平面α截此正方體所得截面有如下四個結論，其中正確的是(　　)
①截面形狀可能為正三角形；
②截面形狀可能為正方形；
③截面形狀不可能是正五邊形；
④截面面積最大值為3.
A．①② B．②③
C．①③④ D．②③④
(2)(2020·新高考卷Ⅰ)已知直四棱柱ABCD A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD＝60°.以D1為球心，為半徑的球面與側面BCC1B1的交線長為________．
(3)如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分別在AB，BC，DD1上，作過E，F，G三點的截面．
(1)C　(2)　[(1)如圖，顯然①③正確，②錯誤，下面說明④成立，
如圖，當截面是正六邊形時，面積最大，MN＝2，GH＝，OE＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2))))＝，
所以S＝2××(2＋)×＝3，
故④正確．故選C．
(2)如圖，連接B1D1，易知△B1C1D1為正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2.分別取B1C1，BB1，CC1的中點M，G，H，連接D1M，D1G，D1H，則易得D1G＝D1H＝＝，D1M⊥B1C1，且D1M＝.由題意知G，H分別是BB1，CC1與球面的交點．在側面BCC1B1內任取一點P，使MP＝，連接D1P，則D1P＝＝＝，連接MG，MH，易得MG＝MH＝，故可知以M為圓心，為半徑的圓弧GH為球面與側面BCC1B1的交線．由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，所以的長為×2π×＝.]
(3)[解]　作法：①在底面AC內，過E，F作直線EF，分別與DA，DC的延長線交于L，M.
②在側面A1D內，連接LG交AA1于K.
③在側面D1C內，連接GM交CC1于H.
④連接KE，FH.則五邊形EFHGK即為所求的截面．
截面形狀及相應面積的求法
(1)結合線、面平行的判定定理與性質定理求截面問題；
(2)結合線、面垂直的判定定理與性質定理求正方體中截面問題；
(3)猜想法求最值問題：“要靈活運用一些特殊圖形與幾何體的特征，“動中找靜”，如正三角形、正六邊形、正三棱錐等；
(4)建立函數模型求最值問題：①設元；②建立二次函數模型；③求最值．
1．(2021·重慶模擬)在三棱錐P ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，PA＝3，PB＝4，PC＝5，點E為線段PC的中點，過點E作該三棱錐外接球的截面，則所得截面圓的面積不可能為(　　)
A．6π B．8π
C．10π D．12π
A　[根據題意，在三棱錐P ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且滿足：PA＝3，PB＝4，PC＝5，
設三棱錐體的外接球半徑為R，
故4R2＝32＋42＋52，解得R2＝.
在所有過點E的截面里，當截面過球心O時，截面圓的面積最大，此時半徑為R，在所有過點E的截面里，當OE與截面垂直時，截面圓的面積最小，此時截面的圓心為E，由于OE＝＝，
所以最小的截面圓的半徑為
r＝＝＝，
所以最小的截面圓的面積S＝π·＝π，
故截面圓的面積的范圍為.故選A．]
2.如圖，四面體A BCD中，AD＝BC＝2，AD⊥BC，截面四邊形EFGH滿足EF∥BC，FG∥AD，則下列結論錯誤的是(　　)
A．四邊形EFGH的周長為定值
B．四邊形EFGH的面積為定值
C．四邊形EFGH為矩形
D．四邊形EFGH的面積有最大值1
B　[因為EF∥BC，EF 平面BCD，所以EF∥平面BCD，又平面EFGH∩平面BDC＝GH，所以EF∥GH，
同理FG∥EH，所以四邊形EFGH為平行四邊形，又AD⊥BC，所以四邊形EFGH為矩形．
由相似三角形的性質得＝，＝，
所以＋＝＋，BC＝AD＝2，
所以EF＋FG＝2，所以四邊形EFGH的周長為定值4，S四邊形EFGH＝EF×FG≤＝1，
所以四邊形EFGH的面積有最大值1.故選B．]
3.如圖，正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段CC1上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題錯誤的是(　　)
A．當0B．當CQ＝時，S為等腰梯形
C．當CQ＝時，S與C1D1的交點R滿足C1R＝
D．當D　[當Q為中點，即CQ＝時，截面APQD1為等腰梯形，故B正確；
當0當CQ＝時，如圖，延長AP交DC的延長線于M，連接MQ，并延長交C1D1于R，交DD1的延長線于N，
∵CQ＝，CM＝1，∴DN＝×2＝，
∴D1N＝，∴＝，
∴＝，∴D1R＝，
∴C1R＝，故C正確；
當4.如圖，正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為，以頂點A為球心，2為半徑作一個球，則圖中球面與正方體的表面相交所得到的兩段弧長之和(＋)等于________．
　[如題圖，球面與正方體的六個面都相交，所得的交線分為兩類：一類在頂點A所在的三個面上，即平面AA1B1B、平面ABCD和平面AA1D1D上；
另一類在不過頂點A的三個面上，即平面BB1C1C、平面CC1D1D和面A1B1C1D1上．
在平面AA1B1B上，交線為弧EF且在過球心A的大圓上，因為AE＝2，AA1＝，則∠A1AE＝.
同理∠BAF＝，所以∠EAF＝，
故弧EF的長為2×＝，而這樣的弧共有三條．
在平面BB1C1C上，交線為弧FG且在距球心為1的平面與球面相交所得的小圓上，此時，小圓的圓心為B，半徑為1，∠FBG＝，所以弧FG的長為：1×＝.
于是，所得的曲線長為GF＋EF＝＋＝.
5．圓錐的母線長為l，軸截面的頂角為θ，求過此圓錐的母線的截面面積最大值．
[解]　設△VCD是過圓錐母線的異于軸截面的任意截面，其頂角∠CVD＝α，軸截面VAB的面積S＝l2sin θ.截面VCD的面積S′＝l2sin α.在△VAB和△VCD中，CD＜AB，所以α＜θ.
(1)當0＜θ≤時，0＜α＜θ≤，sin α＜sin θ S′＜S，此時過圓錐母線的截面面積最大為軸截面面積S＝l2sin θ.
(2)當＜θ＜π時，0＜α＜θ＜π，此時sin θ＜1，sin α可以取到最大值1，
此時過圓錐母線的截面面積最大，最大值為S＝l2.
綜上所述，過圓錐母線的截面面積的最大值與軸截面頂角θ的范圍有關，
當0＜θ≤時，軸截面面積最大，最大值為S＝l2sin θ.
當＜θ＜π時，過圓錐母線的截面面積最大，最大值為S＝l2.
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