資源簡介

高中數學-微能力 2.0 認證
C1 跨學科學習活動設計
1．跨學科學習活動設計方案
2．學生成果及點評
撰寫：Z J
【獲獎作品】
1．學習活動方案：以自己開展過的跨學科學習實踐為例，提供跨學
科設計活動方案，需說明主題、學習目標、學習對象、活動流程、學習資
源、技術工具及應用策略、學習評價等，以 PDF 形式提交。
2．學生成果及點評：請提交兩份學生的跨學科學習成果，并分別進
行點評。若為文本，請以 PDF 形式提交。
跨學科學習活動設計方案
教師 Z J
學校
XX 高級中學
主題說明 圓錐曲線光學性質及生活中的應用
了解圓錐曲線的光學性質是奇妙的，奇妙的背后蘊含著奇妙的數學關系。需
要學生學習觀察，勤于鉆研，及時總結，力爭能閃現更多的靈感，
力爭
學習目標
能在奧妙的數學世界暢游。
學習對象 高二學生
1、以小組為單位初探橢圓的光學性質
2、學生們利用電子白板進行展示交流不同圓錐曲線的光學性質活動流程
3、思考：圓錐曲線的光學性質為何會應用到實際生活？
學習資源 計算機、電子白板
技術工具 智慧課堂設備、利用互聯網查找，通過制作 PPT、微視頻等
1.利用智慧課堂設備課堂互動的靈活性、方便性，將各類學習資源整合起來，
便于課堂分享與互動交流。
應用策略 2.視頻和圖片資源的應用帶給學生視覺沖擊和直觀體驗，更能促進學生的思
考。Z J
1、橢圓的光學性質： 從橢圓一個焦點發出的光，經過橢圓反射后，反射光線
都匯聚到橢圓的另一個焦點上；如圖 1.1
2、雙曲線的光學性質 ：從雙曲線一個焦點發出的光，經過雙曲線反射后，
反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上；如圖 1.2
B D
活動過程
A F2
O
F2 1 F1
圖 1.1 圖 1.2 圖 1.3
跨學科學習學生作品及評價
問題轉化：
因為其光學性質的證明都與圓錐曲線上某一點的切線方程有關，所以先通
過老師的幫助，得到了如下三個公式
x y
1 若點 P(x0 , y0 ) 是橢圓 2 + 2 =1 上任一點，則橢圓過該點的切線方程為：
a2 2 b
x 0 x y 0 ya 2 + b 2 =1
x y
2 若點 P(x0 , y0 ) 是雙曲線 2 2 = 1 上任一點，則雙曲線過該點的切線方
程 a
2 b2
x 0 x y y為： a 2
0
b 2 = 1
3 若點 P(x0 , y0 ) 是拋物線 y2 = 2 px 上任一點，則拋物線過該點的切線方程是
y0 y = p(x + x0 )
評價：能看出問題的本質，且會利用數學中的轉化與劃歸的思想轉化問題，將
圓錐曲線中的光學性質問題轉化為曲線在某點處的切線問題。Z J
作品二：高二（5）班 程夢園
橢圓上一個點 P 的兩條焦半徑的夾角被橢圓在點 P 處的法線平分（圖 2.1）
x y
已知：如圖，設橢圓 C 的方程為
2 + 2 = 1， F1 , F2 分別是其左、右焦點，l 是過
a2 2 b
橢圓上一點 P(x0 , y0 ) 的切線， l ' 為垂直于 l 且過點 P 的橢圓的法線，交 x 軸于 D
設 F2 PD = , F1PD = ，
求證： = .
y
2 2
證明：在 C : x + y =1 上， P(x0 , y ) C ，
a2
0
2
b x
F1
則過點 P 的切線方程為： x0 x + y0 y = 1 F
2
2
2
a b
L’
l ' 是通過點 P 且與切線
l 垂直的法線， L 圖 2.1
y x 1 1 則 l ' : (
0
b 2 )x (
0
a 2 ) = x0 y0 ( b 2 a 2 )
c
∴法線 l ' 與 x 軸交于 D(( a )2 x0 , 0)
c c
∴ | F1D |=
2 x0 + c,| F2 D |= c
2 x0
a
2 2a
∴ 2| F1D | = a + cx0
2
| F2 D | a cx0
又由焦半徑公式得：| PF1 |= a + ex0 ,| PF2 |= a ex0
| F1D | | PF1 |
∴ | F D | = | PF |
2 2
∴ PD 是 F1PF2 的平分線
∴ =
∵ + = 90 = + ，故可得 = =
評價：體現具有扎實的基礎知識，且知識面也比較廣，在探索的過程中，利用了
圓錐曲線中的二級結論：焦半徑公式進行證明，成功的解決了結論的證明。也充
分體現了學生所具備的探索精神。Z J

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