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　立體幾何的動態問題
立體幾何中的“動態問題”是指空間中的某些點、線、面的位置是不確定的或可變的一類開放性問題，解答此類問題應該動靜結合、化動為靜，找到相應的幾何關系，具體可以有以下幾種解決方法：
1 函數法：某些點、線、面的運動，必然導致某些位置關系或一些變量的變化.變量變化時會引發其他變量的變化，從而建立函數關系，將立體幾何問題轉化為函數問題來解.
2 解析法：我們常利用空間直角坐標系解決立體幾何問題，即實現幾何問題代數化.因此利用空間坐標系將空間圖形中的若干元素坐標化后，借助向量進行運算和分析，是解決這類問題的常用方法.
3 等價轉換法：動和靜是相對的，在運動變化過程中，要善于尋找或構造與之相關的一些不變因素，將一些變化的點、線、面進行合理轉換，實現變量與不變量的結合.
類型1　以靜制動(旋轉問題、投影問題)
【例1】　正四面體ABCD的棱長為1，棱AB∥平面α(如圖)，則四面體上的所有點在平面α內的射影構成的圖形面積的取值范圍是________．
　[去掉與問題無關的面，將四面體看成是以AB為棱的二面角C AB D(二面角大小一定)，用紙折出這個二面角，不妨將AB置于平面α內，將二面角繞AB轉動一周，觀察點C，D在平面α上的射影，可以發現點C，D在平面α上的射影始終在AB的射影的中垂線上．
圖1　　　　　圖2　　　　　　　圖3
當CD∥平面α時，四邊形ABCD面積最大，為(如圖1)當CD⊥平面α時(此時點C(D)到AB的距離即為異面直線AB與CD的距離)，四邊形ABC(D)面積最小為(如圖2)，轉動過程中C，D在平面α上的射影從C，D變化到C′D′(如圖3)，故圖形面積的取值范圍是.]
在解決立體幾何中的“動態”問題時，需從復雜的圖形中分化出最簡單的具有實質性意義的點、線、面，讓幾何圖形的實質“形銷骨立”，即從混沌中找出秩序，是解決“動態”問題的關鍵.
1.如圖，直線l⊥平面α，垂足為O.正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為2.點A是直線l上的動點，點B1在平面α內，則點O到線段CD1的中點P的距離的最大值為________．
＋2　[從題圖分化出4個點O，A，B1，P，其中△AOB1為直角三角形，固定A，B1，點P的軌跡是在與AB1垂直的平面上且以AB1的中點Q為圓心的圓，
從而OP≤OQ＋QP＝AB1＋2＝＋2，
當且僅當OQ⊥AB1，且點O，Q，P共線時取到等號，此時直線AB1與平面α成45°角．]
類型2　動點軌跡問題
【例2】　如圖所示，正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為2，E，F分別為AA1，AB的中點，M是正方形ABB1A1內的動點，若C1M∥平面CD1EF，則M點的軌跡長度為________．
　[如圖所示，取A1B1的中點H，B1B的中點G，連接GH，C1H，C1G，EG，HF，
可得四邊形EGC1D1是平行四邊形，所以C1G∥D1E，同理可得C1H∥CF，
因為C1H∩C1G＝C1，所以平面C1GH∥平面CD1EF.
由M是正方形ABB1A1內的動點可知，若C1M∥平面CD1EF，則點M在線段GH上，
所以M點的軌跡長度GH＝＝.]
空間中動點軌跡問題變化并不多，一般此類問題可以從三個角度進行分析處理，一是從曲線定義或函數關系出發給出合理解釋；二是平面與平面交線得直線或線段；三是平面和曲面 圓錐，圓柱側面，球面 交線得圓、圓錐曲線.很少有題目會脫離這三個方向. 注意：阿波羅尼斯圓，圓錐曲線第二定義)
2.在正方體ABCD A1B1C1D1中，點M、N分別是直線CD、AB上的動點，點P是△A1C1D內的動點(不包括邊界)，記直線D1P與MN所成角為θ，若θ的最小值為，則點P的軌跡是(　　)
A．圓的一部分
B．橢圓的一部分
C．拋物線的一部分
D．雙曲線的一部分
B　[把MN平移到平面A1B1C1D1中，直線D1P與MN所成角為θ，直線D1P與MN所成角的最小值是直線D1P與平面A1B1C1D1所成角，即原問題轉化為：直線D1P與平面A1B1C1D1所成角為，點P在平面A1B1C1D1的投影為圓的一部分，因為點P是△A1C1D內的動點(不包括邊界)，所以點P的軌跡是橢圓的一部分．故選B．]
類型3　翻折問題
【例3】　如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱錐．當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為________cm3.
4　[如圖，連接OD，交BC于點G，
由題意，知OD⊥BC，OG＝BC．
設OG＝x，則BC＝2x，DG＝5－x，
三棱錐的高h＝
＝＝，
S△ABC＝×2x×3x＝3x2，則三棱錐的體積
V＝S△ABC·h＝x2·＝·.令f(x)＝25x4－10x5，x∈，則f ′(x)＝100x3－50x4.
令f ′(x)＝0得x＝2.當x∈(0,2)時，f ′(x)>0，f(x)單調遞增，當x∈時，f ′(x)<0，f(x)單調遞減，故當x＝2時，f(x)取得最大值80，則V≤×＝4.
∴三棱錐體積的最大值為4 cm3.]
在解決立體幾何中的“動態”問題時，對于一些很難把握運動模型 規律 的求值問題，可以通過構建某個變量的函數，以數解形.
3.如圖，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，AB＝BC＝AD＝1，點E是線段CD上異于點C，D的動點，EF⊥AD于點F，將△DEF沿EF折起到△PEF的位置，并使PF⊥AF，則五棱錐P ABCEF的體積的取值范圍為________．
　[因為PF⊥AF，PF⊥EF，且AF交EF與點F，所以PF⊥平面ABCEF.
設DF＝x(0＜x＜1)，則EF＝x，AF＝2－x，
S五邊形ABCEF＝S四邊形ABCD－S△DEF＝(1＋2)×1－x2＝(3－x2)．
所以五棱錐P ABCEF的體積為V(x)＝×(3－x2)·x＝(3x－x3)．
令V′(x)＝(1－x2)＝0，得x＝1或x＝－1(舍)．
當0＜x＜1時，V′(x)＞0，V(x)遞增，
故V(0)＜V(x)＜V(1)，V(0)＝0，V(1)＝.
所以V(x)的取值范圍是.]
類型4　動態最值問題
【例4】　在正四面體A BCD中，E為棱BC的中點，F為直線BD上的動點，則平面AEF與平面ACD所成二面角的正弦值的取值范圍是________．
　[本例可用極端位置法來加以分析．
先尋找垂直：記O為△ACD的中心，G為OC的中點，則BO⊥平面ACD，EG⊥平面ACD．如圖1，過點A，E，G的平面交直線BD于點F.此時，平面AEF與平面ACD所成二面角的正弦值為1.
由圖形變化的連續性知，當點F在直線BD的無窮遠處時，看成EF和BD平行，此時平面AEF與平面ACD所成二面角最小(如圖2)，其正弦值為.
圖1 圖2
綜上可知，平面AEF與平面ACD所成二面角的正弦值的取值范圍為 ]
在解決立體幾何中的“動態”問題時，對于移動問題，由圖形變化的連續性，窮盡極端特殊之要害，往往能直取答案.
4．長方體ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，AA1＝2，P為該長方體側面CC1D1D內(含邊界)的動點，且滿足tan∠PAD＋tan∠PBC＝2.則四棱錐P ABCD體積的取值范圍是(　　)
A． B．
C． D．
B　[如圖所示，在Rt△PAD中，tan∠PAD＝＝PD，
在Rt△PBC中，tan∠PBC＝＝PC，
因為tan∠PAD＋tan∠PBC＝2，
所以PD＋PC＝2.
因為PD＋PC＝2＞CD＝2，
所以點P的軌跡是以C，D為焦點，2a＝2的橢圓．
如圖所示：
a＝，c＝1，b＝＝1，
橢圓的標準方程為：＋y2＝1.又P1(0,1)，
聯立，解得y＝±.所以P2，P3.
當點P運動到P1位置時，此時四棱錐P ABCD的高最大，所以(VP ABCD)max＝×SABCD×P1O＝×2×1＝.當點P運動到P2或P3位置時，此時四棱錐P ABCD的高最短，
所以(VP ABCD)min＝×S四邊形ABCD×P2D＝×2×＝.
綜上所述：≤VP ABCD≤.]
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